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square root functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x^2-16\ge 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\ge 0\)। इससे \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\) है। विकल्प B केवल \(-4\) और \(4\) के बीच के मान देता है, जहाँ वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक होती है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x^2-16\ge 0\), or \((x-4)(x+4)\ge 0\). This gives \(x\le -4\) or \(x\ge 4\), so the domain is \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\). Option B incorrectly includes the interval between \(-4\) and \(4\), where the radicand is negative. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero before solving.
वर्गमूल वाले फलन का प्रारंभिक बिंदु वहाँ होता है जहाँ मूल के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(x+9=0\), जिससे \(x=-9\) और \(y=\sqrt{0}-4=-4\) मिलता है। अतः बिंदु \((-9,-4)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत ली गई है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\sqrt{x-h}+k\) का प्रारंभिक बिंदु \((h,k)\) होता है। / The endpoint of a square-root graph occurs when the expression under the radical becomes zero. Thus, \(x+9=0\), so \(x=-9\), and \(y=\sqrt{0}-4=-4\). Therefore, the endpoint is \((-9,-4)\). Option B reverses the horizontal shift. Exam tip: for \(y=\sqrt{x-h}+k\), the endpoint is \((h,k)\).
वास्तविक मानों के लिए \(x\ge 1\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) होता है। इसलिए \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\)। जब \(x=1\), तब \(y=7\), अतः 7 रेंज में शामिल है; और \(x\) बढ़ने पर \(y\) बिना किसी निचली सीमा के घट सकता है। इसलिए रेंज \((- infty,7]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-b\sqrt{\cdot}\) में \(b>0\) हो तो अधिकतम मान सामान्यतः मूल के शून्य होने पर मिलता है। / For real values, \(x\ge 1\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\). Hence \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\). When \(x=1\), \(y=7\), so 7 is included; as \(x\) increases, \(y\) can decrease without bound. Therefore, the range is \((- infty,7]\). Exam tip: for an expression of the form \(a-b\sqrt{\cdot}\) with \(b>0\), the maximum occurs when the square-root term is zero.
वर्गमूल फलन के लिए \(x+2\geq 0\) होना आवश्यक है। ग्राफ का प्रारंभिक बिंदु तब मिलता है जब \(x+2=0\), अर्थात् \(x=-2\)। इस पर \(y=5-\sqrt{0}=5\), इसलिए बिंदु \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x=2\) लिया गया है, जो प्रारंभिक मान नहीं है। परीक्षा-टिप: \(\sqrt{x-a}\) का ग्राफ \((a,0)\) से शुरू होता है; बाहर का स्थिर पद ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण करता है। / For a square-root function, the radicand must satisfy \(x+2\geq 0\). The graph begins where the radicand is zero: \(x+2=0\), giving \(x=-2\). At this value, \(y=5-\sqrt{0}=5\), so the starting point is \((-2,5)\). Option B incorrectly uses \(x=2\), which is not the endpoint of the domain. Exam tip: a graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \((a,0)\), while an added constant shifts it vertically.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए: \(x^2-9\ge 0\)। अतः \((x-3)(x+3)\ge 0\), जिससे \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) प्राप्त होता है। इसलिए डोमेन \((-�\infty,-3]\cup[3,�\infty)\) है। विकल्प B केवल \(-3\) और \(3\) के बीच का अंतराल देता है, जहाँ मूलांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय पहले मूलांक \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the radicand must be non-negative: \(x^2-9\ge 0\). Thus, \((x-3)(x+3)\ge 0\), which gives \(x\le -3\) or \(x\ge 3\). Hence the domain is \((-�\infty,-3]\cup[3,�\infty)\). Option B incorrectly gives the interval between \(-3\) and \(3\), where the radicand is negative. Exam tip: For a square-root function, set the expression under the radical greater than or equal to zero.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, इसलिए दिया गया ग्राफ \(y=|x|\) का ग्राफ है। \(y=x\) केवल \(x\ge 0\) के लिए समान दिखता है; ऋणात्मक \(x\) के लिए \(|x|=-x\) होता है। परीक्षा-युक्ति: सम-वर्गमूल को सरल करते समय \(\sqrt{x^2}=|x|\) लिखें, केवल \(x\) नहीं। / For every real value of \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\), so the given graph is exactly the graph of \(y=|x|\). The graph \(y=x\) agrees only when \(x\ge 0\); for negative \(x\), \(|x|=-x\). Exam tip: simplify \(\sqrt{x^2}\) as \(|x|\), not simply as \(x\).
वर्गमूल के लिए \\(x+1\\ge 0\\) और \\(\\sqrt{x+1}\\ge 0\\) होता है। इसलिए \\(2\\sqrt{x+1}\\ge 0\\), अतः \\(f(x)=2\\sqrt{x+1}-5\\ge -5\\)। जब \\(x=-1\\), तब \\(f(x)=-5\\), और \\(x\\) बढ़ने पर फलन के मान अनंत तक बढ़ते हैं। इसलिए परास \\([-5,\\infty)\\) है। विकल्प C केवल वर्गमूल के मूल पर प्रभाव को दर्शाता है और \\(-5\\) के स्थानांतरण को अनदेखा करता है। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल वाले फलन का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करें, फिर ऊर्ध्व स्थानांतरण लागू करें। / For the square root to be defined, \\(x+1\\ge 0\\), and \\(\\sqrt{x+1}\\ge 0\\). Thus, \\(2\\sqrt{x+1}\\ge 0\\), so \\(f(x)=2\\sqrt{x+1}-5\\ge -5\\). At \\(x=-1\\), the function equals \\(-5\\), and as \\(x\\) increases, the function values grow without bound. Therefore, the range is \\([-5,\\infty)\\). Option C ignores the downward shift by \\(-5\\). Exam tip: Find the minimum value of the square-root part first, then account for any vertical translation.
वास्तविक मान के लिए दोनों वर्गमूलों के अंदर के व्यंजक अशून्य या धनात्मक होने चाहिए: \(x\ge 0\) तथा \(1-x\ge 0\), अर्थात \(x\le 1\)। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([0,1]\) है। सिरों \(x=0\) और \(x=1\) पर एक वर्गमूल का मान 0 होता है, इसलिए वे भी प्रांत में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक मूलांक के लिए \(\ge 0\) की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / For the function to have real values, each radicand must be non-negative: \(x\ge 0\) and \(1-x\ge 0\), which gives \(x\le 1\). The intersection of these conditions is \([0,1]\). The endpoints \(x=0\) and \(x=1\) are included because one square-root term is 0 at each endpoint. Exam tip: For a function containing square roots, set every radicand \(\ge 0\) and take the intersection of the resulting conditions.
\(2x-x^2=1-(x-1)^2\)। वर्गमूल के लिए \(2x-x^2\ge 0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([0,2]\) है। इस व्यंजक का अधिकतम मान \(1\) है, जो \(x=1\) पर प्राप्त होता है, और न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=0,2\) पर प्राप्त होता है। अतः परास \([0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन की परास ज्ञात करते समय मूलांक का न्यूनतम और अधिकतम मान निर्धारित करें। / Rewrite the radicand as \(2x-x^2=1-(x-1)^2\). For the square root to be defined, \(2x-x^2\ge 0\), giving the domain \([0,2]\). The radicand has maximum value \(1\) at \(x=1\), and minimum value \(0\) at \(x=0,2\). Therefore, the function values range from \(0\) to \(1\), so the range is \([0,1]\). Option B is incorrect because a square root cannot be negative, while option D wrongly excludes \(0\). Exam tip: For a square-root function, first find the minimum and maximum values of the radicand.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(2-|x-1|\ge 0\), अर्थात् \(|x-1|\le 2\)। इससे \(-2\le x-1\le 2\), और अतः \(-1\le x\le 3\) प्राप्त होता है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \([-1,3]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि दोनों सिरों पर वर्गमूल का मान शून्य, जो मान्य है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के परिभाषा-क्षेत्र के लिए radicand को \(\ge 0\) रखें। / The expression inside a square root must be non-negative, so \(2-|x-1|\ge 0\), which gives \(|x-1|\le 2\). Thus \(-2\le x-1\le 2\), or \(-1\le x\le 3\). Therefore, the domain is \([-1,3]\). Option B is incorrect because the endpoints are included: at both endpoints, the radicand is zero, which is allowed. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(2x+8\ge 0\), जिससे \(x\ge -4\) प्राप्त होता है और डोमेन \([-4,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(x\le -4\) लिया गया है; उदाहरण के लिए \(x=-5\) पर वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में सबसे पहले मूलचिह्न के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression inside the radical must be zero or positive. Thus, \(2x+8\ge 0\), which gives \(x\ge -4\); hence the domain is \([-4,\infty)\). Option B is incorrect because it takes \(x\le -4\); for example, at \(x=-5\), the radicand is negative. Exam tip: for a square-root function, first set the expression inside the radical greater than or equal to zero.
वास्तविक वर्गमूल तभी परिभाषित होता है जब उसके अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक हो। इसलिए \(3x+12\ge 0\), जिससे \(x\ge -4\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \([-4,\infty)\) है। विकल्प B में असंबंधित दिशा की असमानता है, जबकि \(-4\) को शामिल करना आवश्यक है क्योंकि वहाँ वर्गमूल का मान शून्य होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के लिए मूलांक के अंदर की राशि को \(\ge 0\) रखें। / A real square root is defined only when its radicand is non-negative. Thus, \(3x+12\ge 0\), which gives \(x\ge -4\). Therefore, the domain is \([-4,\infty)\). Option B uses the wrong direction of the inequality, and \(-4\) must be included because the square root is zero there. Exam tip: For a square-root function, set the expression under the root greater than or equal to zero.
वर्गमूल के अंदर की राशि वास्तविक होने के लिए \(7-x\ge 0\) होना चाहिए, लेकिन वर्गमूल हर में है, इसलिए वह शून्य नहीं हो सकता। अतः \(7-x>0\), जिससे \(x<7\) प्राप्त होता है और प्रांत \((-�einf,7)\) है। विकल्प B में \(x=7\) शामिल है, पर उस पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: हर में वर्गमूल हो तो मूल के अंदर की राशि को हमेशा शून्य से बड़ी रखें। / For the square root to be real, \(7-x\ge 0\) is required; however, because the square root is in the denominator, it cannot be zero. Therefore, \(7-x>0\), giving \(x<7\), so the domain is \((-�einf,7)\). Option B incorrectly includes \(x=7\), where the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root appears in the denominator, its radicand must be strictly positive.
वर्गमूल के अंदर की राशि वास्तविक होने के लिए \(x+2\ge 0\) होना चाहिए, लेकिन वही वर्गमूल हर में है, इसलिए उसका मान शून्य नहीं हो सकता। अतः \(x+2>0\), अर्थात् \(x>-2\), और प्रांत \((-2,\infty)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें \(x=-2\) शामिल है, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो मूल के अंदर की राशि को हमेशा सख्ती से धनात्मक रखें। / The radicand must be non-negative for a real value, so \(x+2\ge 0\). However, the square root is in the denominator and cannot be zero; therefore, \(x+2>0\), or \(x>-2\). Hence the domain is \((-2,\infty)\). Option A is incorrect because it includes \(x=-2\), which makes the denominator zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, its radicand must be strictly positive.
वर्गमूल का मान सदैव शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए \(f(x)\geq 0\)। जब \(x=0\), तब \(f(x)=4\), और जब \(x=\pm4\), तब \(f(x)=0\)। अतः परास \([0,4]\) है। विकल्प B फलन का परास नहीं, बल्कि इसका डोमेन है। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन के परास के लिए न्यूनतम और अधिकतम मान अवश्य जाँचें। / A square-root value is always non-negative, so \(f(x)\geq 0\). At \(x=0\), \(f(x)=4\), and at \(x=\pm4\), \(f(x)=0\). Therefore, the range is \([0,4]\). Option B represents the domain, not the range. In exams, check whether the minimum and maximum values are actually attained before choosing open or closed endpoints.
वास्तविक मान के लिए \(16-x^2\ge 0\), और \(x^2\) का न्यूनतम मान 0 होता है, जो \(x=0\) पर प्राप्त होता है। इसलिए \(f(0)=\sqrt{16}=4\), अतः अधिकतम मान 4 है। विकल्प 16 वर्गमूल के अंदर की अधिकतम मात्रा है, फलन का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का अधिकतम मान पाने के लिए पहले मूलांक के अधिकतम मान पर विचार करें। / For real values, \(16-x^2\ge 0\), and \(x^2\) is smallest when \(x=0\). Thus, \(f(0)=\sqrt{16}=4\), so the maximum value is 4. The value 16 is the maximum radicand, not the value of the function after taking the square root. Exam tip: For a square-root function, first maximize the expression inside the radical and then take its square root.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(16-x^2\ge 0\)। अतः \(x^2\le16\), जिससे \(-4\le x\le4\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \([-4,4]\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें सिरों \(-4\) और \(4\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि इन दोनों पर फलन का मान \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय radicand को \(\ge0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(16-x^2\ge0\). Thus, \(x^2\le16\), which gives \(-4\le x\le4\). Therefore, the domain is \([-4,4]\). Option A is incorrect because it excludes the endpoints \(-4\) and \(4\), where the function is defined and equals \(0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find its domain.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक वास्तविक होने के लिए गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(12-3x\ge 0\)। इससे \(x\le 4\) प्राप्त होता है, इसलिए वास्तविक प्रांत \((-�infty,4]\) है। ध्यान दें कि \(x=4\) शामिल है, क्योंकि तब वर्गमूल के अंदर का मान 0 होता है। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन का प्रांत निकालते समय radicand को \(\ge 0\) रखें। / The expression under a square root must be non-negative for the function to have a real value: \(12-3x\ge 0\). Solving this inequality gives \(x\le 4\), so the real domain is \((-�infty,4]\). The endpoint \(4\) is included because the square root of 0 is defined. In such questions, set the radicand greater than or equal to zero.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर की राशि शून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x+10\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -10\)। अतः प्रांत \([-10,\infty)\) है। विकल्प B में \(x\le -10\) लिया गया है, जबकि उससे बड़ी संख्याओं के लिए मूलांक धनात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: असमिकता में बराबर का चिह्न होने के कारण \(-10\) भी प्रांत में शामिल होगा। / For a real square root, the radicand must be non-negative. Thus, \(x+10\ge 0\), which gives \(x\ge -10\). Therefore, the domain is \([-10,\infty)\). Option B incorrectly uses \(x\le -10\), whereas values greater than \(-10\) make the radicand positive. Exam tip: Since the condition includes equality, the endpoint \(-10\) is included.
वर्गमूल के अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(x-5\ge 0\), जिससे \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। अतः फलन का डोमेन \([5,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=5\) पर भी \(f(5)=0\) वास्तविक है। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर की राशि को \(\ge 0\) रखें। / The expression under a real square root must be non-negative. Thus, \(x-5\ge 0\), which gives \(x\ge 5\). Therefore, the domain is \([5,\infty)\). Option B is incorrect because \(x=5\) is also allowed, giving \(f(5)=0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(4-2x\ge 0\)। इससे \(x\le 2\) प्राप्त होता है, इसलिए प्रांत \((- infty,2]\) है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट दी गई है, जबकि \(x=2\) को शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) की शर्त लगाएँ। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(4-2x\ge 0\). Solving this inequality gives \(x\le 2\), so the domain is \((- infty,2]\). Option B reverses the inequality, and the endpoint \(x=2\) must be included because the square root of zero is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) to find the domain.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x+3\ge 0\), अर्थात \(x\ge -3\)। अतः प्रांत \([-3,\infty)\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है और \(x=-3\) को शामिल किया गया है, जबकि सही प्रांत में \(-3\) शामिल है और इसके बाद की सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be zero or positive. Thus, \(x+3\ge 0\), which gives \(x\ge -3\). Therefore, the domain is \([-3,\infty)\). Option B reverses the inequality and includes values less than or equal to \(-3\), which do not make \(x+3\) non-negative except at the endpoint. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
