Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
जब \(x\ge 2\), तब \(x-2\ge 0\), इसलिए \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x-2)+x=2x-2\), इसलिए सही रेखा \(y=2x-2\) है। विकल्प D केवल मॉड्यूलस वाले पद \(|x-2|\) को दर्शाता है और इसमें \(+x\) का योगदान छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस के अंदर का व्यंजक धनात्मक या शून्य होने पर उसका मॉड्यूलस उसी व्यंजक के बराबर होता है। / When \(x\ge 2\), we have \(x-2\ge 0\), so \(|x-2|=x-2\). Therefore, \(y=(x-2)+x=2x-2\), making \(y=2x-2\) the correct line. Option D represents only the modulus term \(|x-2|\) and omits the added \(+x\). Exam tip: when the expression inside a modulus is non-negative, its modulus equals the expression itself.
जब \(x\leq -3\), तब \(y=x\); और जब \(x\geq -3\), तब \(y=-3\)। दोनों नियम \(x=-3\) पर मिलते हैं, जहाँ \(y=-3\) है। इसलिए कोना \((-3,-3)\) पर स्थित है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \((0,-3)\) क्षैतिज रेखा पर तो है, लेकिन वह नियम बदलने का बिंदु नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(y=x\) और \(y=-3\) का प्रतिच्छेद ज्ञात करें। / For \(x\leq -3\), the minimum is \(x\), so \(y=x\); for \(x\geq -3\), the minimum is \(-3\), so \(y=-3\). These two rules meet at \(x=-3\), giving \(y=-3\). Hence the corner is \((-3,-3)\). Option D lies on the horizontal part of the graph but is not the point where the rule changes. Exam tip: find the intersection of \(y=x\) and \(y=-3\).
फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(y=3\) जब \(x\leq 3\), और \(y=x\) जब \(x\geq 3\)। दोनों रेखाएँ \(x=3\) पर मिलती हैं और उस समय \(y=3\), इसलिए कोना \((3,3)\) पर है। \((0,3)\) उसी क्षैतिज भाग का बिंदु है, लेकिन वहाँ ढाल में परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\max(x,a)\) के ग्राफ का कोना सामान्यतः \((a,a)\) पर होता है। / The function can be written as \(y=3\) for \(x\leq 3\) and \(y=x\) for \(x\geq 3\). These two lines meet at \(x=3\), where \(y=3\), so the corner is at \((3,3)\). The point \((0,3)\) lies on the horizontal part but is not a point where the slope changes. Exam tip: the graph of \(\max(x,a)\) has its corner at \((a,a)\).
जब \(x>5\), तब \(x+1>0\) और \(x-5>0\), इसलिए \(|x+1|=x+1\) तथा \(|x-5|=x-5\)। अतः \(y=(x+1)-(x-5)=6\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि निरपेक्ष मान को सरल करने से पहले संबंधित व्यंजक का चिह्न जाँचना आवश्यक है; \(2x-4\) केवल दोनों पदों को जोड़ने पर बनता है, जो यहाँ सही नहीं है। / For \(x>5\), both \(x+1\) and \(x-5\) are positive. Hence, \(|x+1|=x+1\) and \(|x-5|=x-5\). Therefore, \(y=(x+1)-(x-5)=6\), so option A is correct. Exam tip: check the sign of each expression before removing modulus bars; \(2x-4\) would result from adding the terms instead of subtracting them.
जब \(x>1\), तब \(x-1>0\) और \(x+3>0\), इसलिए \(|x-1|=x-1\) तथा \(|x+3|=x+3\)। अतः \(y=(x-1)-(x+3)=-4\)। विकल्प B में ऋण चिह्न की उपेक्षा हो गई है, जबकि सही उत्तर सभी \(x>1\) के लिए स्थिर मान \(-4\) है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस खोलने से पहले संबंधित व्यंजक का चिह्न अवश्य जाँचें। / For \(x>1\), both \(x-1\) and \(x+3\) are positive. Hence, \(|x-1|=x-1\) and \(|x+3|=x+3\). Therefore, \(y=(x-1)-(x+3)=-4\). Option B results from ignoring the negative sign, while the correct value is the constant \(-4\) for every \(x>1\). Exam tip: Always determine the sign of each expression before removing modulus bars.
जब \(x\ge 3\), तब \(x-3\ge 0\), इसलिए \(|x-3|=x-3\)। अतः \(y=(x-3)-(x-3)=0\)। विकल्प B केवल तब बनता है जब मापांक को गलत रूप से \(|x-3|=-(x-3)\) लिया जाए। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x\ge 3\), we have \(x-3\ge 0\), so \(|x-3|=x-3\). Therefore, \(y=(x-3)-(x-3)=0\). Option B would result from incorrectly using \(|x-3|=-(x-3)\). Exam tip: For an absolute-value function, first determine the sign of the expression inside the modulus.
\(\min(x,4)\) का अर्थ है \(x\) और \(4\) में से छोटा मान लेना। जब \(x>4\) होता है, तब छोटा मान हमेशा \(4\) होता है; इसलिए \(y=4\) और ग्राफ इस क्षेत्र में क्षैतिज रेखा होता है। विकल्प \(y=x\) केवल \(x\leq 4\) के लिए सही है। परीक्षा-युक्ति: \(\min\) फलन में प्रत्येक अंतराल पर दिए गए मानों में छोटे मान की पहचान करें। / The expression \(\min(x,4)\) selects the smaller of \(x\) and \(4\). When \(x>4\), the smaller value is always \(4\), so \(y=4\) and the graph is horizontal in this region. The option \(y=x\) is valid only for \(x\leq 4\). Exam tip: For a minimum function, compare the expressions separately on the relevant intervals.
जब \(0\le x\le 4\), तब \(|x|=x\) और \(|x-4|=4-x\)। अतः \(y=x+(4-x)=4\), जो एक स्थिर मान है; इसलिए ग्राफ इस पूरे अंतराल पर क्षैतिज रहता है। \(x<0\) और \(x>4\) पर फलन के ढाल क्रमशः \(-2\) और \(2\) हैं, इसलिए वहाँ ग्राफ क्षैतिज नहीं है। परीक्षा-युक्ति: निरपेक्ष मान वाले फलन में पहले उन बिंदुओं को पहचानें जहाँ उनके अंदर का व्यंजक शून्य होता है। / For \(0\le x\le 4\), we have \(|x|=x\) and \(|x-4|=4-x\). Hence \(y=x+(4-x)=4\), a constant value, so the graph is horizontal throughout this interval. For \(x<0\) and \(x>4\), the slopes are \(-2\) and \(2\), respectively, so the graph is not horizontal there. Exam tip: For a function involving absolute values, first identify the points where the expressions inside the modulus signs become zero.
जब \(x>2\), तब \(x+2>0\) और \(x-2>0\), इसलिए \(|x+2|=x+2\) तथा \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x+2)-(x-2)=4\)। विकल्प \(2x\) तब मिलता है जब ऋणात्मक पद को सही ढंग से घटाया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक अंदरूनी पद का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x>2\), both \(x+2\) and \(x-2\) are positive. Hence, \(|x+2|=x+2\) and \(|x-2|=x-2\), so \(y=(x+2)-(x-2)=4\). The option \(2x\) results from mishandling the subtraction of the second modulus term. Exam tip: determine the sign of each expression inside an absolute value before removing the modulus.
जब \(x>-1\), तब \(x\) का मान \(-1\) से बड़ा होता है। इसलिए \(x\) और \(-1\) में छोटा मान हमेशा \(-1\) होगा और \(y=\min(x,-1)=-1\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(y=x\) तभी होगा जब \(x\leq -1\)। परीक्षा-युक्ति: न्यूनतम फलन में दिए गए मानों में छोटा मान चुनें और सीमा-बिंदु \(x=-1\) की जाँच करें। / When \(x>-1\), the value of \(x\) is greater than \(-1\). Therefore, the smaller of \(x\) and \(-1\) is always \(-1\), so \(y=\min(x,-1)=-1\). Option B is incorrect because \(y=x\) applies when \(x\leq -1\). Exam tip: For a minimum function, select the smaller expression and check the boundary value \(x=-1\).
जब \(x<0\), तब \(|x|=-x\)। इसलिए \(f(x)=\frac{-x}{x}=-1\), अतः ग्राफ \(y=-1\) रेखा के उस भाग पर होता है जहाँ \(x<0\), यानी एक क्षैतिज किरण के रूप में। \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है। परीक्षा में पहले \(|x|\) का चिह्न \(x\) के आधार पर निर्धारित करें। / When \(x<0\), we have \(|x|=-x\). Hence, \(f(x)=\frac{-x}{x}=-1\), so the graph lies on the part of the horizontal line \(y=-1\) for which \(x<0\). The function is undefined at \(x=0\). Exam tip: determine the value of \(|x|\) separately for positive and negative values of \(x\).
जब \(x>0\), तब \(|x|=x\), इसलिए \(\frac{|x|}{x}=1\)। जब \(x<0\), तब \(|x|=-x\), इसलिए \(\frac{|x|}{x}=-1\)। अतः इसका ग्राफ \(y=\operatorname{sgn}(x)\) के समान है, लेकिन \(x=0\) पर फलन परिभाषित नहीं है। विकल्प B में दोनों मानों के चिह्न उलट जाते हैं, जबकि विकल्प C और D में फलन के मान \(x\) के साथ लगातार बदलते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{|x|}{x}\) को \(x>0\) और \(x<0\) के लिए अलग-अलग लिखें। / For \(x>0\), \(|x|=x\), so \(\frac{|x|}{x}=1\). For \(x<0\), \(|x|=-x\), so \(\frac{|x|}{x}=-1\). Therefore, its graph is the same as \(y=\operatorname{sgn}(x)\) on the domain \(x\ne0\); the function is not defined at \(x=0\). Option B reverses both values, while options C and D vary continuously with \(x\). Exam tip: split expressions containing \(|x|\) into the cases \(x>0\) and \(x<0\).
जब \\(x<0\\), तब \\(|x|=-x\\)। इसलिए \\(f(x)=|x|-x=-x-x=-2x\\), अतः ग्राफ \\(y=-2x\\) रेखा के उस भाग पर स्थित होगा जहाँ \\(x<0\\)। ध्यान रखें कि मापांक वाले फलन में \\(x\\) के चिह्न के अनुसार \\(|x|\\) का मान बदलता है। / When \\(x<0\\), we have \\(|x|=-x\\). Hence, \\(f(x)=|x|-x=-x-x=-2x\\), so the graph coincides with the part of the line \\(y=-2x\\) for which \\(x<0\\). Exam tip: resolve the modulus according to the sign of the variable before simplifying.
क्योंकि \(x>4\), इसलिए \(3x-12=3(x-4)>0\)। साइनम फलन में किसी धनात्मक संख्या का मान \(1\) होता है, अतः \(f(x)=1\)। ध्यान रखें कि \(x=4\) पर मान \(0\) होता, लेकिन यहाँ \(x>4\) दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले साइनम के अंदर के व्यंजक का चिह्न निर्धारित करें। / Since \(x>4\), we have \(3x-12=3(x-4)>0\). The signum of a positive number is \(1\), so \(f(x)=1\). Note that the value would be \(0\) at \(x=4\), but that point is excluded by \(x>4\). Exam tip: first determine the sign of the expression inside the signum function.
क्योंकि \(2\le 2\) सत्य है, इसलिए \(x\le 2\) वाली पहली शर्त लागू होगी और \(f(2)=1\)। \(x>2\) वाली दूसरी शर्त 2 पर लागू नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: \(\le\) में बराबरी शामिल होती है, जबकि \(<\) में नहीं। / Since \(2\le 2\) is true, the first condition applies, so \(f(2)=1\). The second condition, \(x>2\), does not apply to 2. Exam tip: \(\le\) includes equality, whereas \(<\) does not.
