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परास ठीक \(\{1,2\}\) होने के लिए प्रत्येक फलन का मान केवल 1 या 2 होना चाहिए और 1 तथा 2 दोनों कम-से-कम एक बार आने चाहिए। 4 अवयवों वाले \(A\) से \(\{1,2\}\) में कुल \(2^4=16\) फलन बनते हैं। इनमें दो स्थिर फलन—सभी अवयवों का मान 1 या सभी का मान 2—वांछित नहीं हैं। अतः फलनों की संख्या \(2^4-2=14\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी दो-तत्वीय समुच्चय पर onto फलनों की संख्या \(2^n-2\) होती है। / For the range to be exactly \(\{1,2\}\), every element of \(A\) must map to either 1 or 2, and both values must occur at least once. There are \(2^4=16\) functions from the four-element set \(A\) to \(\{1,2\}\). The two constant functions, mapping every element to 1 or every element to 2, must be excluded. Therefore, the required number is \(2^4-2=14\). Exam tip: the number of onto functions from an \(n\)-element set to a two-element set is \(2^n-2\).
यदि \(f:\{0,1,2,3\}\to\{0,1,2,3\}\) को \(f(x)\), \(2x\) को 4 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है, तो \(f\) का परास (range) क्या है?
डोमेन के मानों के लिए \(f(0)=0\), \(f(1)=2\), \(f(2)=0\) और \(f(3)=2\) मिलते हैं, क्योंकि \(2x\) को 4 से भाग देने पर ये शेषफल प्राप्त होते हैं। अतः प्राप्त मानों का समुच्चय, अर्थात् परास, \(\{0,2\}\) है। \(\{0,1,2,3\}\) सह-डोमेन है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक तत्व का वास्तविक प्रतिचित्र निकालकर दोहराए गए मानों को एक बार ही लिखें। / For the domain values, \(f(0)=0\), \(f(1)=2\), \(f(2)=0\), and \(f(3)=2\), since these are the remainders when \(2x\) is divided by 4. Therefore, the set of attained values, or the range, is \(\{0,2\}\). The set \(\{0,1,2,3\}\) is the codomain, not the range. Exam tip: To find the range, evaluate the function for every domain element and list repeated outputs only once.
यदि \(f:\{1,2,3,4,5,6\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(3\) से विभाज्य \(n\) के लिए \(f(n)=0\) और अन्यथा \(f(n)=1\), तो \(f^{-1}(\{0\})\) क्या है?
\(f^{-1}(\{0\})\) उन सभी डोमेन अवयवों का समुच्चय है जिनका प्रतिचित्र \(0\) है। दिए गए डोमेन में \(3\) से विभाज्य संख्याएँ केवल \(3\) और \(6\) हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{0\})=\{3,6\}\)। विकल्प A उन संख्याओं का समुच्चय है जो \(3\) से विभाज्य नहीं हैं, जबकि विकल्प C और D में सह-डोमेन के अवयवों को इनपुट के साथ मिला दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पूर्वप्रतिबिम्ब \(f^{-1}(\{a\})\) निकालने के लिए डोमेन के उन सभी अवयवों को चुनें जिनके फलन-मान \(a\) हों। / \(f^{-1}(\{0\})\) is the set of all elements in the domain whose image is \(0\). Among the given domain elements, only \(3\) and \(6\) are divisible by \(3\), so \(f^{-1}(\{0\})=\{3,6\}\). Option A contains the inputs that are not divisible by \(3\), while options C and D incorrectly mix codomain and domain elements. Exam tip: To find \(f^{-1}(\{a\})\), select every domain element whose function value is \(a\).
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\\x^2,&x>0\end{cases}\) से परिभाषित किया गया है, तो यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) का फलन क्यों नहीं है?
A. क्योंकि \(x=0\) पर कोई मान निर्धारित नहीं है/Because no value is assigned at \(x=0\)
Explanation
Simple Explanation
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) के फलन में प्रत्येक वास्तविक इनपुट के लिए ठीक एक वास्तविक आउटपुट होना चाहिए। दिए गए नियम में केवल \(x<0\) और \(x>0\) के लिए मान दिए गए हैं; \(x=0\) के लिए कोई मान नहीं है। इसलिए इसका परिभाषा-क्षेत्र पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं है। ध्यान दें कि \(x=1\) पर केवल \(1^2=1\) और \(x=-1\) पर \((-1)+2=1\) मिलता है; अतः विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय देखें कि परिभाषा-क्षेत्र के हर इनपुट को ठीक एक आउटपुट मिल रहा है या नहीं। / A function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) must assign exactly one real output to every real input. The given rule covers only \(x<0\) and \(x>0\), so no value is assigned when \(x=0\). Hence its domain is not all of \(\mathbb{R}\). At \(x=1\), only \(1^2=1\) is applicable, and at \(x=-1\), the value is \((-1)+2=1\); therefore options B and C are incorrect. Exam tip: To test whether a relation is a function, check that every input in the stated domain has exactly one output.
डोमेन के प्रत्येक मान के लिए \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\) और \(f(4)=3\) मिलता है। अतः फलन से वास्तव में प्राप्त अलग-अलग मानों का समुच्चय \(\{1,2,3\}\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B डोमेन है, परास नहीं। परीक्षा टिप: परास ज्ञात करने के लिए फलन के सभी आउटपुट लिखकर केवल अलग-अलग मान लें। / For the domain values, \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\), and \(f(4)=3\). Hence, the set of distinct values actually attained by the function is \(\{1,2,3\}\), so option A is correct. Option B is the domain, not the range. Exam tip: To find the range, list all outputs and retain only the distinct values.
यदि \(f:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4\}\) को \(f(x)=x\) द्वारा तब परिभाषित किया गया है जब \(x\) विषम हो, और \(f(x)=5-x\) द्वारा तब जब \(x\) सम हो, तो इसका परास (range) क्या है?
विषम मानों के लिए \(f(1)=1\) और \(f(3)=3\) मिलते हैं। सम मानों के लिए \(f(2)=5-2=3\) तथा \(f(4)=5-4=1\) मिलते हैं। इसलिए फलन के सभी विशिष्ट आउटपुट \(1\) और \(3\) हैं, अतः परास \(\{1,3\}\) है। ध्यान रखें कि परास में फलन के प्राप्त होने वाले विशिष्ट मान लिखे जाते हैं, पूरे सहपरिसर के सभी मान नहीं। / For the odd inputs, \(f(1)=1\) and \(f(3)=3\). For the even inputs, \(f(2)=5-2=3\) and \(f(4)=5-4=1\). Thus, the distinct output values are only \(1\) and \(3\), so the range is \(\{1,3\}\). Exam tip: the range contains the actual distinct outputs, not necessarily every element of the codomain.
यदि
f:
\(\{0,1,2,3,4\}\to\{0,1,2,3,4\}\) को \(f(x)\), \(3x\) को \(5\) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है, तो इसका मान-परास क्या है?
डोमेन के लिए \(x=0,1,2,3,4\) रखने पर \(f(x)\) के मान क्रमशः \(0,3,1,4,2\) मिलते हैं। इसलिए प्राप्त मानों का समुच्चय \(\{0,1,2,3,4\}\) है, जो विकल्प A है। विकल्प D केवल कुछ सम मानों को दर्शाता है और \(1\) तथा \(3\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान-परास निकालने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव का वास्तविक प्रतिचित्रण लिखें; केवल सह-डोमेन देखकर उत्तर न दें। / Substituting \(x=0,1,2,3,4\) gives the remainders \(0,3,1,4,2\), respectively. Hence the set of attained values is \(\{0,1,2,3,4\}\), so option A is correct. Option D includes only some even remainders and omits \(1\) and \(3\). Exam tip: To find the range, evaluate the function for every element of the domain; do not simply copy the codomain.
यदि फलन \(f:\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(f(n)=1\) जब \(n\), \(4\) से विभाज्य हो, और अन्यथा \(f(n)=0\) हो, तो \(f^{-1}(\{1\})\) क्या है?
\(f^{-1}(\{1\})\) का अर्थ उन सभी परिभाषा-समुच्चय के अवयवों का समुच्चय है जिनका प्रतिबिंब \(1\) है। दिए गए समुच्चय में \(4\) और \(8\) ही \(4\) से विभाज्य हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{1\})=\{4,8\}\)। विकल्प D में \(0\) शामिल है, लेकिन \(0\) फलन के परिभाषा-समुच्चय में है ही नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूर्वप्रतिबिंब निकालते समय सहपरिभाषा के दिए गए मान तक पहुँचने वाले इनपुट चुनें। / The preimage \(f^{-1}(\{1\})\) consists of all elements of the domain whose image is \(1\). Among the domain elements, only \(4\) and \(8\) are divisible by \(4\), so \(f^{-1}(\{1\})=\{4,8\}\). Option D is incorrect because \(0\) is not in the domain. Exam tip: To find a preimage, select the inputs that map to the specified output value.
डोमेन के लिए फलन के मान क्रमशः \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\) और \(f(5)=1\) हैं। इसलिए प्राप्त भिन्न-भिन्न मानों का समुच्चय, अर्थात् परास, \(\{1,2,3\}\) है। विकल्प D केवल बार-बार आने वाले मान \(1\) को ध्यान में रखता है और 2 तथा 3 को छोड़ देता है। परीक्षा में याद रखें कि परास, सहपरास का केवल एक उपसमुच्चय हो सकता है; दोनों हमेशा समान नहीं होते। / For the domain values, the function gives \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\), and \(f(5)=1\). Thus, the set of distinct output values, or the range, is \(\{1,2,3\}\). Option D includes only the repeated output 1 and omits 2 and 3. Exam tip: the range is the set of actual outputs, whereas the codomain may contain values that are not attained.
भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए। अतः \(|x+1|-3\ne0\), यानी \(|x+1|=3\) के मानों को छोड़ना होगा। इससे \(x+1=3\) या \(x+1=-3\) मिलता है, इसलिए \(x=2\) या \(x=-4\)। अतः अधिकतम प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\) है। विकल्प C में \(x=-1\) को हटाया गया है, जबकि उस पर हर \(-3\) होता है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन के प्रांत के लिए हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a fraction must be non-zero. Thus, \(|x+1|-3\ne0\), so we find the values satisfying \(|x+1|=3\). Hence, \(x+1=3\) or \(x+1=-3\), giving \(x=2\) or \(x=-4\). Therefore, the largest real domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\). Option C incorrectly excludes \(x=-1\); at that value the denominator is \(-3\), so the function is defined. Exam tip: for a rational function, set the denominator equal to zero to identify the excluded domain values.
\((x-a)^2\ge 0\) होने के कारण \(f(x)=(x-a)^2+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है, जो \(x=a\) पर प्राप्त होता है। इसलिए परास \([b,\infty)\) है। दिए गए परास \([-2,\infty)\) से \(b=-2\) आवश्यक है, जबकि \(a\) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। अतः \((5,-2)\) संभव युग्म है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे द्विघात फलन में परास का निचला सिरा स्थिरांक \(b\) होता है। / Since \((x-a)^2\ge 0\), the function \(f(x)=(x-a)^2+b\) has minimum value \(b\), attained at \(x=a\). Hence its range is \([b,\infty)\). The given range \([-2,\infty)\) requires \(b=-2\), while \(a\) may be any real number. Therefore, \((5,-2)\) is a possible pair. Exam tip: In this form of a quadratic function, the lower endpoint of the range is the constant term \(b\).
वर्ग पूरा करने पर \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\) मिलता है। चूँकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(f(x)\\ge 3\\), और \\(x=2\\) पर न्यूनतम मान \\(3\\) प्राप्त होता है। अतः परिसर \\([3,\infty)\\) है। विकल्प B में \\(f(0)=11\\) को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक अग्रणी गुणांक वाले द्विघात फलन का न्यूनतम मान शीर्ष (vertex) पर मिलता है। / Completing the square gives \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\). Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(f(x)\\ge 3\\), with the minimum value \\(3\\) attained at \\(x=2\\). Therefore, the range is \\([3,\infty)\\). Option B incorrectly treats \\(f(0)=11\\) as the minimum value. Exam tip: For a quadratic with a positive leading coefficient, the minimum occurs at its vertex.
x = 0,1,2,3,4,5 के लिए 4x को 6 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 0, 4, 2, 0, 4, 2 मिलते हैं। इसलिए f के सभी भिन्न प्राप्त मान {0,2,4} हैं, जो इसका परास है। विकल्प B सह-परिसर है, परंतु f के सभी मान उसमें प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए फलन के सभी इनपुट मानों पर आउटपुट निकालकर केवल अलग-अलग मान लिखें। / For x = 0,1,2,3,4,5, the remainders obtained on dividing 4x by 6 are 0, 4, 2, 0, 4, 2, respectively. Thus, the distinct output values are {0,2,4}, which is the range of f. Option B is the codomain, not the set of values actually attained by the function. Exam tip: To find the range of a finite function, evaluate every domain element and list the distinct outputs.
यदि फलन \(f:\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(f(n)=1\) जब \(n\), \(3\) से विभाज्य हो और अन्यथा \(f(n)=0\), तो \(f^{-1}(\{1\})\) क्या है?
किसी समुच्चय की पूर्वछवि उन सभी डोमेन अवयवों का समुच्चय होती है जिनकी छवि उस समुच्चय में आती है। यहाँ \(f(n)=1\) ठीक उन्हीं मानों के लिए है जो \(3\) से विभाज्य हैं। दिए गए डोमेन में ऐसे मान \(3,6,9\) हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{1\})=\{3,6,9\}\)। विकल्प A में \(3\) से अविभाज्य संख्याएँ हैं, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल है, जो डोमेन का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूर्वछवि निकालते समय पहले लक्ष्य समुच्चय के मान की जाँच करें और केवल डोमेन के अवयव चुनें। / The preimage of a set consists of all elements of the domain whose images belong to that set. Here, \(f(n)=1\) exactly when \(n\) is divisible by \(3\). Among the given domain elements, these are \(3,6,9\), so \(f^{-1}(\{1\})=\{3,6,9\}\). Option A contains numbers not divisible by \(3\), while option D incorrectly includes \(0\), which is not in the domain. Exam tip: To find a preimage, check which domain elements map to the specified target value or set.
क्योंकि (a>0), परवलय ऊपर की ओर खुलता है और (x=2) पर इसका न्यूनतम मान (b) होता है। इसलिए परास ([5,infty)) होने के लिए (b=5) तथा (a>0) आवश्यक हैं। विकल्प A में (a=3) और (b=5) हैं, इसलिए यह संभव है। विकल्प B में न्यूनतम मान 3 होगा, जबकि C में (a<0) होने से परास ऊपर से सीमित होगा और D में फलन नियत होगा। परीक्षा-युक्ति: (a(x-h)2+b) के लिए (a>0) होने पर परास ([b,infty)) होता है। / Since (a>0), the parabola opens upward, and its minimum value is (b) at (x=2). Therefore, for the range to be ([5,infty)), we must have (b=5) and (a>0). Option A satisfies these conditions with (a=3) and (b=5). In option B, the minimum value is 3; option C has (a<0), so its range is bounded above; and option D gives a constant function. Exam tip: For (a(x-h)2+b), the range is ([b,infty)) when (a>0).
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) होना चाहिए। परीक्षा में सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots, \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) must hold. In exams, take the intersection of all conditions.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-9>0\) होना चाहिए। हर में शून्य कभी स्वीकार्य नहीं होता। / The square root is in the denominator, so \(x^2-9>0\) is required. A denominator can never be zero.
यह ऊपरी अर्धवृत्त है और \(4-x^2\) का अधिकतम (4) है। वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता। / This is the upper semicircle and the maximum of \(4-x^2\) is (4). A square root value is never negative.
\(y=\frac{x+1}{x-2}\) से \(x=\frac{2y+1}{y-1}\), इसलिए \(y\ne 1\)। रैखिक भिन्न फलन में असंभव मान अलग करें। / From \(y=\frac{x+1}{x-2}\), \(x=\frac{2y+1}{y-1}\), so \(y\ne 1\). For a linear fractional function, isolate the impossible value.
दो बिंदुओं (-1) और (3) से दूरी का योग न्यूनतम (4) होता है। बीच के अंतराल ([-1,3]) पर फलन स्थिर रहता है। / The sum of distances from (-1) and (3) is minimized at (4). On the interval ([-1,3]), the function stays constant.
हर \(1+|x|\ge 1\) है, इसलिए अधिकतम मान (1) है। (x) बढ़ने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं बनता। / The denominator \(1+|x|\ge 1\), so the maximum value is (1). As (x) grows, the value approaches (0) but never becomes (0).
(x-2+4x+7=(x+2)2+3), इसलिए अंदर का न्यूनतम (3) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम \(\sqrt{3}\) मिलेगा। / Since (x-2+4x+7=(x+2)2+3), the inside minimum is (3). Taking the square root gives the minimum \(\sqrt{3}\).
वर्गमूल के लिए \(x\ge -1\) और हर के लिए \(x\ne \pm 2\) चाहिए। (-2) पहले से प्रांत में नहीं है, इसलिए केवल (2) हटेगा। / The square root needs \(x\ge -1\), and the denominator needs \(x\ne \pm 2\). Since (-2) is already outside the domain, only (2) is removed.
वास्तविक मान के लिए प्रत्येक वर्गमूल के अंदर की राशि शून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x-1\ge 0\), अर्थात् \(x\ge 1\), और \(x+2\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -2\)। इन शर्तों का प्रतिच्छेद \(x\ge 1\) है, इसलिए प्रांत \([1,\infty)\) है। विकल्प B केवल \(\sqrt{x+2}\) की शर्त बताता है और \(\sqrt{x-1}\) की अधिक कठोर शर्त को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: कई वर्गमूलों वाले फलन में सभी radicands की शर्तें लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / For a real-valued function, the expression inside each square root must be non-negative. Thus, \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), while \(x+2\ge 0\) gives \(x\ge -2\). The intersection of these conditions is \(x\ge 1\), so the domain is \([1,\infty)\). Option B considers only the condition for \(\sqrt{x+2}\) and ignores the stricter condition from \(\sqrt{x-1}\). Exam tip: For a function with multiple square roots, impose every radicand condition and take their intersection.
\(y=\frac{2x-3}{x+4}\) से \(x=\frac{-3-4y}{y-2}\), इसलिए (y=2) असंभव है। अनुपात में प्रमुख गुणांकों का अनुपात अक्सर छूटा मान देता है। / From \(y=\frac{2x-3}{x+4}\), \(x=\frac{-3-4y}{y-2}\), so (y=2) is impossible. In such fractions, the ratio of leading coefficients often gives the missing value.
(f(x)=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम (2) है। सिरा (x=1) और (x=5) पर अधिकतम (6) मिलता है। / Since (f(x)=(x-3)2+2), the minimum is (2). At the endpoints (x=1) and (x=5), the maximum is (6).
बिंदुओं (2) और (-2) से दूरी के अंतर का मान (-4) से (4) तक रहता है। अंतरालों पर चिह्न हटाकर जांचना सुरक्षित तरीका है। / The difference of distances from (2) and (-2) stays between (-4) and (4). Removing signs interval-wise is the safe method.
हर ((x+2)2+1\ge 1) है, इसलिए अधिकतम मान (1) है। हर बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator ((x+2)2+1\ge 1), so the maximum value is (1). As the denominator grows, the value approaches (0).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर वाले वर्गमूल के लिए (4-x>0) चाहिए। दोनों मिलाकर \(0\le x<4\) मिलता है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\), and for the denominator square root, (4-x>0) is needed. Together, \(0\le x<4\).
सरलीकरण के बाद भी मूल हर में \(x-2\ne 0\) रहना चाहिए। हटे हुए बिंदु को प्रांत में वापस न जोड़ें। / Even after simplification, the original denominator requires \(x-2\ne 0\). Do not add the cancelled point back into the domain.
\(x\ne 2\) पर फलन (x+2) के बराबर है। इसलिए (x=2) से मिलने वाला मान (4) परिसर में नहीं आता। / For \(x\ne 2\), the function equals (x+2). Thus the value (4), which would occur at (x=2), is not in the range.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलचिह्न के भीतर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(|x|-3\ge 0\), यानी \(|x|\ge 3\)। इसलिए \(x\le -3\) या \(x\ge 3\), जिससे प्रांत \(( -\infty,-3]\cup[3,\infty)\) मिलता है। विकल्प B में \(-3\) और \(3\) के बीच के मान भी आते हैं, जहाँ \(|x|-3<0\) होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में पहले रेडिकैंड को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative. Hence \(|x|-3\ge 0\), so \(|x|\ge 3\). Therefore, \(x\le -3\) or \(x\ge 3\), giving the domain \(( -\infty,-3]\cup[3,\infty)\). Option B wrongly includes values between \(-3\) and \(3\), where \(|x|-3<0\). Exam tip: For real functions involving a square root, first set the radicand greater than or equal to zero.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(2-\sqrt{x}\ne 0\) चाहिए। इसलिए (x=4) हटाया जाएगा। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\), and for the denominator, \(2-\sqrt{x}\ne 0\) is needed. Hence (x=4) is removed.
भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। अतः \(|x|-2\ne 0\), जिससे \(|x|\ne 2\) और \(x\ne -2,2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\) है। विकल्प B में \(x=-2\) को गलत रूप से शामिल किया गया है, जबकि विकल्प C बीच के कई मान, जैसे \(x=0\), छोड़ देता है। परीक्षा टिप: परिमेय फलन का प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य करने वाले सभी मानों को हटाएँ। / The denominator of a fraction cannot be zero. Thus, \(|x|-2\ne 0\), so \(|x|\ne 2\), which gives \(x\ne -2,2\). Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). Option B incorrectly includes \(x=-2\), while option C excludes valid values such as \(x=0\). Exam tip: To find the domain of a rational function, exclude every value that makes its denominator zero.
मान लें \(t=|x|\), तब \(t\ge 0\) और \(f(x)=\frac{t}{1+t}\)। \(x=0\) पर \(t=0\), इसलिए \(f(x)=0\) प्राप्त होता है। दूसरी ओर, किसी सीमित \(t\) के लिए \(\frac{t}{1+t}<1\), अतः 1 कभी प्राप्त नहीं होता, केवल उसके निकट पहुँचा जा सकता है। इसलिए परिसर \([0,1)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि 0 शामिल है, और विकल्प C गलत है क्योंकि 1 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में सीमा-बिंदु जाँचने के साथ यह भी देखें कि वे वास्तव में प्राप्त होते हैं या नहीं। / Let \(t=|x|\). Then \(t\ge 0\) and \(f(x)=\frac{t}{1+t}\). At \(x=0\), we get \(t=0\) and hence \(f(x)=0\). For every finite \(t\), \(\frac{t}{1+t}<1\), so the value 1 is never attained, although the function approaches 1 as \(|x|\) increases. Therefore, the range is \([0,1)\). Option B is incorrect because 0 is included, while option C is incorrect because 1 is excluded. Exam tip: for rational functions, check both limiting values and whether each endpoint is actually attained.
धनात्मक (x) पर मान कम से कम (2) और ऋणात्मक (x) पर अधिक से अधिक (-2) होता है। दोनों स्थितियों को अलग जांचें। / For positive (x), the value is at least (2), and for negative (x), it is at most (-2). Check both cases separately.
(\sqrt{x-2-4x+4}=\sqrt{(x-2)2}=|x-2|)। इसका न्यूनतम (0) है और यह सभी अनऋणात्मक मान लेता है। / (\sqrt{x-2-4x+4}=\sqrt{(x-2)2}=|x-2|). Its minimum is (0), and it takes all non-negative values.
\(\sqrt{16-x^2}\) का अधिकतम (4) है, इसलिए भिन्न का न्यूनतम \(\frac{1}{4}\) है। किनारों के पास हर (0) की ओर जाता है। / The maximum of \(\sqrt{16-x^2}\) is (4), so the minimum fraction is \(\frac{1}{4}\). Near the endpoints, the denominator tends to (0).
महत्तम पूर्णांक फलन (x) से बड़ा नहीं सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। (4) शामिल नहीं है, इसलिए मान (4) नहीं आएगा। / The greatest integer function gives the largest integer not greater than (x). Since (4) is not included, the value (4) will not occur.
भिन्नांश भाग हमेशा (0) से बड़ा या बराबर और (1) से छोटा होता है। पूर्णांक (x) पर मान (0) मिलता है। / The fractional part is always at least (0) and less than (1). At integer (x), the value is (0).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<-2) या \(x\ge 1\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign chart gives (x<-2) or \(x\ge 1\).
वर्गमूल के अंदर की राशि \(\frac{x+3}{5-x}\) गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए और हर \(5-x\neq 0\) होना चाहिए। महत्वपूर्ण बिंदु \(x=-3\) और \(x=5\) हैं। संकेत-जांच से \([-3,5)\) पर भिन्न गैर-ऋणात्मक मिलता है। \(x=-3\) शामिल है क्योंकि वर्गमूल के अंदर की राशि 0 होती है, जबकि \(x=5\) शामिल नहीं है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले परिमेय व्यंजक में पहले अंश के शून्य और हर के शून्य ज्ञात करके अंतरालों पर संकेत जाँचें। / The expression inside the square root, \(\frac{x+3}{5-x}\), must be non-negative, and the denominator must be nonzero. The critical points are \(x=-3\) and \(x=5\). Sign analysis shows that the expression is non-negative on \([-3,5)\). The point \(x=-3\) is included because the radicand becomes 0, whereas \(x=5\) is excluded because the denominator becomes zero. Exam tip: For a rational expression under a square root, first find the zeros of the numerator and denominator, then test the signs on the resulting intervals.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x-a\ge 0\), अर्थात् \(x\ge a\)। अतः \(f(x)=\sqrt{x-a}\) का प्रांत \([a,\infty)\) होता है। दिए गए प्रांत \([7,\infty)\) से \(a=7\) प्राप्त होता है। \(-7\) लेने पर प्रांत \([-7,\infty)\) होता, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{x-c}\) का प्रांत सीधे \([c,\infty)\) लिखें। / The expression under a square root must be non-negative, so \(x-a\ge 0\), which gives \(x\ge a\). Therefore, the domain of \(f(x)=\sqrt{x-a}\) is \([a,\infty)\). Comparing it with the given domain \([7,\infty)\), we get \(a=7\). Choosing \(-7\) would give the domain \([-7,\infty)\), so it is incorrect. Exam tip: The domain of \(\sqrt{x-c}\) is directly \([c,\infty)\).
परिभाषित होने के लिए हर \(x-a\) शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए \(x=a\) वह एकमात्र मान है जो प्रांत से हटाया जाता है। यहाँ हटाया गया मान \(5\) है, अतः \(a=5\)। \(-5\) लेने पर हटाया गया मान \(-5\) होता, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x-a}\) जैसे फलन में हर को शून्य रखकर अपवर्जित मान ज्ञात करें। / The denominator \(x-a\) must not be zero. Thus, the only excluded value from the domain is obtained from \(x-a=0\), which gives \(x=a\). Since the excluded value is \(5\), we have \(a=5\). Choosing \(-5\) would exclude \(-5\), not \(5\). Exam tip: For a reciprocal expression, set its denominator equal to zero to identify the value excluded from the domain.
ऊपर खुलने वाला परवलय तभी \([4,\infty\)) देता है जब (a>0)। (a=0) पर परिसर केवल ({4}) होगा। / An upward-opening parabola gives \([4,\infty\)) only when (a>0). If (a=0), the range is only ({4}).
मान (t=(x+1)2\ge 0) रखें, तो \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\)। इसलिए मान (1) से बड़े और (4) तक हैं। / Put (t=(x+1)2\ge 0), then \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). Hence the values are greater than (1) and up to (4).
(2x-x-2=1-(x-1)2), जिसका मान (0) से (1) तक है। वर्गमूल के बाद (3) जोड़ने से परिसर ([3,4]) है। / Since (2x-x-2=1-(x-1)2), its value lies from (0) to (1). After square root and adding (3), the range is ([3,4]).
हर को वर्ग पूर्ण करके लिखें: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\)। चूँकि \((x-3)^2\ge 0\), हर का न्यूनतम मान \(1\) है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। अतः \(f(x)\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{1}=1\) है। उदाहरण के लिए, \(\frac{1}{10}\) अधिकतम मान नहीं है; यह केवल कुछ विशेष \(x\) मानों पर प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर वाली ऐसी भिन्न का अधिकतम मान हर के न्यूनतम मान पर मिलता है। / Complete the square in the denominator: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\). Since \((x-3)^2\ge 0\), the denominator has minimum value \(1\), attained at \(x=3\). Therefore, the maximum value of \(f(x)\) is \(\frac{1}{1}=1\). For instance, \(\frac{1}{10}\) is not the maximum; it occurs only for particular values of \(x\). Exam tip: when the denominator is positive, the reciprocal is maximized when the denominator is minimized.
फलन के दोनों वर्गमूल वास्तविक होने के लिए उनके भीतर की राशियाँ गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। \(x+4\ge 0\) से \(x\ge -4\) और \(4-x\ge 0\) से \(x\le 4\) मिलता है। इन दोनों शर्तों का छेदन \([-4,4]\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में सिरों \(-4\) और \(4\) को हटाया गया है, जबकि इन दोनों पर एक वर्गमूल शून्य होता है और फलन परिभाषित रहता है। परीक्षा-युक्ति: अनेक वर्गमूलों वाले फलन में प्रत्येक मूलांक के लिए अलग शर्त लगाकर सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots to be real, each radicand must be non-negative. From \(x+4\ge 0\), we get \(x\ge -4\), and from \(4-x\ge 0\), we get \(x\le 4\). Their intersection is \([-4,4]\), so option A is correct. Option B wrongly excludes \(-4\) and \(4\); at each endpoint, one square root is zero and the function is still defined. Exam tip: For several square roots, write a non-negative condition for every radicand and intersect the resulting sets.
सिरों पर मान \(2\sqrt{2}\) और (x=0) पर अधिकतम (4) है। सममिति वाले वर्गमूल फलनों में मध्य बिंदु भी जांचें। / At the endpoints the value is \(2\sqrt{2}\), and at (x=0) the maximum is (4). For symmetric radical functions, also check the midpoint.
वास्तविक लघुगणक के लिए उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए: \(4-x^2>0\)। इससे \(x^2<4\), अर्थात् \(-2<x<2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-2,2)\) है। \(x=\pm2\) पर लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है, इसलिए endpoints शामिल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: \(\log_a(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लगाएँ। / For a real logarithm, its argument must be positive: \(4-x^2>0\). Hence \(x^2<4\), which gives \(-2<x<2\). Therefore, the domain is \((-2,2)\). The endpoints \(x=\pm2\) are excluded because the logarithm argument becomes zero there. Exam tip: For \(\log_a(g(x))\), always impose \(g(x)>0\).
लघुगणक का तर्क सदैव धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1>0\), अर्थात \(x>1\), और \(5-x>0\), अर्थात \(x<5\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1<x<5\) है, इसलिए प्रांत \((1,5)\) होगा। सिरों \(x=1\) और \(x=5\) पर किसी एक लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है, इसलिए वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: योग में प्रत्येक लघुगणक के तर्क के लिए अलग-अलग धनात्मकता की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / The argument of every logarithm must be positive. Thus, \(x-1>0\), giving \(x>1\), and \(5-x>0\), giving \(x<5\). The intersection of these conditions is \(1<x<5\), so the domain is \((1,5)\). The endpoints \(x=1\) and \(x=5\) are excluded because one logarithm would then have argument zero. Exam tip: For a sum of logarithms, impose positivity on the argument of each logarithm separately and take the intersection of the resulting intervals.
लघुगणक के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log_{2}x\ne 0\) चाहिए। \(\log_{2}x=0\) पर (x=1) हटेगा। / The logarithm needs (x>0), and the denominator needs \(\log_{2}x\ne 0\). Since \(\log_{2}x=0\) at (x=1), remove (1).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|2x-1|\ge 0\), इसलिए \(f(x)=|2x-1|+3\ge 3\)। \(|2x-1|=0\) तब होता है जब \(x=\frac{1}{2}\), अतः न्यूनतम मान \(3\) वास्तव में प्राप्त होता है। इसलिए परास \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(3\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|g(x)|+c\) का न्यूनतम मान प्रायः \(c\) होता है, यदि \(g(x)=0\) का कोई वास्तविक हल हो। / For every real \(x\), \(|2x-1|\ge 0\), so \(f(x)=|2x-1|+3\ge 3\). The value \(|2x-1|=0\) occurs at \(x=\frac{1}{2}\), so the minimum value \(3\) is actually attained. Hence the range is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(3\). Exam tip: For an expression of the form \(|g(x)|+c\), check whether \(g(x)=0\) has a real solution; if it does, the minimum is \(c\).
\(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), इसलिए \(5-\sqrt{x^2+1}\le 4\)। (x) बड़ा होने पर मान असीम रूप से घटता है। / Since \(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), \(5-\sqrt{x^2+1}\le 4\). As (x) grows, the value decreases without bound.
A. प्रांत \( \mathbb{R}\setminus{0} \), परिसर ( {-1,1} )/domain \( \mathbb{R}\setminus{0} \), range ( {-1,1} )
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर हर (0) हो जाता है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) है। / At (x=0), the denominator becomes (0). For positive (x), the value is (1), and for negative (x), it is (-1).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x^2-1\ge 0\)। इससे \(x^2\ge 1\), अर्थात् \(|x|\ge 1\), इसलिए \(x\le -1\) या \(x\ge 1\)। अतः प्रांत \((- ,-1]\cup[1, )\) है। विकल्प B में \(|x|\le 1\) लिया गया है, जो इस असमिकता की विपरीत दिशा है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय मूलांक के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखें। / The expression under a square root must be non-negative, so \(x^2-1\ge 0\). Hence \(x^2\ge 1\), or \(|x|\ge 1\), which gives \(x\le -1\) or \(x\ge 1\). Therefore, the domain is \((- ,-1]\cup[1, )\). Option B incorrectly represents the opposite condition, \(|x|\le 1\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find its domain.
प्रांत में \(x^2-1\) का न्यूनतम (0) है। (x) बड़ा होने पर वर्गमूल सभी बड़े अनऋणात्मक मान लेता है। / On the domain, the minimum of \(x^2-1\) is (0). As (x) grows, the square root takes all larger non-negative values.
\(|4x|\le x^2+4\) क्योंकि ((x-2)2\ge 0) और ((x+2)2\ge 0)। इसलिए मान (-1) से (1) तक हैं और दोनों मिलते हैं। / \(|4x|\le x^2+4\) because ((x-2)2\ge 0) and ((x+2)2\ge 0). Hence values lie from (-1) to (1), and both endpoints occur.
वर्गमूल के लिए ((x-2)(6-x)\ge 0), इसलिए \(x\in[2,6]\) है। हर के कारण (x=4) हटेगा। / For the square root, ((x-2)(6-x)\ge 0), so \(x\in[2,6]\). Because of the denominator, (x=4) is removed.
मान \(t=x^2\ge 0\) रखें और \(t\ne 4\)। तब \(f=\frac{t}{t-4}\), जिससे \(t\in[0,4\)) पर (\(-\infty,0]\) और (t>4) पर (\(1,\infty\)) मिलता है। / Put \(t=x^2\ge 0\) and \(t\ne 4\). Then \(f=\frac{t}{t-4}\), giving (\(-\infty,0]\) for \(t\in[0,4\)) and (\(1,\infty\)) for (t>4).
प्राकृतिक लघुगणक के लिए उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{x-2}{7-x}>0\) हल करते हैं। \(x=2\) और \(x=7\) महत्वपूर्ण बिंदु हैं; संकेत-जाँच से धनात्मक अंतराल केवल \((2,7)\) मिलता है। दोनों सिरों को शामिल नहीं किया जा सकता—\(x=2\) पर लघुगणक का तर्क शून्य और \(x=7\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक असमिकाओं में अंश और हर के शून्य बिंदु चिह्न-तालिका में अवश्य लें। / For a natural logarithm, its argument must be positive, and the denominator must be nonzero. Thus, solve \(\frac{x-2}{7-x}>0\). The critical points are \(x=2\) and \(x=7\); a sign check shows that the expression is positive only on \((2,7)\). Neither endpoint is included: at \(x=2\) the logarithm argument is zero, while at \(x=7\) the denominator is zero. Exam tip: for a rational inequality, include both numerator and denominator zeros as critical points, then test the intervals.
\(t=\sqrt{x+1}\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+2}\)। (t=0) पर मान (0) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। / Put \(t=\sqrt{x+1}\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+2}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) but never equals (1).
हर (x-2+2x+2=(x+1)2+1\ge 1) है। इसलिए (\frac{1}{x-2+2x+2}\in(0,1]), अतः परिसर ((3,4]) है। / The denominator (x-2+2x+2=(x+1)2+1\ge 1). So (\frac{1}{x-2+2x+2}\in(0,1]), hence the range is ((3,4]).
वर्गमूल के भीतर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। इसलिए \(1-|x-2|\ge 0\), अर्थात् \(|x-2|\le 1\)। इससे \(-1\le x-2\le 1\), और इसलिए \(1\le x\le 3\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \([1,3]\) है। विकल्प C में सिरों को शामिल नहीं किया गया है, जबकि \(x=1\) और \(x=3\) पर वर्गमूल के भीतर का मान 0 होता है, इसलिए दोनों मान स्वीकार्य हैं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के प्रांत के लिए उसके भीतर के व्यंजक को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the root must be non-negative. Thus, \(1-|x-2|\ge 0\), so \(|x-2|\le 1\). This gives \(-1\le x-2\le 1\), hence \(1\le x\le 3\). Therefore, the domain is \([1,3]\). Option C excludes the endpoints, but at \(x=1\) and \(x=3\), the radicand is 0, so both values are allowed. Exam tip: For a square-root function, require the radicand to be \(\ge 0\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-3}{x+1}\ge 0\) और \(x\ne -1\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<-1) या \(x\ge 3\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-3}{x+1}\ge 0\) and \(x\ne -1\). A sign chart gives (x<-1) or \(x\ge 3\).
\(y=\frac{5x-1}{x+2}\) से \(x=\frac{-1-2y}{y-5}\), इसलिए \(y\ne 5\)। रैखिक भिन्न फलन में हर शून्य करने वाला (y) परिसर से हटता है। / From \(y=\frac{5x-1}{x+2}\), \(x=\frac{-1-2y}{y-5}\), so \(y\ne 5\). In a linear fractional function, the (y) making the denominator zero is excluded.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक वास्तविक होने के लिए \(2-|x+1|\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(|x+1|\le 2\), जिससे \(-2\le x+1\le 2\) और इसलिए \(-3\le x\le 1\)। इस कारण प्रांत \([-3,1]\) है। सिरों \(x=-3\) और \(x=1\) को शामिल करना न भूलें, क्योंकि वहाँ वर्गमूल के अंदर का मान शून्य है। / For the square root to be real, its radicand must satisfy \(2-|x+1|\ge 0\). Thus, \(|x+1|\le 2\), which gives \(-2
ayle x+1\le 2\), and hence \(-3\le x\le 1\). Therefore, the domain is \([-3,1]\). The endpoints are included because the radicand is zero there. Exam tip: for a square-root function, set the expression under the radical greater than or equal to zero.
क्योंकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(\\sqrt{(x-2)^2+9}\\ge 3\\)। अतः \\(f(x)=7-\\sqrt{(x-2)^2+9}\\le 7-3=4\\)। अधिकतम मान 4 तब प्राप्त होता है जब \\(x=2\\)। जब \\(|x|\\to\\infty\\), तब वर्गमूल का मान अनंत की ओर बढ़ता है और \\(f(x)\\to-\\infty\\)। इसलिए परिसर \\((-\\infty,4]\\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करें; ऋणात्मक चिह्न होने पर वही अधिकतम फलन-मूल्य निर्धारित करता है। / Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(\\sqrt{(x-2)^2+9}\\ge 3\\). Therefore, \\(f(x)=7-\\sqrt{(x-2)^2+9}\\le 7-3=4\\). The maximum value 4 is attained at \\(x=2\\). As \\(|x|\\to\\infty\\), the square-root term tends to infinity, so \\(f(x)\\to-\\infty\\). Hence the range is \\((-\\infty,4]\\). Exam tip: first find the minimum of the radical expression; because it is subtracted, that minimum gives the maximum value of the function.
लघुगणकीय फलन के लिए उसका तर्क सदैव धनात्मक होना चाहिए। अतः \(\frac{x+4}{x-1}>0\) होना आवश्यक है। इसके महत्वपूर्ण बिंदु \(x=-4\) और \(x=1\) हैं। संकेत-जाँच करने पर यह भिन्न \(x<-4\) तथा \(x>1\) के लिए धनात्मक है। \(x=-4\) पर तर्क 0 हो जाता है, जो लघुगणक के लिए स्वीकार्य नहीं है, जबकि \(x=1\) पर भिन्न अपरिभाषित है। इसलिए सही प्रांत \(( -\infty,-4)\cup(1,\infty)\) है। परीक्षा टिप: लघुगणक वाले प्रश्नों में तर्क को हमेशा \(>0\) रखकर हल करें। / For a logarithmic function, its argument must be strictly positive. Hence, \(\frac{x+4}{x-1}>0\) is required. The critical values are \(x=-4\) and \(x=1\). A sign check shows that the fraction is positive for \(x<-4\) and for \(x>1\). At \(x=-4\), the argument becomes 0, which is not allowed for a logarithm, and at \(x=1\), the fraction is undefined. Therefore, the domain is \(( -\infty,-4)\cup(1,\infty)\). Exam tip: In logarithmic questions, first impose that the complete argument is greater than zero.
हर ((x+3)2+4\ge 4) है, इसलिए अधिकतम \(\frac{1}{2}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / The denominator ((x+3)2+4\ge 4), so the maximum is \(\frac{1}{2}\). As the denominator grows, the value approaches (0) but never becomes (0).
वर्गमूल के लिए ((x+2)(5-x)\ge 0) चाहिए। यह गुणनफल \(-2\le x\le 5\) पर अनऋणात्मक है। / For the square root, ((x+2)(5-x)\ge 0) is required. This product is non-negative for \(-2\le x\le 5\).
\((x+2)(5-x)=\frac{49}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\) का अधिकतम \(\frac{49}{4}\) है। वर्गमूल से अधिकतम \(\frac{7}{2}\) और न्यूनतम (0) मिलता है। / \((x+2)(5-x)=\frac{49}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\) has maximum \(\frac{49}{4}\). The square root gives maximum \(\frac{7}{2}\) and minimum (0).
\(t=|x-1|\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+3}\)। (t=0) पर (0) मिलता है और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है। / Put \(t=|x-1|\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+3}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1).
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(x^2-10x+24>0\) चाहिए। ((x-4)(x-6)>0) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so \(x^2-10x+24>0\) is required. From ((x-4)(x-6)>0), the outer intervals are obtained.
(f(x)=(x-2)2+4), इसलिए न्यूनतम (4) है। सिरों पर (f(0)=8) और (f(5)=13), इसलिए अधिकतम (13) है। / Since (f(x)=(x-2)2+4), the minimum is (4). At the endpoints, (f(0)=8) and (f(5)=13), so the maximum is (13).
\(t=x^2\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t+3}{t+1}=1+\frac{2}{t+1}\)। इसलिए मान (1) से बड़े और (3) तक हैं। / Put \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+3}{t+1}=1+\frac{2}{t+1}\). Hence values are greater than (1) and up to (3).
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x\ge 2\) और हर वाले वर्गमूल के लिए (x-5>0) चाहिए। संयुक्त शर्त (x>5) है। / For \(\sqrt{x-2}\), \(x\ge 2\), and for the denominator square root, (x-5>0) is needed. The combined condition is (x>5).
\(t=x^2\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{3t+1}{t+1}=3-\frac{2}{t+1}\)। (t=0) पर (1) मिलता है और (3) केवल सीमा मान है। / Put \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{3t+1}{t+1}=3-\frac{2}{t+1}\). At (t=0), the value is (1), and (3) is only a limiting value.
\(t=x^2-1\) लेने पर \(t\in[-1,\infty\)) और \(t\ne 0\)। इसलिए \(\frac{1}{t}\) के मान ((-\infty,-1]\cup\(0,\infty\)) हैं। / Taking \(t=x^2-1\), we get \(t\in[-1,\infty\)) and \(t\ne 0\). Hence \(\frac{1}{t}\) has values ((-\infty,-1]\cup\(0,\infty\)).
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(\log_{5}x>0\) चाहिए। आधार (5>1) होने से (x>1) मिलता है। / The square root is in the denominator, so \(\log_{5}x>0\) is required. Since the base (5>1), this gives (x>1).
दो बिंदुओं (-2) और (4) से दूरी का योग न्यूनतम (6) होता है। इनके बीच किसी भी (x) पर वही न्यूनतम मान मिलता है। / The sum of distances from (-2) and (4) has minimum (6). Any (x) between these points gives the same minimum value.
दो निश्चित बिंदुओं (1) और (5) से दूरियों का अंतर (-4) से (4) तक रहता है। अंतरालों पर चिह्न हटाकर सीमा मान जांचें। / The difference of distances from fixed points (1) and (5) lies from (-4) to (4). Remove signs interval-wise and check endpoint values.
\(x^2\ge 0\) होने से \(x^2+1\ge1\) और \(x=0\) पर न्यूनतम मान 1 मिलता है। प्रत्येक \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लिया जा सकता है। \(\sqrt{x}+1\) का परिभाषा-क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं है। परीक्षा में वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान जाँचें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2+1\ge1\), with minimum value 1 at \(x=0\). For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt{y-1}\). In contrast, \(\sqrt{x}+1\) is not defined for all real \(x\). Exam tip: check the minimum of a squared term.
परिमेय फलन का हर शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। यहाँ \(x^2-a=0\), अर्थात् \(x^2=a\)। प्रांत से हटाए गए मान \(x=-3\) और \(x=3\) हैं, इसलिए \(a=(-3)^2=3^2=9\)। अतः सही उत्तर \(9\) है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी \(x\)-मान प्रांत से बाहर होते हैं। / A rational function is undefined wherever its denominator is zero. Here, \(x^2-a=0\), so \(x^2=a\). The excluded values are \(x=-3\) and \(x=3\); hence \(a=(-3)^2=3^2=9\). Therefore, the correct answer is \(9\). Exam tip: Set the denominator equal to zero to identify the values excluded from the domain.
वर्गमूल के लिए \(6x-x^2-5\ge 0\) चाहिए। इसे (-(x-1)(x-5)\ge 0) लिखने पर \(1\le x\le 5\) मिलता है। / The square root needs \(6x-x^2-5\ge 0\). Writing it as (-(x-1)(x-5)\ge 0) gives \(1\le x\le 5\).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक \(6x-x^2-5=4-(x-3)^2\) है। इसके लिए \((x-3)^2\leq 4\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([1,5]\) है। व्यंजक का मान \([0,4]\) में होता है और उसका वर्गमूल लेने पर \(f(x)\) का परास \([0,2]\) मिलता है। विकल्प C केवल अंदर के व्यंजक का परास है, फलन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करें, फिर वर्गमूल लें। / The radicand can be rewritten as \(6x-x^2-5=4-(x-3)^2\). For the function to be real, \((x-3)^2\leq 4\), giving the domain \([1,5]\). The radicand varies from 0 to 4, so taking its square root gives \(f(x)\in[0,2]\). Option C is the range of the radicand, not of the function. Exam tip: for a square-root function, first find the range of the expression under the root and then apply the square root.
हर \(|x+3|+2\ge 2\), इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{2}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator \(|x+3|+2\ge 2\), so the maximum value is \(\frac{1}{2}\). As the denominator grows, the value approaches (0).
मूल प्रांत में \(x\ne 3\) है और सरलीकरण से (f(x)=x+3)। इसलिए (x=3) पर आने वाला मान (6) परिसर से हटेगा। / The original domain has \(x\ne 3\), and simplification gives (f(x)=x+3). Hence the value (6), which would occur at (x=3), is excluded from the range.
मूल हर (x-3) है, इसलिए (x=3) स्वीकार्य नहीं है। सरलीकरण के बाद भी हटे हुए बिंदु को प्रांत में न जोड़ें। / The original denominator is (x-3), so (x=3) is not allowed. Even after simplification, do not add the removed point to the domain.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक वर्गमूल के भीतर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। \(x+2\ge 0\) से \(x\ge -2\) और \(8-x\ge 0\) से \(x\le 8\) मिलता है। अतः दोनों शर्तों का छेदन \([-2,8]\) है। \(x=-2\) और \(x=8\) पर एक वर्गमूल शून्य होता है, इसलिए दोनों सिरे शामिल हैं; इसीलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में प्रत्येक radicand के लिए \(\ge 0\) की शर्त लगाकर सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots to be real, each radicand must be non-negative. From \(x+2\ge 0\), we get \(x\ge -2\), and from \(8-x\ge 0\), we get \(x\le 8\). Hence, the intersection is \([-2,8]\). At \(x=-2\) and \(x=8\), one square root becomes zero, so both endpoints are included; therefore, option B is incorrect. Exam tip: For radical functions, require every radicand to be \(\ge 0\) and intersect all resulting conditions.
वास्तविक मान के लिए \(x+2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\), अतः \(-2\le x\le 8\)। अब कॉशी-श्वार्ज असमता से \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\)। इसलिए \(f(x)\le 2\sqrt{5}\)। समानता तब मिलती है जब \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), अर्थात् \(x=3\)। अतः अधिकतम मान \(2\sqrt{5}\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले मूलों के परिभाषित होने का अंतराल और फिर समानता की स्थिति जाँचें। / For real values, \(x+2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so the domain is \(-2\le x\le 8\). By the Cauchy–Schwarz inequality, \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\). Hence \(f(x)\le 2\sqrt{5}\). Equality occurs when \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), which gives \(x=3\). Therefore, the maximum value is \(2\sqrt{5}\). Exam tip: first determine the domain of radical expressions, then check the equality condition for the inequality used.
बंद अंतराल ([-2,8]) में न्यूनतम सिरों पर आता है। दोनों सिरों पर मान \(\sqrt{10}\) है। / On the closed interval ([-2,8]), the minimum occurs at the endpoints. At both endpoints, the value is \(\sqrt{10}\).
\(|2x|\le x^2+1\) क्योंकि ((x-1)2\ge 0) और ((x+1)2\ge 0)। इसलिए मान (-1) से (1) तक हैं और दोनों मिलते हैं। / \(|2x|\le x^2+1\) because ((x-1)2\ge 0) and ((x+1)2\ge 0). Hence the values lie from (-1) to (1), and both occur.
\(|3x|\le \frac{x^2+9}{2}\), इसलिए \(\left|\frac{3x}{x^2+9}\right|\le \frac{1}{2}\)। समानता \(x=\pm 3\) पर मिलती है। / Since \(|3x|\le \frac{x^2+9}{2}\), \(\left|\frac{3x}{x^2+9}\right|\le \frac{1}{2}\). Equality occurs at \(x=\pm 3\).
हर में \(\sqrt{x^2-4}\) है, इसलिए उसके अंदर का व्यंजक केवल गैर-ऋणात्मक होना पर्याप्त नहीं है; हर शून्य भी नहीं हो सकता। अतः \(x^2-4>0\) आवश्यक है। इससे \(x^2>4\), यानी \(x<-2\) या \(x>2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\) है। विकल्प B में \(x=\pm2\) शामिल हैं, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: जब वर्गमूल हर में हो, तो मूलांक के अंदर का व्यंजक हमेशा सख्ती से धनात्मक रखें। / Since \(\sqrt{x^2-4}\) is in the denominator, its radicand must be non-negative and the denominator must also be nonzero. Hence, \(x^2-4>0\), so \(x^2>4\), giving \(x<-2\) or \(x>2\). Therefore, the domain is \((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(x=\pm2\), where the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, require the expression under the root to be strictly positive.
वर्गमूल के अंदर की राशि के लिए \(9-x^2\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(-3\le x\le 3\)। साथ ही, हर \(x+1\neq 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x=-1\) को हटाना होगा। अतः प्रांत \([-3,3]\setminus\{-1\}\) है। विकल्प C में \(-1\) को नहीं हटाया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल के लिए असमता और हर के लिए शून्य से भिन्न होने की शर्त दोनों जाँचें। / For the square root to be defined, \(9-x^2\ge 0\), which gives \(-3\le x\le 3\). Also, the denominator must be non-zero, so \(x+1\neq 0\), excluding \(x=-1\). Therefore, the domain is \([-3,3]\setminus\{-1\}\). Option C is incorrect because it includes \(-1\), where the denominator becomes zero. Exam tip: for such functions, impose both the radicand condition and the non-zero denominator condition.
\(\sqrt{x}\ge 0\), इसलिए हर कम से कम (1) है। (x=0) पर (1) मिलता है और \(x\to\infty\) पर मान (0) के पास जाता है। / Since \(\sqrt{x}\ge 0\), the denominator is at least (1). At (x=0), the value is (1), and as \(x\to\infty\), it approaches (0).
(x-2+2x+2=(x+1)2+1), इसलिए अंदर का न्यूनतम (1) है। वर्गमूल के बाद परिसर \([1,\infty\)) होगा। / Since (x-2+2x+2=(x+1)2+1), the inside minimum is (1). After square root, the range is \([1,\infty\)).
क्योंकि \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), इसलिए लघुगणक का तर्क सदैव \(1\) या उससे अधिक है। इसका न्यूनतम मान \(1\) तब मिलता है जब \(x=-1\), और \(\log_2 1=0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बढ़ता है, तर्क तथा फलन का मान बिना सीमा के बढ़ता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि न्यूनतम फलन मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करके उस पर लघुगणक लगाएँ। / Since \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), the logarithm's argument is always at least \(1\). Its minimum value is \(1\) at \(x=-1\), giving \(\log_2 1=0\). As \(|x|\) increases, the argument and hence the function value grow without bound. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because the minimum function value is \(0\), not \(1\). Exam tip: find the minimum value of the quadratic expression first, then apply the logarithm.
क्योंकि \(x\in[0,2)\), इसलिए \(2x\in[0,4)\)। अतः \(\lfloor 2x\rfloor\) के संभावित पूर्णांक मान \(0,1,2,3\) हैं। प्रत्येक मान प्राप्त होता है, जैसे \(x\in[0,\tfrac12)\) पर मान \(0\), \(x\in[\tfrac12,1)\) पर मान \(1\), और इसी प्रकार। \(x=2\) शामिल नहीं है, इसलिए \(2x=4\) और फलन का मान \(4\) प्राप्त नहीं हो सकता। अतः सही परिसर \(\{0,1,2,3\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में इनपुट अंतराल के खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since \(x\in[0,2)\), we have \(2x\in[0,4)\). Therefore, the possible integer values of \(\lfloor 2x\rfloor\) are \(0,1,2,3\), and each of them is attained. For example, the value is \(0\) when \(x\in[0,\tfrac12)\), \(1\) when \(x\in[\tfrac12,1)\), and so on. The endpoint \(x=2\) is excluded, so \(2x=4\) and the value \(4\) cannot occur; hence option B is incorrect. Thus, the range is \(\{0,1,2,3\}\). Exam tip: For the greatest-integer function, check carefully whether the endpoints of the input interval are included.
छत फलन (x) से छोटा नहीं सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (x>-2) है, इसलिए (-2) मान नहीं आएगा। / The ceiling function gives the smallest integer not less than (x). Since (x>-2), the value (-2) will not occur.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), अतः फलन का परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। \(t=(x+2)^2\ge0\) रखने पर \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\) मिलता है। \(t=0\) पर \(f(x)=4\) प्राप्त होता है, जबकि \(t\to\infty\) होने पर मान \(1\) के निकट जाता है, पर \(1\) कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परास \((1,4]\) है। विकल्प B में \(1\) को शामिल किया गया है और विकल्प C में प्राप्त होने वाले मान \(4\) को हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलनों में वर्ग पूर्ण करके नए चर की सीमा निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), so the domain is \(\mathbb{R}\). Put \(t=(x+2)^2\ge0\). Then \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). At \(t=0\), the value \(4\) is attained. As \(t\to\infty\), the function approaches \(1\), but it never equals \(1\). Hence the range is \((1,4]\). Option B incorrectly includes \(1\), while option C excludes the attained value \(4\). Exam tip: For such rational functions, complete the square and determine the allowed range of the substituted variable.
(t=(x-1)2\ge 0) रखने पर \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\)। अधिकतम (4) है और (1) केवल सीमा मान है। / Put (t=(x-1)2\ge 0), then \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). The maximum is (4), and (1) is only a limiting value.
वास्तविक मान के लिए दोनों वर्गमूलों के अंदर के व्यंजक गैर-ऋणात्मक होने चाहिए: \(x-1\ge 0\) से \(x\ge 1\), और \(9-x\ge 0\) से \(x\le 9\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([1,9]\) है। 1 और 9 दोनों शामिल हैं, क्योंकि इन बिंदुओं पर एक वर्गमूल का मान 0 होता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक radicand को \(\ge 0\) रखें और शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For real values, the expressions under both square roots must be non-negative: \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), while \(9-x\ge 0\) gives \(x
e 9\). Their intersection is \([1,9]\). Both endpoints are included because one square-root term becomes 0 at each endpoint. Exam tip: For a function containing square roots, set every radicand to \(\ge 0\) and take the intersection of the resulting conditions.
सिरों पर मान \(2\sqrt{2}\) और मध्य (x=5) पर अधिकतम (4) है। सममित वर्गमूलों में सिरों और मध्य दोनों जांचें। / At the endpoints the value is \(2\sqrt{2}\), and at the midpoint (x=5), the maximum is (4). For symmetric radicals, check both endpoints and the midpoint.
हर वाले वर्गमूल के लिए (x-1>0) और दूसरे वर्गमूल के लिए \(4-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(1<x\le 4\)। / The denominator square root needs (x-1>0), and the second square root needs \(4-x\ge 0\). Hence \(1<x\le 4\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{4-x}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) चाहिए। संकेत जांच से \(-2<x\le 4\) मिलता है। / The square root needs \(\frac{4-x}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign check gives \(-2<x\le 4\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x+5}{2-x}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। संकेत सारणी से ([-5,2)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x+5}{2-x}\ge 0\) and \(x\ne 2\). A sign chart gives ([-5,2)).
वर्गमूल के लिए \(x\ge 2\) और हर के लिए \(x\ne 7\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([2,\infty\)\setminus{7}) है। / The square root needs \(x\ge 2\), and the denominator needs \(x\ne 7\). Hence the domain is \([2,\infty\)\setminus{7}).
वास्तविक वर्गमूल के लिए वर्गमूल के भीतर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। अतः \(x^2-6x+5\ge 0\)। इसे \((x-1)(x-5)\ge 0\) लिखते हैं। यह गुणनफल \(x\le 1\) या \(x\ge 5\) के लिए शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए प्रांत \(( -\infty,1]\cup[5,\infty)\) है। विकल्प \([1,5]\) सही नहीं है, क्योंकि मूलों के बीच व्यंजक ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the root must be non-negative. Thus, \(x^2-6x+5\ge 0\). Factoring gives \((x-1)(x-5)\ge 0\), which is true for \(x\le 1\) or \(x\ge 5\). Therefore, the domain is \(( -\infty,1]\cup[5,\infty)\). Option \([1,5]\) is incorrect because the quadratic is negative between its roots. Exam tip: for any square-root function, set the radicand greater than or equal to zero first.
प्रांत में अंदर का व्यंजक (0) से शुरू होकर असीम तक जाता है। इसलिए वर्गमूल का परिसर \([0,\infty\)) है। / On the domain, the inside expression starts at (0) and goes to infinity. Hence the square root range is \([0,\infty\)).
(f(x)=x+\frac{4}{x}) है। (x>0) पर मान \([4,\infty\)) और (x<0) पर (\(-\infty,-4]\) मिलता है। / Here (f(x)=x+\frac{4}{x}). For (x>0), values are \([4,\infty\)), and for (x<0), values are (\(-\infty,-4]\).
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\) मिलता है। चूँकि \((x+1)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(2\) है, जो \(x=-1\) पर प्राप्त होता है। इसलिए मान-समुच्चय \([2,\infty)\) और \(m=2\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को \(a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखने पर, यदि \(a>0\) हो, तो न्यूनतम मान \(k\) होता है। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\). Since \((x+1)^2\geq 0\), the function has minimum value \(2\), attained at \(x=-1\). Hence its range is \([2,\\infty)\), so \(m=2\). Exam tip: For a quadratic written as \(a(x-h)^2+k\) with \(a>0\), the minimum value is \(k\). The constant term \(3\) is not the minimum value.
वर्गमूल के लिए (\log_{\frac{1}{2}}(x-4)\ge 0) और (x-4>0) चाहिए। आधार \(\frac{1}{2}<1\) होने से \(0<x-4\le 1\), इसलिए प्रांत ((4,5]) है। / The square root needs (\log_{\frac{1}{2}}(x-4)\ge 0) and (x-4>0). Since the base \(\frac{1}{2}<1\), \(0<x-4\le 1\), so the domain is ((4,5]).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-5}{x-2}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<2) या \(x\ge 5\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-5}{x-2}\ge 0\) and \(x\ne 2\). A sign chart gives (x<2) or \(x\ge 5\).
\(y=\frac{7x+4}{2x-3}\) से \(x=\frac{3y+4}{2y-7}\), इसलिए \(y\ne \frac{7}{2}\)। रैखिक भिन्न फलन में असंभव (y) को हटाएं। / From \(y=\frac{7x+4}{2x-3}\), \(x=\frac{3y+4}{2y-7}\), so \(y\ne \frac{7}{2}\). In a linear fractional function, remove the impossible (y).
वर्गमूल के लिए \(12-x-x^2\ge 0\) चाहिए। इसे (-(x+4)(x-3)\ge 0) लिखकर \(-4\le x\le 3\) मिलता है। / The square root needs \(12-x-x^2\ge 0\). Writing it as (-(x+4)(x-3)\ge 0) gives \(-4\le x\le 3\).
\(12-x-x^2=\frac{49}{4}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\), इसलिए अंदर का अधिकतम \(\frac{49}{4}\) है। वर्गमूल से अधिकतम \(\frac{7}{2}\) मिलता है। / Since \(12-x-x^2=\frac{49}{4}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\), the inside maximum is \(\frac{49}{4}\). Taking square root gives maximum \(\frac{7}{2}\).
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(x^2-2x-8>0\) चाहिए। ((x-4)(x+2)>0) से बाहरी खुले अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so \(x^2-2x-8>0\) is required. From ((x-4)(x+2)>0), the outer open intervals are obtained.
\(t=x^2\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t+5}{t+2}=1+\frac{3}{t+2}\)। अधिकतम \(\frac{5}{2}\) है और (1) केवल सीमा मान है। / Put \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+5}{t+2}=1+\frac{3}{t+2}\). The maximum is \(\frac{5}{2}\), and (1) is only a limiting value.
लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x^2-9>0\)। अर्थात् \((x-3)(x+3)>0\), जिससे \(x<-3\) या \(x>3\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \(\,(-\infty,-3)\cup(3,\infty)\,\) है। सिरों \(x=-3\) और \(x=3\) को शामिल नहीं किया जा सकता, क्योंकि वहाँ लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है। परीक्षा में लॉगरिदम के तर्क के लिए हमेशा ‘धनात्मक’ शर्त लगाएँ, केवल ‘अशून्य’ नहीं। / The argument of a logarithm must be positive, so \(x^2-9>0\). Factoring gives \((x-3)(x+3)>0\), which holds when \(x<-3\) or \(x>3\). Therefore, the domain is \( (-\infty,-3)\cup(3,\infty) \). The endpoints \(x=-3\) and \(x=3\) are excluded because the logarithm’s argument becomes zero there; option C incorrectly excludes only these two points and includes values between them. Exam tip: for a logarithm, require its argument to be strictly positive, not merely nonzero.
लघुगणकीय फलन का परिसर सभी वास्तविक संख्याएं होता है जब उसका आर्गुमेंट सभी धनात्मक मान ले सकता है। आधार \(\frac{1}{3}\) केवल दिशा बदलता है, परिसर नहीं। / A logarithmic function has all real numbers as range when its argument can take all positive values. The base \(\frac{1}{3}\) only changes direction, not the range.
\(t=\sqrt{x-1}\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+4}\)। (t=0) पर (0) मिलता है और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है। / Put \(t=\sqrt{x-1}\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+4}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1).
वर्गमूल के लिए \(|x+2|-5\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(|x+2|\ge 5\), जिससे \(x\le -7\) या \(x\ge 3\) मिलता है। / The square root needs \(|x+2|-5\ge 0\). Hence \(|x+2|\ge 5\), giving \(x\le -7\) or \(x\ge 3\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(|x-4|-1\ne0\), अर्थात \(|x-4|\ne1\)। इससे \(x-4=1\) या \(x-4=-1\), अतः \(x=5\) या \(x=3\)। इसलिए वास्तविक संख्याओं में से केवल 3 और 5 को हटाने पर प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{3,5\}\) मिलता है। विकल्प B में 4 को हटाया गया है, जबकि \(x=4\) पर हर \(-1\) होता है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी मानों को डोमेन से हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Thus, \(|x-4|-1\ne0\), or \(|x-4|\ne1\). Hence, \(x-4=1\) or \(x-4=-1\), giving \(x=5\) or \(x=3\). Therefore, the domain is all real numbers except 3 and 5: \(\mathbb{R}\setminus\{3,5\}\). Option B incorrectly excludes 4; at \(x=4\), the denominator is \(-1\), so the function is defined. Exam tip: for a rational function, exclude every input that makes the denominator zero.
मूल हर (x-4) है, इसलिए (x=4) स्वीकार्य नहीं है। सरलीकरण के बाद भी हटे बिंदु को प्रांत में न जोड़ें। / The original denominator is (x-4), so (x=4) is not allowed. Even after simplification, do not add the removed point to the domain.
\(x\ne 4\) पर फलन (x+4) के बराबर है। (x=4) से आने वाला मान (8) परिसर में नहीं आएगा। / For \(x\ne 4\), the function equals (x+4). The value (8), which would come from (x=4), will not be in the range.
\(\sqrt{x+b}\) के लिए \(x+b\ge 0\), यानी \(x\ge -b\)। दिए गए प्रांत से (-b=-6), इसलिए (b=6)। / For \(\sqrt{x+b}\), \(x+b\ge 0\), so \(x\ge -b\). Comparing with the given domain, (-b=-6), hence (b=6).
परिभाषा के लिए हर शून्य नहीं होना चाहिए। हर \(x^2-k=0\) तब शून्य होता है, अर्थात् \(x^2=k\)। दिए गए प्रांत से \(x=-5\) और \(x=5\) परिभाषित नहीं हैं, इसलिए \(k=5^2=25\)। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि उससे हटाए जाने वाले मान \(x=\pm\sqrt{5}\) होते। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन में हर को शून्य करने वाले सभी \(x\)-मान प्रांत से हटाए जाते हैं। / The denominator must be nonzero for the function to be defined. Setting the denominator equal to zero gives \(x^2-k=0\), or \(x^2=k\). Since the excluded values are \(x=-5\) and \(x=5\), we get \(k=5^2=25\). Option 5 is incorrect because it would exclude \(x=\pm\sqrt{5}\). Exam tip: For a rational function, exclude every value of \(x\) that makes the denominator zero.
वर्ग पूर्ण करने पर \(f(x)=x^2-8x+20=(x-4)^2+4\) प्राप्त होता है। चूँकि \((x-4)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(4\) है, जो \(x=4\) पर प्राप्त होता है। इसलिए इसका परास \([4,\infty)\) और \(m=4\) है। परीक्षा में द्विघात फलन का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए उसे \((x-h)^2+k\) के रूप में लिखना उपयोगी है। / Completing the square gives \(f(x)=x^2-8x+20=(x-4)^2+4\). Since \((x-4)^2\geq 0\), the minimum value of the function is \(4\), attained at \(x=4\). Hence the range is \([4,\infty)\), so \(m=4\). In an exam, rewrite a quadratic as \((x-h)^2+k\) to identify its minimum value quickly; \(8\) is only related to the coefficient of x, not the minimum.
(f(x)=-(x-3)2+4), इसलिए अधिकतम (4) है। \(नीचे खुलने वाले परवलय का परिसर ((-\infty\),अधिकतम]) होता है। \(/ Here (f(x)=-(x-3)^2+4), so the maximum is (4). A downward-opening parabola has range ((-\infty\),maximum]).
हर ((x+2)2+4\ge 4) है, इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator ((x+2)2+4\ge 4), so the maximum value is \(\frac{1}{4}\). As the denominator grows, the value approaches (0).
\(y=\frac{x^2}{x^2+4x+8}\) से ((y-1)x-2+4yx+8y=0) में वास्तविक (x) चाहिए। विविक्तकर (16y-2-32y(y-1)=16y(2-y)) से \(0\le y\le 2\), पर (y=1) भी संभव है, इसलिए विस्तृत जांच से ([0,2]) मिलता है। / From \(y=\frac{x^2}{x^2+4x+8}\), real (x) is needed in ((y-1)x-2+4yx+8y=0). The discriminant gives \(0\le y\le 2\), and (y=1) is also possible, so the range is ([0,2]).
\(y=\frac{x^2+4x+8}{x^2+4}\) से ((y-1)x-2-4x+4y-8=0) में वास्तविक (x) चाहिए। विविक्तकर (16-4(y-1)(4y-8)\ge 0) से \(0\le y\le 2\) मिलता है। / From \(y=\frac{x^2+4x+8}{x^2+4}\), real (x) is required in ((y-1)x-2-4x+4y-8=0). The discriminant condition (16-4(y-1)(4y-8)\ge 0) gives \(0\le y\le 2\).
वास्तविक मान के लिए दोनों वर्गमूलों के अंदर के व्यंजक अनऋणात्मक होने चाहिए: \(x-2\ge 0\) और \(7-x\ge 0\)। इन असमिकाओं का साझा हल \(2\le x\le 7\) है, इसलिए प्रांत \([2,7]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=2\) और \(x=7\) पर भी वर्गमूल परिभाषित हैं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक मूल के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखें और प्राप्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For real values, the expressions under both square roots must be non-negative: \(x-2\ge 0\) and \(7-x\ge 0\). Their common solution is \(2\le x\le 7\), so the domain is \([2,7]\). Option B is incorrect because the endpoints \(x=2\) and \(x=7\) are also valid. Exam tip: for a function containing square roots, set every radicand \(\ge 0\) and take the intersection of the resulting conditions.
सिरों पर मान \(\sqrt{5}\) और मध्य \(x=\frac{9}{2}\) पर अधिकतम \(\sqrt{10}\) है। सममिति वाले प्रश्नों में मध्य बिंदु जरूर जांचें। / At the endpoints the value is \(\sqrt{5}\), and at the midpoint \(x=\frac{9}{2}\), the maximum is \(\sqrt{10}\). In symmetric questions, always check the midpoint.
हर वाले वर्गमूल के लिए (x+2>0) और दूसरे वर्गमूल के लिए \(6-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(-2<x\le 6\)। / The denominator square root needs (x+2>0), and the second square root needs \(6-x\ge 0\). Therefore \(-2<x\le 6\).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(25-x^2\ge 0\), जिससे \(-5\le x\le 5\) प्राप्त होता है। अतः \([-5,5]\) प्रारंभिक प्रांत है। साथ ही हर \(x-3\) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x=3\) को हटाना होगा। इस प्रकार प्रांत \([-5,5]\setminus\{3\}\) है। विकल्प B में सिरों \(-5\) और \(5\) को अनावश्यक रूप से हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल के लिए अंदर का भाग \(\ge 0\) और हर के लिए \(\ne 0\) शर्त लगाएँ। / The expression under the square root must be non-negative, so \(25-x^2\ge 0\), which gives \(-5\le x\le 5\). Thus the initial domain is \([-5,5]\). Also, the denominator \(x-3\) cannot be zero, so \(x=3\) must be excluded. Therefore, the domain is \([-5,5]\setminus\{3\}\). Option B is incorrect because the endpoints \(-5\) and \(5\) are allowed. Exam tip: impose \(\text{radicand}\ge 0\) and denominator \(\ne 0\).
दिए गए अंतराल में \(\sin x\) का अधिकतम (1) और न्यूनतम (-1) दोनों आते हैं। त्रिकोणमितीय परिसर के लिए प्रमुख कोणों की जांच करें। / In the given interval, \(\sin x\) attains both maximum (1) and minimum (-1). For trigonometric ranges, check key angles.
A. \( \mathbb{R}\setminus\left{\frac{3\pi}{2}+2n\pi:n\in\mathbb{Z}\right} \)
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(1+\sin x\ne 0\)। \(\sin x=-1\) पर \(x=\frac{3\pi}{2}+2n\pi\) हटेगा। / The denominator must not be zero, so \(1+\sin x\ne 0\). When \(\sin x=-1\), \(x=\frac{3\pi}{2}+2n\pi\) is excluded.
\(\sin x\in[-1,1]\), इसलिए \(2+\sin x\in[1,3]\)। ऊर्ध्व स्थानांतरण में परिसर भी उतना ही खिसकता है। / Since \(\sin x\in[-1,1]\), \(2+\sin x\in[1,3]\). Under vertical shift, the range shifts by the same amount.
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(\sin x\ge 0\) होना आवश्यक है। \([0,2\pi]\) में \(\sin x\) गैर-ऋणात्मक केवल \([0,\pi]\) पर होता है। दोनों सिरों पर \(\sin 0=\sin\pi=0\), इसलिए 0 और \(\pi\) शामिल होंगे। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत निकालते समय मूल के अंदर का व्यंजक पहले \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, we require \(\sin x\ge 0\). Within \([0,2\pi]\), sine is non-negative on \([0,\pi]\). The endpoints are included because \(\sin 0=\sin\pi=0\). Exam tip: for a square-root function, first impose that the expression inside the root is at least zero, then intersect the result with the given interval.
A. \( \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right] \)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल के लिए \(\cos x\ge 0\) चाहिए। \([0,2\pi]\) में यह पहले और चौथे चतुर्थांश में सत्य है। / The square root needs \(\cos x\ge 0\). In \([0,2\pi]\), this is true in the first and fourth quadrants.
\(x+2\in[1,5\)), इसलिए महत्तम पूर्णांक मान (1,2,3,4) होंगे। (5) नहीं आता क्योंकि ऊपरी सिरा खुला है। / Here \(x+2\in[1,5\)), so the greatest integer values are (1,2,3,4). The value (5) does not occur because the upper endpoint is open.
किसी भी वास्तविक संख्या का भिन्नांश भाग (0) से बड़ा या बराबर और (1) से छोटा होता है। (2x) पूर्णांक होने पर मान (0) मिलता है। / The fractional part of any real number is at least (0) and less than (1). When (2x) is an integer, the value is (0).
(3x\in(0,3]), इसलिए छत फलन के मान (1,2,3) होंगे। (0) नहीं आता क्योंकि (x>0) है। / Since (3x\in(0,3]), the ceiling function values are (1,2,3). The value (0) does not occur because (x>0).
\(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), इसलिए हर कम से कम (3) है। अधिकतम \(\frac{1}{3}\) है और मान (0) के पास जाता है। / Since \(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), the denominator is at least (3). The maximum is \(\frac{1}{3}\), and the value approaches (0).
हर हमेशा \(|x|\) से बड़ा है, इसलिए \(\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\right|<1\)। बड़े \(|x|\) पर मान \(\pm 1\) के पास जाता है पर बराबर नहीं होता। / The denominator is always greater than \(|x|\), so \(\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\right|<1\). For large \(|x|\), the value approaches \(\pm 1\) but never equals them.
हर (\sqrt{(x-2)2+4}) है, जो (|x-2|) से बड़ा है। इसलिए अनुपात का मान (-1) और (1) के बीच ही रहता है। / The denominator is (\sqrt{(x-2)2+4}), which is greater than (|x-2|). Hence the ratio stays strictly between (-1) and (1).
(f(x)=x+\frac{1}{x}) है। (x>0) पर मान \([2,\infty\)) और (x<0) पर (\(-\infty,-2]\) मिलते हैं। / Here (f(x)=x+\frac{1}{x}). For (x>0), values are \([2,\infty\)), and for (x<0), values are (\(-\infty,-2]\).
(f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}) है। धनात्मक (x) पर न्यूनतम (2) और ऋणात्मक (x) पर अधिकतम (-2) मिलता है। / Here (f(x)=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}). For positive (x), the minimum is (2), and for negative (x), the maximum is (-2).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{9-x^2}{x^2-4}\ge 0\) और \(x\ne\pm2\) चाहिए। संकेत जांच से ([-3,-2)\cup(2,3]) मिलता है। / The square root needs \(\frac{9-x^2}{x^2-4}\ge 0\) and \(x\ne\pm2\). A sign check gives ([-3,-2)\cup(2,3]).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x^2-1}{4-x^2}\ge 0\) और \(x\ne\pm2\) चाहिए। संकेत जांच से (\(-2,-1]\cup[1,2\)) मिलता है। / The square root needs \(\frac{x^2-1}{4-x^2}\ge 0\) and \(x\ne\pm2\). A sign check gives (\(-2,-1]\cup[1,2\)).
अंश के वर्गमूल के लिए \(x+3\ge 0\) और हर के वर्गमूल के लिए (2-x>0) चाहिए। इसलिए \(-3\le x<2\)। / The numerator square root needs \(x+3\ge 0\), and the denominator square root needs (2-x>0). Hence \(-3\le x<2\).
फलन \(\sqrt{\frac{x+3}{2-x}}\) है, जहां भिन्न \([0,\infty\)) के सभी मान लेता है। इसलिए वर्गमूल का परिसर भी \([0,\infty\)) है। / The function is \(\sqrt{\frac{x+3}{2-x}}\), where the fraction takes all values in \([0,\infty\)). Hence the square root range is also \([0,\infty\)).
वर्गमूल के लिए \(1-\frac{1}{x^2}\ge 0\) और \(x\ne 0\) चाहिए। इससे \(x^2\ge 1\), यानी \(|x|\ge 1\) मिलता है। / The square root needs \(1-\frac{1}{x^2}\ge 0\) and \(x\ne 0\). This gives \(x^2\ge 1\), so \(|x|\ge 1\).
प्रांत में \(\frac{1}{x^2}\in(0,1]), इसलिए अंदर का मान ([0,1)\) में है। वर्गमूल के बाद भी परिसर ([0,1)) रहता है। / On the domain, \(\frac{1}{x^2}\in(0,1]), so the inside value lies in ([0,1)\). After square root, the range remains ([0,1)).
\(x^2\ge0\) से \(x^2+1\ge1\), इसलिए हर कभी शून्य नहीं होता और प्रांत \(\mathbb R\) है। इसका व्युत्क्रम धनात्मक तथा अधिकतम 1 है, अतः परास \((0,1]\) है। परीक्षा में पहले हर की शून्यता जाँचें। / Since \(x^2+1\ge1\), the denominator never becomes zero, so the domain is \(\mathbb R\). Its reciprocal is positive and at most 1, giving range \((0,1]\). Exam tip: check denominator zeros first.
वर्गमूल के लिए (\log_{\frac{1}{4}}(9-x)\ge 0) और (9-x>0) चाहिए। आधार \(\frac{1}{4}<1\) होने से \(0<9-x\le 1\), इसलिए प्रांत ([8,9)) है। / The square root needs (\log_{\frac{1}{4}}(9-x)\ge 0) and (9-x>0). Since the base \(\frac{1}{4}<1\), \(0<9-x\le 1\), so the domain is ([8,9)).
\(\sqrt{x^2+4}\ge 2\), इसलिए हर कम से कम (5) है और अधिकतम मान \(\frac{2}{5}\) है। \(|x|\to\infty\) पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / Since \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\), the denominator is at least (5), so the maximum value is \(\frac{2}{5}\). As \(|x|\to\infty\), the value approaches (0) but never becomes (0).
\(x^2\ge 0\) होने से \(x^2+1>0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए है, इसलिए वर्गमूल वास्तविक रहता है। विकल्प B में \(|x|>1\) पर मूल के भीतर मान ऋणात्मक होगा। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर का व्यंजक सदैव \(\ge0\) जाँचें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1>0\) for every real \(x\), so its square root is always real. In option B, the radicand becomes negative when \(|x|>1\). Exam tip: for square-root functions, check that the radicand is always \(\ge0\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। इसलिए \(x+5\geq 0\), अतः \(x\geq -5\)। इसलिए डोमेन \([-5,\infty)\) है। विकल्प B में \(-5\) शामिल नहीं है, जबकि \(f(-5)=\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए मूल के अंदर के व्यंजक को \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the radical cannot be negative. Hence \(x+5\geq 0\), so \(x\geq -5\). Therefore, the domain is \([-5,\infty)\). Option B excludes \(-5\), but \(f(-5)=\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to determine its domain.
\(e^x\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित और सदैव धनात्मक है। \(x\to-\infty\) पर \(e^x\to0\), पर 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए न्यूनतम नहीं है। \(x^2\) और \(|x|\) का न्यूनतम 0 है। परीक्षा टिप: सीमा और प्राप्त मान में अंतर पहचानें। / \(e^x\) is defined for every real \(x\) and is always positive. As \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\), but it never equals 0, so no minimum is attained. In contrast, \(x^2\) and \(|x|\) attain 0. Exam tip: distinguish a limit from an attained value.
यह शीर्ष-रूप \(y=-(x+4)^2+9\) में दिया गया परवलय है। ऋणात्मक गुणांक के कारण यह नीचे की ओर खुलता है और इसका शीर्ष \((-4,9)\) है। इसलिए अधिकतम \(y\)-मान 9 है, जबकि नीचे की ओर मान अनंत तक जा सकते हैं; अतः रेंज \((- infty,9]\) है। विकल्प B ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय की रेंज जैसा है। परीक्षा-युक्ति: \(y=a(x-h)^2+k\) में \(a<0\) होने पर रेंज \((- infty,k]\) होती है। / The equation is in vertex form, \(y=-(x+4)^2+9\). Since the coefficient of the squared term is negative, the parabola opens downward and has vertex \((-4,9)\). Thus, 9 is the maximum value of \(y\), while the values extend indefinitely downward, so the range is \((- infty,9]\). Option B would describe the range of an upward-opening parabola. Exam tip: for \(y=a(x-h)^2+k\), if \(a<0\), the range is \((- infty,k]\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(4-x\ge 0\)। इससे \(x\le 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,4]\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C अनावश्यक रूप से \(x\ge 0\) भी मानता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the radicand must be non-negative: \(4-x\ge 0\). Thus \(x\le 4\), so the domain is \((- infty,4]\). Option B reverses the inequality, while option C incorrectly adds the unnecessary restriction \(x\ge 0\). Exam tip: For a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero to find the domain.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-1\) है, इसलिए \(x-1=0\) रखने पर \(x=1\) मिलता है। अतः \(x=1\) डोमेन से बाहर है, जबकि अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: परिमेय फलन का डोमेन पाने के लिए हर को शून्य करने वाले मान को अवश्य हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here the denominator is \(x-1\), and solving \(x-1=0\) gives \(x=1\). Therefore, \(x=1\) is excluded from the domain; the other listed values do not make the denominator zero. Exam tip: to find the domain of a rational function, exclude the values that make its denominator zero.
जब \(x>2\), तब \(x+2>0\) और \(x-2>0\), इसलिए \(|x+2|=x+2\) तथा \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x+2)-(x-2)=4\)। विकल्प \(2x\) तब मिलता है जब ऋणात्मक पद को सही ढंग से घटाया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक अंदरूनी पद का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x>2\), both \(x+2\) and \(x-2\) are positive. Hence, \(|x+2|=x+2\) and \(|x-2|=x-2\), so \(y=(x+2)-(x-2)=4\). The option \(2x\) results from mishandling the subtraction of the second modulus term. Exam tip: determine the sign of each expression inside an absolute value before removing the modulus.
यह फलन बिंदु \(x=1\) और \(x=-1\) से दूरियों के योग को दर्शाता है। त्रिभुज असमता के अनुसार \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\)। \(-1\leq x\leq 1\) के लिए दोनों दूरियों का योग ठीक 2 होता है, जबकि इस अंतराल के बाहर यह 2 से बढ़ जाता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में न्यूनतम मान 0 मान लिया गया है, जो संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन में न्यूनतम मान पाने के लिए महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच का अंतराल अवश्य जाँचें। / The function represents the sum of the distances of \(x\) from 1 and from \(-1\). By the triangle inequality, \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\). For \(-1\leq x\leq 1\), this sum is exactly 2, and outside this interval it increases above 2. Hence the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly assumes that the minimum can be 0, although the two points are 2 units apart. Exam tip: For a sum of absolute-value terms, check the interval between their critical points to find the minimum.
फलन के लिए \(x\neq 0\), इसलिए \(|x|>0\) और \(y=\frac{1}{|x|}>0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, \(y\) शून्य के बहुत निकट पहुँचता है, लेकिन कभी \(0\) नहीं होता; और \(|x|\) शून्य के निकट होने पर \(y\) असीमित रूप से बढ़ सकता है। अतः रेंज \((0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(1/\text{धनात्मक संख्या}\) हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए ऋणात्मक मान रेंज में नहीं आएँगे। / For this function, \(x\neq 0\), so \(|x|>0\) and therefore \(y=\frac{1}{|x|}>0\). As \(|x|\) becomes very large, \(y\) approaches zero but never equals it; as \(|x|\) approaches zero, \(y\) can increase without bound. Hence the range is \((0,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(0\). Exam tip: the reciprocal of a positive number is always positive, so negative values cannot belong to the range.
क्योंकि \(|x-5|\ge 0\), इसलिए \(y=|x-5|+2\ge 2\)। \(|x-5|=0\) तब होता है जब \(x=5\), अतः फलन का न्यूनतम मान \(2\) है और इसके बाद हर मान प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में 5 को न्यूनतम y-मान मान लिया गया है, जबकि 5 शीर्ष-बिंदु का x-निर्देशांक है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए पहले y का न्यूनतम या अधिकतम मान निर्धारित करें। / Since \(|x-5|\ge 0\), we have \(y=|x-5|+2\ge 2\). Equality occurs when \(x=5\), so the minimum value of the function is \(2\), and every value greater than 2 is attainable. Hence, the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly treats 5 as the minimum y-value; it is the x-coordinate of the vertex. Exam tip: To find the range of a modulus function, first determine its minimum or maximum y-value.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए इसके अंदर की राशि अशून्य से कम नहीं होनी चाहिए। अतः \\(x-6\\ge 0\\), जिससे \\(x\\ge 6\\) प्राप्त होता है। इसलिए डोमेन \\([6,\\infty)\\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को \\(\\ge 0\\) रखें; 6 शामिल है क्योंकि \\(\\sqrt{0}\\) परिभाषित है। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \\(x-6\\ge 0\\), which gives \\(x\\ge 6\\). Therefore, the domain is \\([6,\\infty)\\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand \\(\\ge 0\\); 6 is included because \\(\\sqrt{0}\\) is defined.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(16-x^2\ge 0\)। अतः \(x^2\le16\), इसलिए \(-4\le x\le4\)। दोनों सिरों पर वर्गमूल का मान 0 है, इसलिए वे भी डोमेन में शामिल हैं। विकल्प B केवल उन मानों को दर्शाता है जहाँ \(16-x^2\) ऋणात्मक होता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालने के लिए radicand को \(\ge0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression inside the radical must be non-negative: \(16-x^2\ge0\). Thus \(x^2\le16\), which gives \(-4\le x\le4\). Both endpoints are included because the square root equals 0 there. Option B represents values for which \(16-x^2\) is negative, so it cannot be the domain. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
दिया गया फलन \(y=\sqrt{16-x^2}\) समीकरण \(x^2+y^2=16\) वाले वृत्त के ऊपरी अर्धभाग को दर्शाता है। वर्गमूल के कारण \(y\ge 0\), और \(y\) का अधिकतम मान \(x=0\) पर \(4\) होता है। \(x=\pm4\) पर \(y=0\), इसलिए परास \([0,4]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले न्यूनतम और अधिकतम संभव मान जाँचें। / The function \(y=\sqrt{16-x^2}\) represents the upper semicircle of \(x^2+y^2=16\). Since a square root is non-negative, \(y\ge 0\), and its maximum value is \(4\) at \(x=0\). At \(x=\pm4\), \(y=0\); therefore, the range is \([0,4]\). Exam tip: For a square-root function, first identify its minimum and maximum possible output values.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है। यहाँ \(x+2=0\) रखने पर \(x=-2\) प्राप्त होता है, इसलिए \(x=-2\) डोमेन से बाहर है। अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता, इसलिए वे डोमेन में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी परिमेय फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए उसके हर को शून्य करके निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero because division by zero is undefined. Setting \(x+2=0\) gives \(x=-2\), so this value is excluded from the domain. For the other given values, the denominator is non-zero, so they belong to the domain. Exam tip: To find excluded values of a rational function, set its denominator equal to zero.
जब \(x=-3\), तब \(x+3=0\) होता है। साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(t)\) के लिए \(t=0\) पर मान \(0\) होता है, इसलिए \(f(-3)=0\)। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(t)\) का मान क्रमशः \(-1,0,1\) होता है जब \(t<0,t=0,t>0\) हो। / When \(x=-3\), we get \(x+3=0\). The signum function \(\operatorname{sgn}(t)\) has value \(0\) at \(t=0\), so \(f(-3)=0\). Exam tip: \(\operatorname{sgn}(t)\) equals \(-1,0,1\) for \(t<0,t=0,t>0\), respectively.
क्योंकि \(|x+5|\ge 0\), इसलिए \(y=2-|x+5|\le 2\)। जब \(x=-5\) होता है, तब \(|x+5|=0\) और \(y=2\), अतः 2 अधिकतम मान है। जैसे-जैसे \(|x+5|\) बढ़ता है, \(y\) बिना किसी निम्न सीमा के घटता जाता है। इसलिए रेंज \((- infty,2]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-|x-h|\) जैसे उल्टे मापांक फलन की अधिकतम सीमा \(a\) होती है। / Since \(|x+5|\ge 0\), we have \(y=2-|x+5|\le 2\). At \(x=-5\), \(|x+5|=0\) and \(y=2\), so 2 is the maximum value. As \(|x+5|\) increases, \(y\) decreases without any lower bound. Therefore, the range is \((- infty,2]\). Exam tip: For an inverted modulus function of the form \(a-|x-h|\), the maximum value is \(a\).
\\(\sqrt{1-x^2}\\) के लिए \\(1-x^2\ge0\\), इसलिए \\(-1\le x\le1\\)। वर्गमूल सदैव अऋणात्मक है और अधिकतम मान \\(x=0\\) पर 1 है। अतः रेंज \\([0,1]\\) है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर का व्यंजक पहले अऋणात्मक लें। / For \\(\sqrt{1-x^2}\\), the radicand must satisfy \\(1-x^2\ge0\\), giving \\(-1\le x\le1\\). A square root is non-negative, and its maximum is 1 at \\(x=0\\). Thus the range is \\([0,1]\\). Exam tip: first impose the radicand condition.
A. डोमेन \(\mathbb R\), परास \((0,1]\)/Domain \(\mathbb R\), range \((0,1]\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2\ge 0\) होने से \(x^2+1\ge1\), इसलिए हर वास्तविक \(x\) के लिए हर शून्य नहीं है और डोमेन \(\mathbb R\) है। \(f(0)=1\) अधिकतम है; \(x\) बढ़ने पर मान 0 के निकट जाता है, पर 0 नहीं बनता। परीक्षा टिप: हर के शून्य होने की जाँच करें। / Since \(x^2\ge0\), we have \(x^2+1\ge1\), so the denominator never becomes zero and the domain is \(\mathbb R\). Also, \(f(0)=1\) is the maximum value, while the function approaches 0 but never equals it. Exam tip: first check where the denominator is zero.
वास्तविक मानों के लिए \(x\ge 1\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) होता है। इसलिए \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\)। जब \(x=1\), तब \(y=7\), अतः 7 रेंज में शामिल है; और \(x\) बढ़ने पर \(y\) बिना किसी निचली सीमा के घट सकता है। इसलिए रेंज \((- infty,7]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-b\sqrt{\cdot}\) में \(b>0\) हो तो अधिकतम मान सामान्यतः मूल के शून्य होने पर मिलता है। / For real values, \(x\ge 1\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\). Hence \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\). When \(x=1\), \(y=7\), so 7 is included; as \(x\) increases, \(y\) can decrease without bound. Therefore, the range is \((- infty,7]\). Exam tip: for an expression of the form \(a-b\sqrt{\cdot}\) with \(b>0\), the maximum occurs when the square-root term is zero.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x^2-16\ge 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\ge 0\)। इससे \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\) है। विकल्प B केवल \(-4\) और \(4\) के बीच के मान देता है, जहाँ वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक होती है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x^2-16\ge 0\), or \((x-4)(x+4)\ge 0\). This gives \(x\le -4\) or \(x\ge 4\), so the domain is \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\). Option B incorrectly includes the interval between \(-4\) and \(4\), where the radicand is negative. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero before solving.
पहले फलन के अंदर का मान निकालते हैं: \(2.6+0.5=3.1\)। महानतम पूर्णांक फलन \(\lfloor y\rfloor\), \(y\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है; इसलिए \(\lfloor3.1\rfloor=3\)। विकल्प B में \(2.6\) का सीधे पूर्णांक भाग लिया गया है, जो इस फलन की परिभाषा के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(x+0.5\) निकालें, फिर floor लागू करें। / First evaluate the expression inside the floor function: \(2.6+0.5=3.1\). The greatest-integer function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\), so \(\lfloor3.1\rfloor=3\). Option B incorrectly takes the integer part of \(2.6\) without adding \(0.5\). Exam tip: evaluate the quantity inside the floor symbol before applying the function.
जब \(x\in[1,1.5)\), तब \(2x\in[2,3)\)। इस अंतराल में प्रत्येक \(2x\) का महत्तम पूर्णांक मान 2 होता है; 3 शामिल नहीं है क्योंकि \(x=1.5\) डोमेन में नहीं है। इसलिए मानों का समुच्चय \(\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के खुले और बंद सिरों को अवश्य जाँचें। / If \(x\in[1,1.5)\), then \(2x\in[2,3)\). The greatest integer less than or equal to every number in this interval is 2, so \(f(x)=2\) throughout the domain. The value 3 is not obtained because \(x=1.5\) is excluded. Hence the range is \(\{2\}\). Exam tip: Always check whether an endpoint is included when evaluating a greatest-integer function.
जब \(x=7\), तब फलन का इनपुट \(5-7=-2\) होता है। चूँकि \(-2\) ऋणात्मक है, इसलिए \(\operatorname{sgn}(-2)=-1\)। विकल्प 0 केवल तब होता है जब इनपुट 0 हो, और विकल्प 1 धनात्मक इनपुट के लिए होता है। परीक्षा-युक्ति: पहले कोष्ठक के अंदर का मान निकालकर उसका चिह्न पहचानें। / When \(x=7\), the input to the signum function is \(5-7=-2\). Since \(-2\) is negative, \(\operatorname{sgn}(-2)=-1\). The value 0 occurs only when the input is zero, while 1 is used for a positive input. Exam tip: first evaluate the expression inside the signum function and then identify its sign.
संयोजन का अर्थ है \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)। अतः \((f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}\)। वास्तविक वर्गमूल के लिए \(x-7\ge 0\), इसलिए \(x\ge 7\) और प्रांत \([7,\infty)\) है। विकल्प B में 7 को शामिल नहीं किया गया है, जबकि \(x=7\) पर फलन का मान 0 परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक का प्रांत निकालते समय उसके अंदर के व्यंजक को शून्य या धनात्मक रखें। / The composition means \((f\circ g)(x)=f(g(x))\). Hence, \((f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}\). For a real square root, \(x-7\ge 0\), so \(x\ge 7\), giving the domain \([7,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes 7, even though the function is defined at \(x=7\) with value 0. Exam tip: For the domain of a square-root expression, set the expression inside the root greater than or equal to zero.
योग फलन c((f+g)(x))c का प्रांत, c(fc) और c(gc) के प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। c(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}c) में मूलांक के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि वर्गमूल हर में है; इसलिए c(x-4>0c), अर्थात c(x>4c)। c(g(x)=x+1c) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः योग का प्रांत c(\(4,\infty\)c) है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो उसके अंदर का व्यंजक c\(\ge 0c\) नहीं, बल्कि c(>0c) होना चाहिए। / The domain of c((f+g)(x))c is the intersection of the domains of c(fc) and c(gc). For c(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}c), the radicand must be positive because the square root is in the denominator. Hence, c(x-4>0c), so c(x>4c). The function c(g(x)=x+1c) is defined for every real number. Therefore, the domain of the sum is c(\(4,\infty\)c). Exam tip: when a square root appears in a denominator, its radicand must be strictly positive, not merely non-negative.
\(\sqrt{x-1}\) के परिभाषित होने के लिए \(x-1\ge 0\), अर्थात् \(x\ge 1\), होना चाहिए। साथ ही, भागफल के हर \(g(x)=x-5\) का शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\ne 5\)। अतः दोनों शर्तों को मिलाने पर प्रांत \([1,\infty)\setminus\{5\}\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\) पर वर्गमूल \(0\) है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन के प्रांत में अंश और हर दोनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद लें तथा हर को शून्य करने वाले मान हटाएँ। / For \(\sqrt{x-1}\) to be defined, \(x-1\ge 0\), so \(x\ge 1\). In addition, the denominator \(g(x)=x-5\) must be nonzero, so \(x\ne 5\). Combining these conditions gives the domain \([1,\infty)\setminus\{5\}\). Option B is incorrect because \(x=1\) is allowed: the square root is \(0\) there. Exam tip: for a quotient, intersect the domains of the numerator and denominator functions, then exclude every value that makes the denominator zero.
A. h, \(x=a\) पर अपरिभाषित है/h is undefined at \(x=a\)
Explanation
Simple Explanation
भागफल फलन में हर का शून्य होना अनुमत नहीं है। इसलिए \(g(a)=0\) होने पर \(h(a)\) परिभाषित नहीं होता, भले ही \(f(a)=0\) भी हो। परीक्षा टिप: पहले हर के शून्य मानों को डोमेन से हटाएँ। / A quotient function cannot be defined where its denominator is zero. Thus \(g(a)=0\) makes \(h(a)\) undefined, even if \(f(a)=0\). Exam tip: find denominator zeros first and exclude them from the domain.
