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फलन \(f:A\to B\) में \(A\) उन सभी प्रारम्भिक अवयवों का समुच्चय है जिन पर फलन परिभाषित होता है, इसलिए इसे प्रांत (Domain) कहते हैं। \(B\) सहप्रांत होता है, जबकि फलन के वास्तविक मानों का समुच्चय परिसर (Range) कहलाता है और वह सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। परीक्षा में \(f:A\to B\) लिखे होने पर पहले समुच्चय को प्रांत और दूसरे को सहप्रांत पहचानें। / In the function \(f:A\to B\), \(A\) is the set of all input elements on which the function is defined, so it is called the domain. \(B\) is the codomain, while the set of actual output values is the range, which may be a subset of the codomain. In an exam, identify the first set in \(f:A\to B\) as the domain and the second as the codomain.
किसी फलन को दर्शाने वाले क्रमित युग्मों में प्रथम अवयवों का समुच्चय प्रांत कहलाता है। यहाँ प्रथम अवयव 2, 3 और 4 हैं, इसलिए प्रांत \(\{2,3,4\}\) है। विकल्प B सह-प्रांत/परास से संबंधित है, क्योंकि उसमें द्वितीय अवयव दिए गए हैं। परीक्षा सुझाव: क्रमित युग्म \((x,y)\) में x-अवयवों से प्रांत और y-अवयवों से परास पहचानें। / The domain of a function represented by ordered pairs is the set of their first components. Here, the first components are 2, 3, and 4, so the domain is \(\{2,3,4\}\). Option B lists the second components, which form the range. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), the x-values form the domain and the y-values form the range.
चूँकि \(2\) दिए गए प्रांत \(\{1,2,3\}\) का सदस्य है, इसलिए फलन में \(x=2\) रखने पर \(f(2)=2+2=4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में केवल 3 लेने से स्थिरांक 2 जुड़ना छूट जाता है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए इनपुट को सीधे \(x\) के स्थान पर रखें। / Since \(2\) belongs to the given domain \(\{1,2,3\}\), substitute \(x=2\) in the rule: \(f(2)=2+2=4\). Option B incorrectly omits the added constant 2. Exam tip: to find a function value, replace \(x\) directly with the given input.
समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव पर फलन का नियम \(f(x)=x-1\) लागू करें: \(f(2)=1\), \(f(3)=2\) और \(f(4)=3\)। इसलिए \(f(A)=\{1,2,3\}\)। विकल्प B मूल समुच्चय है, जबकि वह फलन से प्राप्त प्रतिबिंबित मानों का समुच्चय नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का फलन-प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए उसके प्रत्येक अवयव की छवि निकालें। / Apply the rule \(f(x)=x-1\) to every element of \(A\): \(f(2)=1\), \(f(3)=2\), and \(f(4)=3\). Hence, \(f(A)=\{1,2,3\}\). Option B is only the original set, not the set of images produced by the function. Exam tip: To find the image of a set, apply the function to each of its elements and collect the resulting values.
समुच्चय \(f(A)\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव का फलन-मान लिया जाता है। यहाँ \(f(1)=\sqrt{1}=1\), \(f(4)=\sqrt{4}=2\) और \(f(9)=\sqrt{9}=3\), इसलिए \(f(A)=\{1,2,3\}\)। विकल्प B केवल मूल समुच्चय \(A\) है, उसके प्रतिबिंब या image का समुच्चय नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(f(A)\) निकालने के लिए दिए गए समुच्चय के हर अवयव पर फलन लागू करें। / The set \(f(A)\) contains the function values of every element of \(A\). Here, \(f(1)=\sqrt{1}=1\), \(f(4)=\sqrt{4}=2\), and \(f(9)=\sqrt{9}=3\), so \(f(A)=\{1,2,3\}\). Option B is only the original set \(A\), not its image under the function. Exam tip: To find \(f(A)\), apply the function separately to each element of \(A\).
\(f(x)=x^2+4\) में हर वास्तविक \(x\) रखने पर मान परिभाषित होता है, इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B में \(x=-2\) मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: मूल वाले फलन में मूल के अंदर का व्यंजक \(\geq 0\) होना चाहिए। / For \(f(x)=x^2+4\), every real value of \(x\) gives a defined output, so its domain is \(\mathbb{R}\). In option B, \(x=-2\) is excluded. Exam tip: for square-root functions, the expression inside the root must be \(\geq 0\).
किसी फलन का प्रांत उसके क्रमित युग्मों के सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय होता है। यहां प्रथम अवयव 5, 6 और 7 हैं, इसलिए प्रांत \(\{5,6,7\}\) है। विकल्प B केवल परास \(\{1,2\}\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म \((x,y)\) में सभी \(x\)-मान प्रांत और सभी \(y\)-मान परास बनाते हैं। / The domain of a function is the set of all first components of its ordered pairs. Here, the first components are 5, 6, and 7, so the domain is \(\{5,6,7\}\). Option B is the range, not the domain, because it contains the second components 1 and 2. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), collect the \(x\)-values for the domain and the \(y\)-values for the range.
प्रत्येक अवयव x \(\in A\) का प्रतिचित्रण 10 पर होता है। इसलिए फलन के सभी प्रतिमानों का समुच्चय केवल \(\{10\}\) है। यह एक स्थिर फलन है और परिसर में किसी मान को दोहराया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन \(f(x)=c\) का परिसर हमेशा \(\{c\}\) होता है, बशर्ते प्रांत अशून्य हो। / Every element x \(\in A\) is mapped to 10, so the set of all output values is only \(\{10\}\). This is a constant function, and repeated output values are listed only once in the range. Exam tip: for a constant function \(f(x)=c\), the range is \(\{c\}\), provided the domain is non-empty.
f(A) ज्ञात करने के लिए f(x) = x − 2 को A के प्रत्येक अवयव पर लागू करते हैं: f(2) = 0, f(4) = 2 और f(6) = 4। इसलिए f(A) = {0, 2, 4}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह फलन लागू करने से पहले का समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का प्रतिबिंब ज्ञात करते समय फलन के नियम को उसके प्रत्येक अवयव पर अलग-अलग लागू करें। / To find f(A), apply the rule f(x) = x − 2 to every element of A: f(2) = 0, f(4) = 2, and f(6) = 4. Therefore, f(A) = {0, 2, 4}. Option B is incorrect because it is the original set before applying the function. Exam tip: To find the image of a set, apply the function rule separately to each element of the set.
\(f(a)=a^2\) होने के कारण \(a^2=16\), इसलिए \(a=\pm4\)। प्रश्न में धनात्मक मान पूछा गया है, अतः \(a=4\) सही है। विकल्प 16, \(f(a)\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा-टिप: वर्गमूल लेते समय दोनों चिह्न आते हैं, लेकिन दी गई धनात्मक या ऋणात्मक शर्त के अनुसार सही मान चुनें। / Since \(f(a)=a^2\), we have \(a^2=16\), giving \(a=\pm4\). The question asks for the positive value, so \(a=4\) is correct. The value 16 is \(f(a)\), not \(a\). Exam tip: when taking a square root, consider both signs and then apply any stated sign condition.
