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Subjects
Class 11 Mathematics Hard Level 33

वास्तविक संख्या x के लिए फलन \(f(x)=\frac{1}{x^2+4}\) का परास ज्ञात कीजिए।

For real numbers x, find the range of the function \(f(x)=\frac{1}{x^2+4}\).

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((0,\frac{1}{4}]\)

Explanation

Simple Explanation

किसी भी वास्तविक x के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। अतः \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\)। अधिकतम मान \(\frac14\) तब मिलता है जब \(x=0\), जबकि 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए परास \((0,\frac14]\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर के व्युत्क्रम का मान हर के न्यूनतम मान पर अधिकतम होता है। / For every real x, \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4\). Hence \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\). The maximum value \(\frac14\) occurs at \(x=0\), while 0 is never attained; therefore, the range is \((0,\frac14]\). Exam tip: for a positive denominator, the reciprocal is largest when the denominator is smallest.

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वास्तविक संख्या x के लिए फलन \(f(x)=\frac{1}{x^2+4}\) का परास ज्ञात कीजिए। / For real numbers x, find the range of the function \(f(x)=\frac{1}{x^2+4}\).

Correct Answer: A. \((0,\frac{1}{4}]\). Explanation: किसी भी वास्तविक x के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। अतः \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\)। अधिकतम मान \(\frac14\) तब मिलता है जब \(x=0\), जबकि 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए परास \((0,\frac14]\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर के व्युत्क्रम का मान हर के न्यूनतम मान पर अधिकतम होता है। / For every real x, \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4\). Hence \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\). The maximum value \(\frac14\) occurs at \(x=0\), while 0 is never attained; therefore, the range is \((0,\frac14]\). Exam tip: for a positive denominator, the reciprocal is largest when the denominator is smallest.