Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x^2\ge 0\) होने से \(x^2+1>0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए है, इसलिए वर्गमूल वास्तविक रहता है। विकल्प B में \(|x|>1\) पर मूल के भीतर मान ऋणात्मक होगा। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर का व्यंजक सदैव \(\ge0\) जाँचें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1>0\) for every real \(x\), so its square root is always real. In option B, the radicand becomes negative when \(|x|>1\). Exam tip: for square-root functions, check that the radicand is always \(\ge0\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। इसलिए \(x+5\geq 0\), अतः \(x\geq -5\)। इसलिए डोमेन \([-5,\infty)\) है। विकल्प B में \(-5\) शामिल नहीं है, जबकि \(f(-5)=\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए मूल के अंदर के व्यंजक को \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the radical cannot be negative. Hence \(x+5\geq 0\), so \(x\geq -5\). Therefore, the domain is \([-5,\infty)\). Option B excludes \(-5\), but \(f(-5)=\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to determine its domain.
\(e^x\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित और सदैव धनात्मक है। \(x\to-\infty\) पर \(e^x\to0\), पर 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए न्यूनतम नहीं है। \(x^2\) और \(|x|\) का न्यूनतम 0 है। परीक्षा टिप: सीमा और प्राप्त मान में अंतर पहचानें। / \(e^x\) is defined for every real \(x\) and is always positive. As \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\), but it never equals 0, so no minimum is attained. In contrast, \(x^2\) and \(|x|\) attain 0. Exam tip: distinguish a limit from an attained value.
यह शीर्ष-रूप \(y=-(x+4)^2+9\) में दिया गया परवलय है। ऋणात्मक गुणांक के कारण यह नीचे की ओर खुलता है और इसका शीर्ष \((-4,9)\) है। इसलिए अधिकतम \(y\)-मान 9 है, जबकि नीचे की ओर मान अनंत तक जा सकते हैं; अतः रेंज \((- infty,9]\) है। विकल्प B ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय की रेंज जैसा है। परीक्षा-युक्ति: \(y=a(x-h)^2+k\) में \(a<0\) होने पर रेंज \((- infty,k]\) होती है। / The equation is in vertex form, \(y=-(x+4)^2+9\). Since the coefficient of the squared term is negative, the parabola opens downward and has vertex \((-4,9)\). Thus, 9 is the maximum value of \(y\), while the values extend indefinitely downward, so the range is \((- infty,9]\). Option B would describe the range of an upward-opening parabola. Exam tip: for \(y=a(x-h)^2+k\), if \(a<0\), the range is \((- infty,k]\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(4-x\ge 0\)। इससे \(x\le 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,4]\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C अनावश्यक रूप से \(x\ge 0\) भी मानता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the radicand must be non-negative: \(4-x\ge 0\). Thus \(x\le 4\), so the domain is \((- infty,4]\). Option B reverses the inequality, while option C incorrectly adds the unnecessary restriction \(x\ge 0\). Exam tip: For a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero to find the domain.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-1\) है, इसलिए \(x-1=0\) रखने पर \(x=1\) मिलता है। अतः \(x=1\) डोमेन से बाहर है, जबकि अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: परिमेय फलन का डोमेन पाने के लिए हर को शून्य करने वाले मान को अवश्य हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here the denominator is \(x-1\), and solving \(x-1=0\) gives \(x=1\). Therefore, \(x=1\) is excluded from the domain; the other listed values do not make the denominator zero. Exam tip: to find the domain of a rational function, exclude the values that make its denominator zero.
जब \(x>2\), तब \(x+2>0\) और \(x-2>0\), इसलिए \(|x+2|=x+2\) तथा \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x+2)-(x-2)=4\)। विकल्प \(2x\) तब मिलता है जब ऋणात्मक पद को सही ढंग से घटाया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक अंदरूनी पद का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x>2\), both \(x+2\) and \(x-2\) are positive. Hence, \(|x+2|=x+2\) and \(|x-2|=x-2\), so \(y=(x+2)-(x-2)=4\). The option \(2x\) results from mishandling the subtraction of the second modulus term. Exam tip: determine the sign of each expression inside an absolute value before removing the modulus.
यह फलन बिंदु \(x=1\) और \(x=-1\) से दूरियों के योग को दर्शाता है। त्रिभुज असमता के अनुसार \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\)। \(-1\leq x\leq 1\) के लिए दोनों दूरियों का योग ठीक 2 होता है, जबकि इस अंतराल के बाहर यह 2 से बढ़ जाता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में न्यूनतम मान 0 मान लिया गया है, जो संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन में न्यूनतम मान पाने के लिए महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच का अंतराल अवश्य जाँचें। / The function represents the sum of the distances of \(x\) from 1 and from \(-1\). By the triangle inequality, \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\). For \(-1\leq x\leq 1\), this sum is exactly 2, and outside this interval it increases above 2. Hence the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly assumes that the minimum can be 0, although the two points are 2 units apart. Exam tip: For a sum of absolute-value terms, check the interval between their critical points to find the minimum.
फलन के लिए \(x\neq 0\), इसलिए \(|x|>0\) और \(y=\frac{1}{|x|}>0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, \(y\) शून्य के बहुत निकट पहुँचता है, लेकिन कभी \(0\) नहीं होता; और \(|x|\) शून्य के निकट होने पर \(y\) असीमित रूप से बढ़ सकता है। अतः रेंज \((0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(1/\text{धनात्मक संख्या}\) हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए ऋणात्मक मान रेंज में नहीं आएँगे। / For this function, \(x\neq 0\), so \(|x|>0\) and therefore \(y=\frac{1}{|x|}>0\). As \(|x|\) becomes very large, \(y\) approaches zero but never equals it; as \(|x|\) approaches zero, \(y\) can increase without bound. Hence the range is \((0,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(0\). Exam tip: the reciprocal of a positive number is always positive, so negative values cannot belong to the range.
