Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2 के साथ; फिर 1 इकाई नीचे खिसकाना/Vertical stretch by a factor of 2, followed by a downward shift of 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=2f(x)-1\) में \(f(x)\) के बाहर का गुणक 2 प्रत्येक \(y\)-मान को दोगुना करता है, इसलिए ग्राफ का ऊर्ध्वाधर खिंचाव गुणक 2 होता है। इसके बाद \(-1\) सभी मानों को 1 इकाई नीचे ले जाता है। यह क्षैतिज खिंचाव नहीं है, क्योंकि क्षैतिज रूपांतरण में परिवर्तन \(f(2x)\) जैसे फलन के तर्क के अंदर होता है। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज रूपांतरण दर्शाता है। / In \(y=2f(x)-1\), the factor 2 outside \(f(x)\) doubles every \(y\)-value, producing a vertical stretch by a factor of 2. The term \(-1\) then shifts the entire graph 1 unit downward. It is not a horizontal stretch, because horizontal transformations involve changes inside the function’s argument, such as \(f(2x)\). Exam tip: factors outside the function affect vertical changes, while factors inside its argument affect horizontal changes.
A. 4 इकाई बाईं ओर और 3 इकाई नीचे/4 units left and 3 units down
Explanation
Simple Explanation
\(f(x+4)\) में इनपुट के अंदर \(+4\) होने के कारण ग्राफ क्षैतिज दिशा में 4 इकाई बाईं ओर खिसकता है; अंदर का चिह्न दिशा को उलट देता है। बाहर का \(-3\), पूरे फलन के मान से 3 घटाता है, इसलिए ग्राफ 3 इकाई नीचे जाता है। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(f(x-a)\) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और \(f(x)+b\) से b इकाई ऊपर जाता है। / In \(f(x+4)\), the input contains \(+4\), so the graph shifts 4 units horizontally to the left; the sign inside the function reverses the direction. The outside term \(-3\) subtracts 3 from every function value, shifting the graph 3 units downward. Therefore, option A is correct. Exam tip: \(f(x-a)\) shifts a graph a units right, while \(f(x)+b\) shifts it b units up.
वर्गमूल वाले फलन का प्रारंभिक बिंदु वहाँ होता है जहाँ मूल के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(x+9=0\), जिससे \(x=-9\) और \(y=\sqrt{0}-4=-4\) मिलता है। अतः बिंदु \((-9,-4)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत ली गई है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\sqrt{x-h}+k\) का प्रारंभिक बिंदु \((h,k)\) होता है। / The endpoint of a square-root graph occurs when the expression under the radical becomes zero. Thus, \(x+9=0\), so \(x=-9\), and \(y=\sqrt{0}-4=-4\). Therefore, the endpoint is \((-9,-4)\). Option B reverses the horizontal shift. Exam tip: for \(y=\sqrt{x-h}+k\), the endpoint is \((h,k)\).
मानक रूप \(y=a|x-h|+k\) में शीर्ष बिंदु \((h,k)\) होता है। यहाँ \(h=2\) और \(k=1\), इसलिए शीर्ष \((2,1)\) है। \(3\) केवल ग्राफ की ऊर्ध्वाधर खिंचाव को दर्शाता है; यह शीर्ष का \(y\)-निर्देशांक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-h|\) के अंदर का भाग शून्य रखकर \(x=h\) ज्ञात करें और फिर \(y=k\) प्राप्त करें। / A function in the form \(y=a|x-h|+k\) has its vertex at \((h,k)\). Here, \(h=2\) and \(k=1\), so the vertex is \((2,1)\). The coefficient \(3\) only causes a vertical stretch; it is not the vertex’s \(y\)-coordinate. Exam tip: set the expression inside the absolute value equal to zero to find \(x=h\), then evaluate \(y\).
A. (x)-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन और 4 इकाई ऊपर खिसकाव/Reflection in the (x)-axis followed by a shift 4 units upward
Explanation
Simple Explanation
यदि (y=f(x)) के प्रत्येक बिंदु ((x,y)) को पहले (x,-y) में बदला जाए, तो यह (x)-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन है और इससे (y=-f(x)) मिलता है। इसके बाद (+4) जोड़ने पर सभी (y)-निर्देशांक 4 बढ़ जाते हैं, इसलिए ग्राफ 4 इकाई ऊपर खिसकता है। (y)-अक्ष में परावर्तन के लिए (f(-x)) चाहिए, न कि (-f(x))। परीक्षा-युक्ति: -f(x) ऊर्ध्वाधर परावर्तन और + c ऊर्ध्वाधर ऊपर खिसकाव दर्शाता है। / For every point ((x,y)) on (y=f(x)), replacing (y) by (-y) gives (x,-y), which is reflection in the (x)-axis and produces (y=-f(x)). Adding (4) then increases every (y)-coordinate by 4, shifting the graph 4 units upward. Reflection in the (y)-axis would require (f(-x)), not (-f(x)). Exam tip: -f(x) means reflection across the (x)-axis, while +c shifts the graph upward by (c) units.
A. y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन/Reflection in the y-axis
Explanation
Simple Explanation
यदि y = f(x) का ग्राफ दिया हो, तो y = f(-x) का ग्राफ मूल ग्राफ का y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन होता है। यहाँ f(x) = x-3 है, इसलिए y = f(-x) = (-x)3 प्राप्त होता है। रेखा y = x के सापेक्ष परावर्तन करने पर प्रतिलोम फलन y = ∛x मिलता, जो अलग ग्राफ है। परीक्षा-युक्ति: x के स्थान पर -x रखने पर y-अक्षीय परावर्तन और y के स्थान पर -y रखने पर x-अक्षीय परावर्तन होता है। / For a graph y = f(x), replacing x by -x gives y = f(-x), which is the reflection of the original graph in the y-axis. Here f(x) = x-3, so y = f(-x) = (-x)3. Reflection in the line y = x would produce the inverse relation y = ∛x, not the given graph. Exam tip: replacing x by -x causes reflection in the y-axis, whereas replacing y by -y causes reflection in the x-axis.
वर्गमूल फलन के लिए \(x+2\geq 0\) होना आवश्यक है। ग्राफ का प्रारंभिक बिंदु तब मिलता है जब \(x+2=0\), अर्थात् \(x=-2\)। इस पर \(y=5-\sqrt{0}=5\), इसलिए बिंदु \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x=2\) लिया गया है, जो प्रारंभिक मान नहीं है। परीक्षा-टिप: \(\sqrt{x-a}\) का ग्राफ \((a,0)\) से शुरू होता है; बाहर का स्थिर पद ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण करता है। / For a square-root function, the radicand must satisfy \(x+2\geq 0\). The graph begins where the radicand is zero: \(x+2=0\), giving \(x=-2\). At this value, \(y=5-\sqrt{0}=5\), so the starting point is \((-2,5)\). Option B incorrectly uses \(x=2\), which is not the endpoint of the domain. Exam tip: a graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \((a,0)\), while an added constant shifts it vertically.
मापांक फलन का शीर्ष तब मिलता है जब उसके अंदर का व्यंजक शून्य हो: \(x+4=0\), इसलिए \(x=-4\)। इस मान पर \(f(-4)=|-4+4|-2=-2\), अतः शीर्ष-बिंदु \((-4,-2)\) है। विकल्प B में \(x\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का शीर्ष \((a,b)\) होता है। / The vertex of an absolute-value function occurs where the expression inside the modulus is zero: \(x+4=0\), giving \(x=-4\). Then \(f(-4)=|-4+4|-2=-2\), so the vertex is \((-4,-2)\). Option B results from taking the sign of the horizontal shift incorrectly. Exam tip: the vertex of \(|x-a|+b\) is \((a,b)\).
A. 1 इकाई नीचे खिसकाकर/By shifting it down by 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3-1\) में \(y=x^3\) के मानों से 1 घटाया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-निर्देशांक 1 कम हो जाता है और पूरा ग्राफ 1 इकाई नीचे खिसकता है। इसके विपरीत, \(y=(x-1)^3\) ग्राफ को 1 इकाई दाईं ओर ले जाता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर जोड़ा या घटाया गया स्थिरांक ऊर्ध्वाधर, जबकि \(x\) के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(y=x^3-1\), 1 is subtracted from every value of \(y=x^3\). Thus each \(y\)-coordinate decreases by 1, so the entire graph shifts 1 unit downward. In contrast, \(y=(x-1)^3\) would shift the graph 1 unit to the right. Exam tip: a constant added or subtracted outside the function causes a vertical shift, whereas a change inside the input causes a horizontal shift.
\(y=|2x|\) में मूल फलन के इनपुट \(x\) के स्थान पर \(2x\) है। इसलिए समान \(y\)-मान के लिए आवश्यक \(x\)-मान आधा हो जाता है और ग्राफ \(y\)-अक्ष की ओर सिमटता है; यह क्षैतिज संपीड़न है, जिसका पैमाना \(1/2\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि ऊर्ध्वाधर परिवर्तन तब होता जब पूरे फलन को बाहर से \(1/2\) से गुणा किया जाता। परीक्षा-युक्ति: इनपुट के अंदर का गुणक क्षैतिज और फलन के बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर परिवर्तन करता है। / In \(y=|2x|\), the input \(x\) of the original function is replaced by \(2x\). Thus, for the same \(y\)-value, the required \(x\)-value is halved, so the graph moves toward the \(y\)-axis. This is a horizontal compression with scale factor \(1/2\). Option B is incorrect because a vertical change would result from multiplying the entire function by \(1/2\) outside the function. Exam tip: a multiplier inside the input causes a horizontal transformation, while a multiplier outside the function causes a vertical transformation.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2/Vertical stretch by a factor of 2
Explanation
Simple Explanation
\(y=2|x|\) में मूल फलन \(|x|\) के मानों को बाहर से 2 से गुणा किया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-मान दोगुना हो जाता है, जबकि \(x\)-मान वही रहते हैं; यह ऊर्ध्वाधर खिंचाव है और शीर्षबिंदु मूलबिंदु पर ही रहता है। क्षैतिज खिंचाव तब होता जब परिवर्तन इनपुट के भीतर होता, जैसे \(y=|2x|\)। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन दर्शाता है। / In \(y=2|x|\), the output of the parent function \(|x|\) is multiplied by 2. Thus every \(y\)-value doubles while the \(x\)-values remain unchanged, producing a vertical stretch; the vertex stays at the origin. A horizontal stretch would involve changing the input, as in \(y=|2x|\). Exam tip: a multiplier outside the function causes a vertical transformation, whereas one inside the function affects the horizontal scale.
A. 3 इकाई बाईं ओर खिसकाकर/By shifting 3 units to the left
Explanation
Simple Explanation
y = f(x + 3) का ग्राफ y = f(x) के ग्राफ को 3 इकाई बाईं ओर खिसकाने से प्राप्त होता है। यहाँ f(x) = x-2 है, इसलिए y = (x + 3)2 का शीर्ष (-3, 0) होगा। इसे दाईं ओर खिसकाना गलत होगा, क्योंकि अंदर x के साथ धनात्मक 3 होने पर क्षैतिज विस्थापन बाईं ओर होता है। परीक्षा-युक्ति: f(x - a) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और f(x + a) से a इकाई बाईं ओर जाता है। / The graph of y = f(x + 3) is obtained by shifting the graph of y = f(x) 3 units to the left. Here f(x) = x-2, so the vertex of y = (x + 3)2 is (-3, 0). A rightward shift is incorrect because a positive number added inside the function causes a horizontal shift to the left. Exam tip: f(x - a) shifts a graph a units right, while f(x + a) shifts it a units left.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{3}{x+2}\) का मान 0 के निकट पहुँचता है। इसलिए \(f(x)\) का मान \(-1\) के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=-1\) होती है। \(x=-2\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्योंकि वहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसिम्प्टोट सीधे \(y=k\) होती है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{3}{x+2}\) approaches 0. Therefore, \(f(x)\) approaches \(-1\), so the horizontal asymptote is \(y=-1\). The line \(x=-2\) is the vertical asymptote because the denominator becomes zero there. Exam tip: For a function of the form \(\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is directly \(y=k\).
मूल फलन \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x-3|\) आलेख को 3 इकाई दाईं ओर और बाहर जोड़ा गया \(+2\) उसे 2 इकाई ऊपर ले जाता है। इसलिए शीर्ष \((3,2)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत है, जबकि विकल्प C में ऊर्ध्वाधर विस्थापन की दिशा गलत है। परीक्षा युक्ति: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष सीधे \((h,k)\) होता है। / The basic function \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(|x-3|\), the graph shifts 3 units to the right, and the outside \(+2\) shifts it 2 units upward. Therefore, the vertex is \((3,2)\). Option B reverses the horizontal shift, while option C reverses the vertical shift. Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is directly \((h,k)\).
वास्तविक मानों के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(-3\le x\le 3\\)। अतः \(\sqrt{9-x^2}\) का मान \[0,3\] में होता है। यदि \(y=\\sqrt{9-x^2}\), तो \(f(x)=2-y\), इसलिए इसका परास \\[2-3,2-0\\]=\\[-1,2\\] है। विकल्प B में घटाने के बजाय जोड़ने जैसा परिणाम आता है; endpoints को शामिल करना न भूलें। / For real values, \(9-x^2\\ge 0\), so \(-3\\le x\le 3\). Hence \(\\sqrt{9-x^2}\) takes every value in \[0,3\]. Letting \(y=\\sqrt{9-x^2}\), we have \(f(x)=2-y\), so the range is \[2-3,2-0\\]=\[-1,2\]. Option B would result from adding rather than subtracting, and both endpoints must be included.
