Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि \(|x+5|\ge 0\), इसलिए \(y=2-|x+5|\le 2\)। जब \(x=-5\) होता है, तब \(|x+5|=0\) और \(y=2\), अतः 2 अधिकतम मान है। जैसे-जैसे \(|x+5|\) बढ़ता है, \(y\) बिना किसी निम्न सीमा के घटता जाता है। इसलिए रेंज \((- infty,2]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-|x-h|\) जैसे उल्टे मापांक फलन की अधिकतम सीमा \(a\) होती है। / Since \(|x+5|\ge 0\), we have \(y=2-|x+5|\le 2\). At \(x=-5\), \(|x+5|=0\) and \(y=2\), so 2 is the maximum value. As \(|x+5|\) increases, \(y\) decreases without any lower bound. Therefore, the range is \((- infty,2]\). Exam tip: For an inverted modulus function of the form \(a-|x-h|\), the maximum value is \(a\).
\\(\sqrt{1-x^2}\\) के लिए \\(1-x^2\ge0\\), इसलिए \\(-1\le x\le1\\)। वर्गमूल सदैव अऋणात्मक है और अधिकतम मान \\(x=0\\) पर 1 है। अतः रेंज \\([0,1]\\) है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर का व्यंजक पहले अऋणात्मक लें। / For \\(\sqrt{1-x^2}\\), the radicand must satisfy \\(1-x^2\ge0\\), giving \\(-1\le x\le1\\). A square root is non-negative, and its maximum is 1 at \\(x=0\\). Thus the range is \\([0,1]\\). Exam tip: first impose the radicand condition.
A. डोमेन \(\mathbb R\), परास \((0,1]\)/Domain \(\mathbb R\), range \((0,1]\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2\ge 0\) होने से \(x^2+1\ge1\), इसलिए हर वास्तविक \(x\) के लिए हर शून्य नहीं है और डोमेन \(\mathbb R\) है। \(f(0)=1\) अधिकतम है; \(x\) बढ़ने पर मान 0 के निकट जाता है, पर 0 नहीं बनता। परीक्षा टिप: हर के शून्य होने की जाँच करें। / Since \(x^2\ge0\), we have \(x^2+1\ge1\), so the denominator never becomes zero and the domain is \(\mathbb R\). Also, \(f(0)=1\) is the maximum value, while the function approaches 0 but never equals it. Exam tip: first check where the denominator is zero.
वास्तविक मानों के लिए \(x\ge 1\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) होता है। इसलिए \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\)। जब \(x=1\), तब \(y=7\), अतः 7 रेंज में शामिल है; और \(x\) बढ़ने पर \(y\) बिना किसी निचली सीमा के घट सकता है। इसलिए रेंज \((- infty,7]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-b\sqrt{\cdot}\) में \(b>0\) हो तो अधिकतम मान सामान्यतः मूल के शून्य होने पर मिलता है। / For real values, \(x\ge 1\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\). Hence \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\). When \(x=1\), \(y=7\), so 7 is included; as \(x\) increases, \(y\) can decrease without bound. Therefore, the range is \((- infty,7]\). Exam tip: for an expression of the form \(a-b\sqrt{\cdot}\) with \(b>0\), the maximum occurs when the square-root term is zero.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x^2-16\ge 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\ge 0\)। इससे \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\) है। विकल्प B केवल \(-4\) और \(4\) के बीच के मान देता है, जहाँ वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक होती है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x^2-16\ge 0\), or \((x-4)(x+4)\ge 0\). This gives \(x\le -4\) or \(x\ge 4\), so the domain is \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\). Option B incorrectly includes the interval between \(-4\) and \(4\), where the radicand is negative. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero before solving.
पहले फलन के अंदर का मान निकालते हैं: \(2.6+0.5=3.1\)। महानतम पूर्णांक फलन \(\lfloor y\rfloor\), \(y\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है; इसलिए \(\lfloor3.1\rfloor=3\)। विकल्प B में \(2.6\) का सीधे पूर्णांक भाग लिया गया है, जो इस फलन की परिभाषा के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(x+0.5\) निकालें, फिर floor लागू करें। / First evaluate the expression inside the floor function: \(2.6+0.5=3.1\). The greatest-integer function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\), so \(\lfloor3.1\rfloor=3\). Option B incorrectly takes the integer part of \(2.6\) without adding \(0.5\). Exam tip: evaluate the quantity inside the floor symbol before applying the function.
जब \(x\in[1,1.5)\), तब \(2x\in[2,3)\)। इस अंतराल में प्रत्येक \(2x\) का महत्तम पूर्णांक मान 2 होता है; 3 शामिल नहीं है क्योंकि \(x=1.5\) डोमेन में नहीं है। इसलिए मानों का समुच्चय \(\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के खुले और बंद सिरों को अवश्य जाँचें। / If \(x\in[1,1.5)\), then \(2x\in[2,3)\). The greatest integer less than or equal to every number in this interval is 2, so \(f(x)=2\) throughout the domain. The value 3 is not obtained because \(x=1.5\) is excluded. Hence the range is \(\{2\}\). Exam tip: Always check whether an endpoint is included when evaluating a greatest-integer function.
जब \(x=7\), तब फलन का इनपुट \(5-7=-2\) होता है। चूँकि \(-2\) ऋणात्मक है, इसलिए \(\operatorname{sgn}(-2)=-1\)। विकल्प 0 केवल तब होता है जब इनपुट 0 हो, और विकल्प 1 धनात्मक इनपुट के लिए होता है। परीक्षा-युक्ति: पहले कोष्ठक के अंदर का मान निकालकर उसका चिह्न पहचानें। / When \(x=7\), the input to the signum function is \(5-7=-2\). Since \(-2\) is negative, \(\operatorname{sgn}(-2)=-1\). The value 0 occurs only when the input is zero, while 1 is used for a positive input. Exam tip: first evaluate the expression inside the signum function and then identify its sign.
संयोजन का अर्थ है \((f\circ g)(x)=f(g(x))\)। अतः \((f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}\)। वास्तविक वर्गमूल के लिए \(x-7\ge 0\), इसलिए \(x\ge 7\) और प्रांत \([7,\infty)\) है। विकल्प B में 7 को शामिल नहीं किया गया है, जबकि \(x=7\) पर फलन का मान 0 परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक का प्रांत निकालते समय उसके अंदर के व्यंजक को शून्य या धनात्मक रखें। / The composition means \((f\circ g)(x)=f(g(x))\). Hence, \((f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}\). For a real square root, \(x-7\ge 0\), so \(x\ge 7\), giving the domain \([7,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes 7, even though the function is defined at \(x=7\) with value 0. Exam tip: For the domain of a square-root expression, set the expression inside the root greater than or equal to zero.
योग फलन c((f+g)(x))c का प्रांत, c(fc) और c(gc) के प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। c(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}c) में मूलांक के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि वर्गमूल हर में है; इसलिए c(x-4>0c), अर्थात c(x>4c)। c(g(x)=x+1c) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः योग का प्रांत c(\(4,\infty\)c) है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो उसके अंदर का व्यंजक c\(\ge 0c\) नहीं, बल्कि c(>0c) होना चाहिए। / The domain of c((f+g)(x))c is the intersection of the domains of c(fc) and c(gc). For c(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}c), the radicand must be positive because the square root is in the denominator. Hence, c(x-4>0c), so c(x>4c). The function c(g(x)=x+1c) is defined for every real number. Therefore, the domain of the sum is c(\(4,\infty\)c). Exam tip: when a square root appears in a denominator, its radicand must be strictly positive, not merely non-negative.
