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भागफल \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) शून्य तभी होगा जब अंश शून्य हो और हर शून्य न हो। यहाँ \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), इसलिए अंश के शून्यक \(x=2\) और \(x=3\) हैं। लेकिन \(x=2\) पर \(g(x)=0\), इसलिए वह मान परिभाषित नहीं है। अतः केवल \(x=3\) पर भागफल शून्य होगा। परीक्षा-टिप: किसी भिन्नात्मक फलन के शून्यक ज्ञात करते समय अंश के शून्यकों में से उन मानों को हटाएँ जो हर को शून्य करते हैं। / The quotient \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) is zero only when the numerator is zero and the denominator is non-zero. Here, \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so the numerator is zero at \(x=2\) and \(x=3\). However, \(g(2)=0\), so the quotient is undefined at \(x=2\). Therefore, the only valid zero is \(x=3\). Exam tip: For the zeros of a quotient function, first find the zeros of the numerator and then exclude any value that makes the denominator zero.
वर्गमूल फलन के लिए \(x+2\geq 0\) होना आवश्यक है। ग्राफ का प्रारंभिक बिंदु तब मिलता है जब \(x+2=0\), अर्थात् \(x=-2\)। इस पर \(y=5-\sqrt{0}=5\), इसलिए बिंदु \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x=2\) लिया गया है, जो प्रारंभिक मान नहीं है। परीक्षा-टिप: \(\sqrt{x-a}\) का ग्राफ \((a,0)\) से शुरू होता है; बाहर का स्थिर पद ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण करता है। / For a square-root function, the radicand must satisfy \(x+2\geq 0\). The graph begins where the radicand is zero: \(x+2=0\), giving \(x=-2\). At this value, \(y=5-\sqrt{0}=5\), so the starting point is \((-2,5)\). Option B incorrectly uses \(x=2\), which is not the endpoint of the domain. Exam tip: a graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \((a,0)\), while an added constant shifts it vertically.
A. यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the y-axis
Explanation
Simple Explanation
यदि \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), तो \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\)। अतः यह एक सम फलन है और इसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, इसलिए ग्राफ मूल बिंदु से नहीं गुजरता। साथ ही, इसका डोमेन \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) और रेंज \((0,\infty)\) है, न कि \(\mathbb{R}\)। परीक्षा टिप: \(f(-x)=f(x)\) मिलने पर ग्राफ की y-अक्षीय सममिति पहचानें। / For \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), we have \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\). Therefore, the function is even and its graph is symmetric about the y-axis. Option B is incorrect because the function is undefined at \(x=0\), so the graph does not pass through the origin. Its domain is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) and its range is \((0,\infty)\), not \(\mathbb{R}\). Exam tip: If \(f(-x)=f(x)\), the graph has symmetry about the y-axis.
वर्ग पूरा करने पर \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\) मिलता है। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(3\) है, जो \(x=2\) पर प्राप्त होता है। इसलिए इसका परिसर \([3,\infty)\) है। विकल्प C में 7 को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जबकि स्थिर पद 7 होने के बावजूद \(-4x\) पद के कारण शीर्ष का मान बदल जाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन का परिसर ज्ञात करने के लिए पहले वर्ग पूरा करें। / Completing the square gives \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), the function has a minimum value of \(3\), attained at \(x=2\). Therefore, its range is \([3,\infty)\). Option C incorrectly treats the constant term 7 as the minimum value, ignoring the effect of the linear term. Exam tip: Complete the square to determine the vertex and range of a quadratic function.
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\) मिलता है। चूँकि \((x+1)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(2\) है, जो \(x=-1\) पर प्राप्त होता है। इसलिए मान-समुच्चय \([2,\infty)\) और \(m=2\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को \(a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखने पर, यदि \(a>0\) हो, तो न्यूनतम मान \(k\) होता है। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\). Since \((x+1)^2\geq 0\), the function has minimum value \(2\), attained at \(x=-1\). Hence its range is \([2,\\infty)\), so \(m=2\). Exam tip: For a quadratic written as \(a(x-h)^2+k\) with \(a>0\), the minimum value is \(k\). The constant term \(3\) is not the minimum value.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। अब \(t=(x+2)^2\ge 0\) रखने पर \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\)। \(t=0\) पर अधिकतम मान \(4\) मिलता है, जबकि \(t\to\infty\) पर फलन \(1\) के निकट पहुँचता है, परन्तु \(1\) कभी प्राप्त नहीं होता। अतः परास \((1,4]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(1\) परास में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में वर्ग को पूर्ण करके \((x+a)^2\) रखें और सीमा-मूल्य की जाँच करें। / For every real \(x\), \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), so the domain is all real numbers. Let \(t=(x+2)^2\ge 0\). Then \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). The maximum value is \(4\), attained when \(t=0\), while the function approaches \(1\) as \(t\to\infty\) but never equals \(1\). Therefore, the range is \((1,4]\). Option B is incorrect because \(1\) is not attained. Exam tip: Complete the square and check both the attained extreme value and the limiting value.
क्योंकि \(x\in[0,2)\), इसलिए \(2x\in[0,4)\)। अतः \(\lfloor 2x\rfloor\) के संभावित पूर्णांक मान \(0,1,2,3\) हैं। प्रत्येक मान प्राप्त होता है, जैसे \(x\in[0,\tfrac12)\) पर मान \(0\), \(x\in[\tfrac12,1)\) पर मान \(1\), और इसी प्रकार। \(x=2\) शामिल नहीं है, इसलिए \(2x=4\) और फलन का मान \(4\) प्राप्त नहीं हो सकता। अतः सही परिसर \(\{0,1,2,3\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में इनपुट अंतराल के खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since \(x\in[0,2)\), we have \(2x\in[0,4)\). Therefore, the possible integer values of \(\lfloor 2x\rfloor\) are \(0,1,2,3\), and each of them is attained. For example, the value is \(0\) when \(x\in[0,\tfrac12)\), \(1\) when \(x\in[\tfrac12,1)\), and so on. The endpoint \(x=2\) is excluded, so \(2x=4\) and the value \(4\) cannot occur; hence option B is incorrect. Thus, the range is \(\{0,1,2,3\}\). Exam tip: For the greatest-integer function, check carefully whether the endpoints of the input interval are included.
क्योंकि \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), इसलिए लघुगणक का तर्क सदैव \(1\) या उससे अधिक है। इसका न्यूनतम मान \(1\) तब मिलता है जब \(x=-1\), और \(\log_2 1=0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बढ़ता है, तर्क तथा फलन का मान बिना सीमा के बढ़ता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि न्यूनतम फलन मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करके उस पर लघुगणक लगाएँ। / Since \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), the logarithm's argument is always at least \(1\). Its minimum value is \(1\) at \(x=-1\), giving \(\log_2 1=0\). As \(|x|\) increases, the argument and hence the function value grow without bound. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because the minimum function value is \(0\), not \(1\). Exam tip: find the minimum value of the quadratic expression first, then apply the logarithm.
वास्तविक मान के लिए \(x+2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\), अतः \(-2\le x\le 8\)। अब कॉशी-श्वार्ज असमता से \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\)। इसलिए \(f(x)\le 2\sqrt{5}\)। समानता तब मिलती है जब \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), अर्थात् \(x=3\)। अतः अधिकतम मान \(2\sqrt{5}\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले मूलों के परिभाषित होने का अंतराल और फिर समानता की स्थिति जाँचें। / For real values, \(x+2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so the domain is \(-2\le x\le 8\). By the Cauchy–Schwarz inequality, \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\). Hence \(f(x)\le 2\sqrt{5}\). Equality occurs when \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), which gives \(x=3\). Therefore, the maximum value is \(2\sqrt{5}\). Exam tip: first determine the domain of radical expressions, then check the equality condition for the inequality used.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अशून्य और धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(a-x\ge 0\), अर्थात् \(x\le a\)। अतः फलन का परिभाषा-क्षेत्र \((-�infty,a]\) होगा। दिए गए परिभाषा-क्षेत्र \((-�infty,9]\) से \(a=9\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{a-x}\) जैसे फलन में दाएँ छोर का मान सीधे \(a\) होता है। / The expression under a square root must be non-negative, so \(a-x\ge 0\), which gives \(x\le a\). Hence, the domain is \((-�infty,a]\). Comparing it with the given domain \((-�infty,9]\) gives \(a=9\). The distractor \(-9\) would result from overlooking the sign of \(x\). Exam tip: For \(\sqrt{a-x}\), the right-hand endpoint of the domain is \(a\).
क्योंकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(\\sqrt{(x-2)^2+9}\\ge 3\\)। अतः \\(f(x)=7-\\sqrt{(x-2)^2+9}\\le 7-3=4\\)। अधिकतम मान 4 तब प्राप्त होता है जब \\(x=2\\)। जब \\(|x|\\to\\infty\\), तब वर्गमूल का मान अनंत की ओर बढ़ता है और \\(f(x)\\to-\\infty\\)। इसलिए परिसर \\((-\\infty,4]\\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करें; ऋणात्मक चिह्न होने पर वही अधिकतम फलन-मूल्य निर्धारित करता है। / Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(\\sqrt{(x-2)^2+9}\\ge 3\\). Therefore, \\(f(x)=7-\\sqrt{(x-2)^2+9}\\le 7-3=4\\). The maximum value 4 is attained at \\(x=2\\). As \\(|x|\\to\\infty\\), the square-root term tends to infinity, so \\(f(x)\\to-\\infty\\). Hence the range is \\((-\\infty,4]\\). Exam tip: first find the minimum of the radical expression; because it is subtracted, that minimum gives the maximum value of the function.
परिभाषित होने के लिए हर \(x-a\) शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए \(x=a\) वह एकमात्र मान है जो प्रांत से हटाया जाता है। यहाँ हटाया गया मान \(5\) है, अतः \(a=5\)। \(-5\) लेने पर हटाया गया मान \(-5\) होता, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x-a}\) जैसे फलन में हर को शून्य रखकर अपवर्जित मान ज्ञात करें। / The denominator \(x-a\) must not be zero. Thus, the only excluded value from the domain is obtained from \(x-a=0\), which gives \(x=a\). Since the excluded value is \(5\), we have \(a=5\). Choosing \(-5\) would exclude \(-5\), not \(5\). Exam tip: For a reciprocal expression, set its denominator equal to zero to identify the value excluded from the domain.
\(2x-x^2=1-(x-1)^2\)। वर्गमूल के लिए \(2x-x^2\ge 0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([0,2]\) है। इस व्यंजक का अधिकतम मान \(1\) है, जो \(x=1\) पर प्राप्त होता है, और न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=0,2\) पर प्राप्त होता है। अतः परास \([0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन की परास ज्ञात करते समय मूलांक का न्यूनतम और अधिकतम मान निर्धारित करें। / Rewrite the radicand as \(2x-x^2=1-(x-1)^2\). For the square root to be defined, \(2x-x^2\ge 0\), giving the domain \([0,2]\). The radicand has maximum value \(1\) at \(x=1\), and minimum value \(0\) at \(x=0,2\). Therefore, the function values range from \(0\) to \(1\), so the range is \([0,1]\). Option B is incorrect because a square root cannot be negative, while option D wrongly excludes \(0\). Exam tip: For a square-root function, first find the minimum and maximum values of the radicand.
क्योंकि \(x>0\), \(f(x)-2=x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\)। अतः \(f(x)\ge 2\), और बराबरी \(x=1\) पर होती है; इसलिए 2 मान-परास में शामिल है। साथ ही \(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर \(f(x)\to\infty\), इसलिए प्रत्येक \(y\ge2\) प्राप्त होता है। अतः मान-परास \([2,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(x+\frac1x\) में \(x>0\) हो तो न्यूनतम मान 2 तुरंत AM-GM से भी निकाला जा सकता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\) पर मान ठीक 2 मिलता है। / Since \(x>0\), \(f(x)-2=x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\). Thus \(f(x)\ge 2\), with equality at \(x=1\), so 2 is included in the range. Also, \(f(x)\to\infty\) as \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), and every value \(y\ge2\) is attained. Therefore, the range is \([2,\infty)\). Exam tip: for \(x+\frac1x\) with \(x>0\), the minimum 2 can also be found directly using AM-GM. Option B is incorrect because the value 2 is attained at \(x=1\).
किसी भी वास्तविक x के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। अतः \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\)। अधिकतम मान \(\frac14\) तब मिलता है जब \(x=0\), जबकि 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए परास \((0,\frac14]\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर के व्युत्क्रम का मान हर के न्यूनतम मान पर अधिकतम होता है। / For every real x, \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4\). Hence \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\). The maximum value \(\frac14\) occurs at \(x=0\), while 0 is never attained; therefore, the range is \((0,\frac14]\). Exam tip: for a positive denominator, the reciprocal is largest when the denominator is smallest.
क्योंकि \((x-2)^2\ge 0\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(f(x)=(x-2)^2+5\ge 5\)। जब \(x=2\), तब \(f(2)=5\), इसलिए 5 परास में शामिल है और परास \([5,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: ऊपर की ओर खुलने वाले \((x-a)^2+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है। / Since \((x-2)^2\ge 0\) for every real \(x\), we have \(f(x)=(x-2)^2+5\ge 5\). At \(x=2\), \(f(2)=5\), so 5 is included in the range. Therefore, the range is \([5,\infty)\). Exam tip: an upward-opening expression of the form \((x-a)^2+b\) has minimum value \(b\).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(2-|x-1|\ge 0\), अर्थात् \(|x-1|\le 2\)। इससे \(-2\le x-1\le 2\), और अतः \(-1\le x\le 3\) प्राप्त होता है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \([-1,3]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि दोनों सिरों पर वर्गमूल का मान शून्य, जो मान्य है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के परिभाषा-क्षेत्र के लिए radicand को \(\ge 0\) रखें। / The expression inside a square root must be non-negative, so \(2-|x-1|\ge 0\), which gives \(|x-1|\le 2\). Thus \(-2\le x-1\le 2\), or \(-1\le x\le 3\). Therefore, the domain is \([-1,3]\). Option B is incorrect because the endpoints are included: at both endpoints, the radicand is zero, which is allowed. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
मान लें \(t=x+2\)। तब \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1=t^2+1\), इसलिए \(f=\frac{t}{t^2+1}\)। यदि \(y=\frac{t}{t^2+1}\), तो \(yt^2-t+y=0\) का वास्तविक \(t\) के लिए विविक्तकर \(1-4y^2\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(-\frac12\le y\le\frac12\), और दोनों सीमाएँ \(t=-1,1\) पर प्राप्त होती हैं। इसलिए सही परास \(\left[-\frac12,\frac12\right]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें दोनों endpoints हटा दिए गए हैं। परीक्षा-टिप: ऐसे परास प्रश्नों में \(y=f(x)\) रखकर वास्तविक हल के लिए विविक्तकर की शर्त लगाएँ। / Let \(t=x+2\). Then \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1=t^2+1\), so \(f=\frac{t}{t^2+1}\). If \(y=\frac{t}{t^2+1}\), then \(yt^2-t+y=0\). For real \(t\), its discriminant must satisfy \(1-4y^2\ge 0\), giving \(-\frac12\le y\le\frac12\). Both endpoints are attained at \(t=-1\) and \(t=1\), respectively. Hence the range is \(\left[-\frac12,\frac12\right]\). Option B is incorrect because it excludes both attainable endpoints. Exam tip: For range questions of this type, set \(y=f(x)\) and impose the discriminant condition for real \(x\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1\ge 0\) से \(x\ge 1\) और \(x-4\ge 0\) से \(x\ge 4\) प्राप्त होता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(x\ge 4\) है, अतः प्रांत \([4,\infty)\) है। विकल्प B केवल पहली शर्त को दर्शाता है, जबकि विकल्प D में \(x=4\) को अनावश्यक रूप से शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: कई वर्गमूलों वाले फलन में सभी मूलांकों की शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For a square root to be real, each radicand must be non-negative. Thus, \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), and \(x-4\ge 0\) gives \(x\ge 4\). The common solution is \(x\ge 4\), so the domain is \([4,\infty)\). Option B considers only the first square root, while option D incorrectly excludes \(x=4\), where both square roots are defined. Exam tip: for multiple square roots, take the intersection of all radicand conditions.
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\)। चूँकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए इसका न्यूनतम मान \(1\) है और \(f(x)\ge\sqrt{1}=1\)। \(x=-3\) पर यह न्यूनतम मान प्राप्त होता है, जबकि \(x\) के बढ़ने या घटने पर फलन के मान बिना किसी ऊपरी सीमा के बढ़ सकते हैं। अतः परास \([1,\infty)\) है। विकल्प \([0,\infty)\) गलत है क्योंकि फलन का मान \(0\) कभी नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें। / Rewrite the expression under the square root by completing the square: \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\). Since \((x+3)^2\ge 0\), the expression has minimum value \(1\), so \(f(x)\ge\sqrt{1}=1\). This minimum is attained at \(x=-3\), and the function has no upper bound as \(x\) moves away from \(-3\). Therefore, the range is \([1,\infty)\). The distractor \([0,�infty)\) is incorrect because the function can never take the value \(0\). Exam tip: complete the square first when finding the range of a square-root function involving a quadratic.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक मूलांक के अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और \(\sqrt{6-x}\) के लिए \(6-x\ge 0\), अर्थात् \(x\le 6\)। इन दोनों शर्तों का साझा भाग \([0,6]\) है। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि \(x=0\) और \(x=6\) पर एक-एक वर्गमूल का मान शून्य होता है, इसलिए सिरों को शामिल किया जाएगा। / For a square root to be real, its radicand must be non-negative. Thus, \(\sqrt{x}\) requires \(x\ge 0\), while \(\sqrt{6-x}\) requires \(6-x\ge 0\), or \(x\le 6\). The intersection of these conditions is \([0,6]\), so option A is correct. Exam tip: include both endpoints because the square roots are defined when their radicands are zero; hence the open interval \((0,6)\) is incorrect.
वर्गमूल \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) आवश्यक है, इसलिए प्रांत \([0,\infty)\) है। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), इसलिए 1 परिसर में शामिल है। जैसे-जैसे \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), लेकिन किसी भी सीमित \(x\) के लिए फलन का मान 0 नहीं होता। अतः परिसर \((0,1]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल और हर के प्रतिबंध अलग-अलग जाँचकर अंत में मानों की सीमा निर्धारित करें। / The square root requires \(x\ge 0\), so the domain is \([0,\infty)\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is included in the range. As \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), but the function never actually equals 0 for any finite \(x\). Hence the range is \((0,1]\). Exam tip: first impose the input restrictions, then check endpoint values and limiting values to determine the range.
\(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\)। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(f(x)\geq 3\)। \(x=2\) पर \((x-2)^2=0\), अतः न्यूनतम मान \(3\) वास्तव में प्राप्त होता है। इसलिए परास \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(3\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऊपर की ओर खुलने वाले द्विघात फलन का परास उसके शीर्ष के \(y\)-निर्देशांक से शुरू होता है। / Rewrite the function by completing the square: \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), we have \(f(x)\geq 3\). At \(x=2\), the squared term is zero, so the minimum value \(3\) is actually attained. Hence, the range is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes the attainable value \(3\). Exam tip: for an upward-opening quadratic, the range begins at the vertex’s \(y\)-coordinate.
\(x^2+4x+4=(x+2)^2\), इसलिए \(f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\)। इसका न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=-2\) पर प्राप्त होता है, और इसके बाद यह कोई भी गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है। अतः परिसर \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलकर उसका न्यूनतम मान जाँचें। / Since \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), we get \(f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\). Its minimum value is \(0\), attained at \(x=-2\), and it can take every non-negative value thereafter. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(0\). Exam tip: Rewrite the expression under the square root as a perfect square and identify its minimum value.
वास्तविक मानों के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(-3\le x\le 3\\)। अतः \(\sqrt{9-x^2}\) का मान \[0,3\] में होता है। यदि \(y=\\sqrt{9-x^2}\), तो \(f(x)=2-y\), इसलिए इसका परास \\[2-3,2-0\\]=\\[-1,2\\] है। विकल्प B में घटाने के बजाय जोड़ने जैसा परिणाम आता है; endpoints को शामिल करना न भूलें। / For real values, \(9-x^2\\ge 0\), so \(-3\\le x\le 3\). Hence \(\\sqrt{9-x^2}\) takes every value in \[0,3\]. Letting \(y=\\sqrt{9-x^2}\), we have \(f(x)=2-y\), so the range is \[2-3,2-0\\]=\[-1,2\]. Option B would result from adding rather than subtracting, and both endpoints must be included.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|2x+1|\ge 0\), इसलिए \(f(x)=3-|2x+1|\le 3\)। जब \(2x+1=0\), अर्थात् \(x=-\frac12\), तब अधिकतम मान \(f(x)=3\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(|2x+1|\) का मान \(0\) से अनंत तक कोई भी मान हो सकता है, इसलिए \(f(x)\) के मान 3 से कम या उसके बराबर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः परास \((-�infty,3]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-|g(x)|\) के लिए अधिकतम मान सामान्यतः \(a\) होता है, यदि \(g(x)=0\) संभव हो। / For every real \(x\), \(|2x+1|\ge 0\), so \(f(x)=3-|2x+1|\le 3\). The maximum value 3 occurs when \(2x+1=0\), that is, at \(x=-\frac12\). Moreover, \(|2x+1|\) can take every value from 0 to infinity, so \(f(x)\) takes every real value less than or equal to 3. Therefore, the range is \((-�infty,3]\). In particular, option B is incorrect because the function cannot exceed 3. Exam tip: For an expression of the form \(a-|g(x)|\), first find its maximum by checking whether \(g(x)=0\) is possible.
क्योंकि 8x-2\ge 09, इसलिए 8x-2+1\ge 19 और इस कारण 80<f(x)\le 19। अधिकतम मान 819 तब मिलता है जब 8x=09। दूसरी ओर, 8x9 का परिमाण बढ़ने पर 8f(x)9 शून्य के निकट पहुँचता है, लेकिन हर वास्तविक 8x9 के लिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए परिसर 8(0,1]\u00029 है; विकल्प B में 809 को शामिल करना गलत है। परीक्षा-युक्ति: हर के न्यूनतम और अधिकतम संभव मान से परास निर्धारित करें। / Since 8x-2\ge 09, we have 8x-2+1\ge 19, so 80<f(x)\le 19. The maximum value 819 occurs at 8x=09. As 8|x| increases, 8f(x) approaches zero, but it never equals zero for any real 8x9. Hence the range is 8(0,1]\u00029; option B is incorrect because it includes zero. Exam tip: determine the range by finding the possible minimum and maximum values of the denominator.
दिए गए फलन में \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=(-2)^2+3(-2)-2=4-6-2=-4\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में ऋणात्मक पदों के चिह्नों की अनदेखी हो सकती है। परीक्षा में ऋणात्मक मान रखने के लिए हमेशा कोष्ठक का प्रयोग करें। / Substituting \(x=-2\) in the function gives \(f(-2)=(-2)^2+3(-2)-2=4-6-2=-4\). Therefore, option A is correct. Option B may result from overlooking the negative signs in the expression. In exams, use brackets when substituting a negative value.
\(f(x)=9\) रखने पर \(|x+6|=9\) प्राप्त होता है। परिमाण समीकरण में दो स्थितियाँ होती हैं: \(x+6=9\), जिससे \(x=3\), और \(x+6=-9\), जिससे \(x=-15\)। इसलिए दोनों मान संभव हैं। विकल्प D केवल धनात्मक शाखा लेता है और ऋणात्मक शाखा को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: \(|A|=k\) के लिए, जहाँ \(k>0\), हमेशा \(A=k\) या \(A=-k\) लिखें। / Substituting \(f(x)=9\) gives \(|x+6|=9\). A modulus equation has two cases: \(x+6=9\), which gives \(x=3\), and \(x+6=-9\), which gives \(x=-15\). Hence both values are possible. Option D considers only the positive branch and misses the negative one. Exam tip: for \(|A|=k\) with \(k>0\), always solve both \(A=k\) and \(A=-k\).
डोमेन ([1,5]) में प्रत्येक x+2 धनात्मक है, इसलिए |x+2|=x+2। यह फलन इस अंतराल पर बढ़ता है; अतः f(1)=3 और f(5)=7। इसलिए रेंज ([3,7]) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे फलन में पहले डोमेन पर निरपेक्ष मान के अंदर की राशि का चिह्न जाँचें, फिर endpoints के मान निकालें। / For every x in the domain ([1,5]), x+2 is positive, so |x+2|=x+2. The function increases on this interval, with f(1)=3 and f(5)=7. Hence the range is ([3,7]). Exam tip: first check the sign of the expression inside the modulus on the given domain, then evaluate the endpoint values.
