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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Functions as a special kind of relation Expert Level 33

वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित फलन \(f(x)=x^2-4x+7\) का परिसर क्या है?

What is the range of the function \(f(x)=x^2-4x+7\) defined over the real numbers?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \([3,\infty)\)

Explanation

Simple Explanation

वर्ग पूरा करने पर \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\) मिलता है। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(3\) है, जो \(x=2\) पर प्राप्त होता है। इसलिए इसका परिसर \([3,\infty)\) है। विकल्प C में 7 को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जबकि स्थिर पद 7 होने के बावजूद \(-4x\) पद के कारण शीर्ष का मान बदल जाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन का परिसर ज्ञात करने के लिए पहले वर्ग पूरा करें। / Completing the square gives \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), the function has a minimum value of \(3\), attained at \(x=2\). Therefore, its range is \([3,\infty)\). Option C incorrectly treats the constant term 7 as the minimum value, ignoring the effect of the linear term. Exam tip: Complete the square to determine the vertex and range of a quadratic function.

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Correct Answer: A. \([3,\infty)\). Explanation: वर्ग पूरा करने पर \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\) मिलता है। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(3\) है, जो \(x=2\) पर प्राप्त होता है। इसलिए इसका परिसर \([3,\infty)\) है। विकल्प C में 7 को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जबकि स्थिर पद 7 होने के बावजूद \(-4x\) पद के कारण शीर्ष का मान बदल जाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन का परिसर ज्ञात करने के लिए पहले वर्ग पूरा करें। / Completing the square gives \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), the function has a minimum value of \(3\), attained at \(x=2\). Therefore, its range is \([3,\infty)\). Option C incorrectly treats the constant term 7 as the minimum value, ignoring the effect of the linear term. Exam tip: Complete the square to determine the vertex and range of a quadratic function.