Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
भागफल \(\frac{f(x)}{g(x)}\) के लिए वर्गमूल \(\sqrt{x-2}\) परिभाषित होना चाहिए, इसलिए \(x-2\ge 0\), अर्थात् \(x\ge 2\)। साथ ही, हर शून्य नहीं हो सकता; \(\sqrt{x-2}\ne 0\) से \(x\ne 2\) मिलता है। अतः दोनों शर्तों को मिलाने पर डोमेन \((2,\infty)\) है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि उसमें \(x=2\) शामिल है, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: भागफल का डोमेन निकालते समय मूल वाले व्यंजक की शर्त और हर के शून्य न होने की शर्त दोनों जाँचें। / For the quotient \(\frac{f(x)}{g(x)}\), the square root \(\sqrt{x-2}\) must be defined, so \(x-2\ge 0\), giving \(x\ge 2\). Also, the denominator cannot be zero; \(\sqrt{x-2}\ne 0\) requires \(x\ne 2\). Combining these conditions gives the domain \((2,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(x=2\), where the denominator is zero. Exam tip: For a quotient involving a radical, check both the radical's domain condition and the condition that the denominator is nonzero.
यहाँ \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{x+1}{x-1}\), जहाँ \(x\ne1\) है। समीकरण \(\frac{x+1}{x-1}=1\) से \(x+1=x-1\) प्राप्त होता है, जो असंभव है। इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है। विकल्प \(x=1\) भी मान्य नहीं है, क्योंकि वहाँ \(f(x)\) परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले समीकरण में पहले हर को शून्य न होने की शर्त अवश्य लिखें। / Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{x+1}{x-1}\), with the domain restriction \(x\ne1\). Solving \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives \(x+1=x-1\), which is impossible. Hence, there is no real solution. The choice \(x=1\) is also invalid because \(f(x)\) is undefined there. Exam tip: For an equation containing a fraction, first state that its denominator cannot be zero.
दोनों फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\) है। चूँकि \(x^2+1\) कभी शून्य नहीं होता, यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान हमेशा 1 रहता है। इसलिए परिसर केवल \(\{1\}\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का गुणनफल सरल करके स्थिर फलन पहचानें। / The product is \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\). Since \(x^2+1\) is never zero, the product is defined for every real \(x\), but its value is always 1. Hence, its range is only \(\{1\}\). Exam tip: simplify the product first and check whether it becomes a constant function.
\((f-g)(x)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\)। समान हर लेने पर अंश \((x-1)^2-(x+1)^2\) मिलता है। इसका मान \((x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)=-4x\) है और हर \((x+1)(x-1)=x^2-1\) है। इसलिए सही रूप \(\frac{-4x}{x^2-1}\) है। मूल फलनों के हर शून्य न हों, इसलिए \(x\ne\pm1\)। परीक्षा-युक्ति: घटाव में दूसरे भिन्न के पूरे अंश के आगे ऋण चिह्न लगाना न भूलें; इसी कारण विकल्प B गलत है। / \((f-g)(x)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\). Taking the common denominator gives the numerator \((x-1)^2-(x+1)^2\). Expanding, this is \((x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)=-4x\), while the denominator is \((x+1)(x-1)=x^2-1\). Hence the simplified form is \(\frac{-4x}{x^2-1}\). The domain excludes \(x=1\) and \(x=-1\), where the original functions are undefined. Exam tip: retain the minus sign before the entire second numerator; losing it leads to option B.
A. हर वास्तविक \(x\) के लिए, जहाँ \(x\ne -1\)/For every real \(x\) such that \(x\ne -1\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-1=(x-1)(x+1)\), इसलिए \(x\ne -1\) पर \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\)। लेकिन मूल फलन \(f\) में \(x=-1\) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए वहाँ \(f\) अपरिभाषित है। अतः दोनों फलन प्रत्येक वास्तविक \(x\ne -1\) पर समान मान देते हैं। परीक्षा-युक्ति: बीजीय सरलीकरण के बाद मूल व्यंजक का प्रतिबंधित प्रांत अवश्य जाँचें। / Since \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), for \(x\ne -1\) we get \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\). However, the original function \(f\) is undefined at \(x=-1\) because its denominator becomes zero. Therefore, the functions have equal values for every real \(x\ne -1\). Exam tip: after simplifying a rational expression, always retain the domain restriction from the original expression.
\((f-g)(x)=0\) का अर्थ है \(x^2-|x|=0\), अर्थात् \(x^2=|x|\)। \(t=|x|\ge 0\) रखने पर \(t^2=t\), इसलिए \(t=0\) या \(t=1\)। इससे \(x=0\) या \(x=\pm1\), यानी \(x\in\{-1,0,1\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(x=-1\) छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: modulus वाले समीकरणों में पहले \(|x|\) को एक गैर-ऋणात्मक चर मानकर हल करें। / The condition \((f-g)(x)=0\) gives \(x^2-|x|=0\), or \(x^2=|x|\). Let \(t=|x|\ge 0\). Then \(t^2=t\), so \(t=0\) or \(t=1\). Hence \(x=0\) or \(x=\pm1\), giving \(x\in\{-1,0,1\}\). Option B is incorrect because it omits \(x=-1\). Exam tip: for equations involving a modulus, substitute \(t=|x|\) with \(t\ge0\) before solving.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2+ax-(bx+1)=x^2+(a-b)x-1\)। इसे दिए गए \(x^2-5x-1\) से तुलना करने पर \(a-b=-5\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि इस सूचना से \(a\) और \(b\) के अलग-अलग मान निश्चित नहीं होते; केवल उनका अंतर निर्धारित होता है। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2+ax-(bx+1)=x^2+(a-b)x-1\). Comparing this with the given expression \(x^2-5x-1\), the coefficient of \(x\) gives \(a-b=-5\). Hence, option A is correct. Exam tip: compare corresponding coefficients, and do not assume that \(a\) and \(b\) individually are determined when only their difference is given.
बिंदुवार गुणनफल के लिए (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। अतः (fg)(x)=(|x|+x)(|x|-x)=|x|2-x-2=0, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक x के लिए |x|2=x-2। विकल्प B में योग जैसे पदों को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में (a+b)(a-b)=a-2-b-2 की पहचान तुरंत लगाएँ। / For the pointwise product, (fg)(x)=f(x)g(x). Hence, (fg)(x)=(|x|+x)(|x|-x)=|x|2-x-2=0, since |x|2=x-2 for every real x. Option B results from an incorrect expansion that treats the factors as if their terms were simply added. Exam tip: apply the identity (a+b)(a-b)=a-2-b-2 directly.
फलनों का योग लेने पर �((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-2-5x+6)�। वर्ग पूर्ण करने पर �(x-2-5x+6=\left\(x-\frac{5}{2}\right\)2-\frac{1}{4})� मिलता है। वर्ग का मान हमेशा शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए न्यूनतम मान �\(-\frac{1}{4}\)� है, जो �\(x=\frac{5}{2}\)� पर प्राप्त होता है। �(0)� निकटतम भ्रमकारी विकल्प है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग वाले पद को छोड़ देने से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा-युक्ति: �\(ax^2+bx+c\)� में �(a>0)� हो तो शीर्ष-बिंदु पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है। / Adding the functions gives �((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-2-5x+6)�. Completing the square, �(x-2-5x+6=\left\(x-\frac{5}{2}\right\)2-\frac{1}{4})�. Since a square is always non-negative, the minimum value is �\(-\frac{1}{4}\)�, attained at �\(x=\frac{5}{2}\)�. The distractor �(0)� may result from overlooking the constant term after completing the square. Exam tip: for �\(ax^2+bx+c\)� with �(a>0)�, the minimum occurs at the vertex.
फलनों के बीजीय संयोजन में \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\)। अतः \(2f(x)=2x^2+4x\) और \(3g(x)=9x-15\)। इसलिए \((2f-3g)(x)=(2x^2+4x)-(9x-15)=2x^2-5x+15\)। विकल्प C में \(3g(x)\) घटाते समय \(9x\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले पूरे पद को कोष्ठक में रखकर घटाएँ। / For an algebraic combination of functions, \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\). Thus, \(2f(x)=2x^2+4x\) and \(3g(x)=9x-15\). Therefore, \((2f-3g)(x)=(2x^2+4x)-(9x-15)=2x^2-5x+15\). Option C results from using the wrong sign while subtracting \(3g(x)\). Exam tip: place the entire function being subtracted in parentheses before simplifying.
फलनों का बीजीय संयोजन उनके मानों पर उसी क्रम में लागू होता है: \((f-g+h)(x)=f(x)-g(x)+h(x)=x^2-2x+1\)। अतः यह \((x-1)^2\) के बराबर है। विकल्प B में \(-2x\) का चिन्ह गलत होकर \(+2x\) हो गया है। परीक्षा में घटाए जा रहे पूरे फलन के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलना न भूलें। / Algebraic operations on functions are performed in the stated order: \((f-g+h)(x)=f(x)-g(x)+h(x)=x^2-2x+1\). Therefore, it simplifies to \((x-1)^2\). In option B, the sign of the middle term is incorrectly changed to \(+2x\). Exam tip: when subtracting a function, carefully retain the negative sign for all its terms.
भागफल \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) शून्य तभी होगा जब अंश शून्य हो और हर शून्य न हो। यहाँ \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), इसलिए अंश के शून्यक \(x=2\) और \(x=3\) हैं। लेकिन \(x=2\) पर \(g(x)=0\), इसलिए वह मान परिभाषित नहीं है। अतः केवल \(x=3\) पर भागफल शून्य होगा। परीक्षा-टिप: किसी भिन्नात्मक फलन के शून्यक ज्ञात करते समय अंश के शून्यकों में से उन मानों को हटाएँ जो हर को शून्य करते हैं। / The quotient \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)\) is zero only when the numerator is zero and the denominator is non-zero. Here, \(f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so the numerator is zero at \(x=2\) and \(x=3\). However, \(g(2)=0\), so the quotient is undefined at \(x=2\). Therefore, the only valid zero is \(x=3\). Exam tip: For the zeros of a quotient function, first find the zeros of the numerator and then exclude any value that makes the denominator zero.
पहले x=0 रखने पर f(0)=0²+4(0)+5=5 और g(0)=0²−4(0)+5=5 प्राप्त होते हैं। गुणनफल फलन के लिए (fg)(0)=f(0)g(0), इसलिए (fg)(0)=5×5=25। विकल्प B केवल एक फलन का मान है, दोनों का गुणनफल नहीं। परीक्षा-सुझाव: (fg)(a) को हमेशा f(a) और g(a) के गुणनफल के रूप में लिखें। / Substituting x=0 gives f(0)=0²+4(0)+5=5 and g(0)=0²−4(0)+5=5. For the product function, (fg)(0)=f(0)g(0), so (fg)(0)=5×5=25. Option B is only the value of one function, not their product. Exam tip: Rewrite (fg)(a) as f(a)g(a) before substituting values.
फलनों के रैखिक संयोजन के अनुसार \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\)। अतः \(2(x^2-2x)-3(3x-1)=2x^2-4x-9x+3=2x^2-13x+3\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में \(-3g(x)\) का \(x\)-गुणांक सही ढंग से नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-टिप: ऋण चिह्न वाले पूरे फलन को कोष्ठक में रखकर विस्तार करें। / For a linear combination of functions, \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\). Therefore, \(2(x^2-2x)-3(3x-1)=2x^2-4x-9x+3=2x^2-13x+3\). Hence, option A is correct. In option C, the \(x\)-terms from \(-3g(x)\) have not been combined correctly. Exam tip: Keep the entire function in parentheses when distributing a negative coefficient.
\((f+g)(1)=f(1)+g(1)=(1+a)+(2-a)=3\) प्राप्त होता है। \(a\) के किसी भी मान के लिए \((f+g)(1)\) का मान 3 ही रहता है, इसलिए वह 7 के बराबर नहीं हो सकता। अतः \(a\) का कोई वास्तविक मान नहीं है। परीक्षा में पहले \(f(1)+g(1)\) को सरल करें; यदि \(a\) कट जाए, तो दी गई शर्त की संगति अवश्य जाँचें। / \((f+g)(1)=f(1)+g(1)=(1+a)+(2-a)=3\). The parameter \(a\) cancels, so \((f+g)(1)\) is always 3 and can never equal 7. Hence, no real value of \(a\) satisfies the condition. Exam tip: simplify the sum of the function values first; if the parameter cancels, check whether the given condition is consistent.
फलनों के घटाव से \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\), इसलिए \(g(x)=f(x)-(f-g)(x)\)। मान रखने पर \(g(x)=(x^2+3x)-(2x^2-x)=-x^2+4x\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में पूरे परिणाम का चिह्न उलट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(f-g\) दिया हो, तो अज्ञात फलन निकालने के लिए \(g=f-(f-g)\) लिखें। / Since \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\), we get \(g(x)=f(x)-(f-g)(x)\). Substituting the given functions, \(g(x)=(x^2+3x)-(2x^2-x)=-x^2+4x\), so option A is correct. Option B results from reversing the overall sign. Exam tip: when \(f-g\) is given, use \(g=f-(f-g)\) before substituting.
फलनों के योग से \(g(x)\) प्राप्त करने के लिए \(f(x)\) को घटाएँ: \(g(x)=(f+g)(x)-f(x)=(x^2+x)-(3x-2)=x^2-2x+2\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(3x\) को सही ढंग से घटाया नहीं गया है। परीक्षा में संकेत: फलनों के योग में प्रत्येक \(x\) के लिए मानों का जोड़ होता है, इसलिए अज्ञात फलन पाने के लिए ज्ञात फलन घटाएँ। / Subtract the known function from the sum: \(g(x)=(f+g)(x)-f(x)=(x^2+x)-(3x-2)=x^2-2x+2\). Hence, option A is correct. Option D results from failing to subtract the \(3x\) term correctly. Exam tip: For the sum of functions, subtract the known function term by term to obtain the unknown function.
फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(3-x)=x-2\) होगा। अतः \((f+g)(4)=4-2=2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में योग के स्थान पर गलत सरलीकरण हुआ है। परीक्षा में पहले फलनों का योग निकालकर, फिर दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें। / The sum of the functions is \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(3-x)=x-2\). Therefore, \((f+g)(4)=4-2=2\), so option A is correct. Option B results from an incorrect simplification of the sum. In an exam, first form the sum of the functions and then substitute the given value.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-5x+6}{x-2}\)। अंश का गुणनखंड करने पर \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), इसलिए \(x\ne2\) के लिए भागफल \(x-3\) है। विकल्प C केवल हर के समान है, जबकि विकल्प B में चिन्ह की गलती है। परीक्षा-युक्ति: भाग देने से पहले द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें और उस मान को डोमेन से बाहर रखें जो मूल हर को शून्य करता है। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-5x+6}{x-2}\). Factoring the numerator gives \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so for \(x\ne2\), the quotient is \(x-3\). Option C is only the denominator, while option B has an incorrect sign. Exam tip: factor the quadratic before dividing, and exclude the value that makes the original denominator zero.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(x)=(2x+5)+(5-2x)=10\), क्योंकि \(2x\) और \(-2x\) एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। विकल्प B में पदों का सही योग नहीं किया गया है और विकल्प C घटाव से संबंधित है। परीक्षा में फलनों के योग के लिए उनके समान इनपुट वाले मानों को सीधे जोड़ें। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(x)=(2x+5)+(5-2x)=10\), since \(2x\) and \(-2x\) cancel each other. Option B does not correctly add the corresponding terms, while option C is related to subtraction. In an exam, add the values of the two functions for the same input.
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x\)। अब \(x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\), क्योंकि \(x^2-1\) अंतर-वर्ग पहचान है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) पहचान को ऐसे प्रश्नों में तुरंत लागू करें। / By the definition of the difference of functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x\). Factoring out \(x\) gives \(x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\), using the difference-of-squares identity. Hence, option A is correct. Exam tip: Apply \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) whenever a difference of two squares appears.
फलनों के रैखिक संयोजन के अनुसार \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\)। इसलिए \(2f(x)=4x^2+2x\) और \((2f-g)(x)=(4x^2+2x)-(x^2-x)=3x^2+3x\)। अतः विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि घटाते समय \(g(x)\) के दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं: \(-(x^2-x)=-x^2+x\)। / For a linear combination of functions, \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\). Thus, \(2f(x)=4x^2+2x\), and \((2f-g)(x)=(4x^2+2x)-(x^2-x)=3x^2+3x\). Therefore, option A is correct. Remember to distribute the minus sign to both terms of \(g(x)\): \(-(x^2-x)=-x^2+x\).
फलनों का बीजीय संयोजन बिंदुवार किया जाता है: \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)=2x+(x+3)-(x-1)\)। कोष्ठक खोलने पर \(2x+x+3-x+1=2x+4\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) पदों को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: घटाए जा रहे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / The algebraic combination of functions is evaluated pointwise: \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)=2x+(x+3)-(x-1)\). On removing the brackets, \(2x+x+3-x+1=2x+4\), so option A is correct. Option B results from combining the \(x\)-terms incorrectly. Exam tip: change the sign of every term inside a function that is being subtracted.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+(x^2-1)=x^2+2x\) होता है। इसलिए \((f+g)(2)=2^2+2(2)=4+4=8\), अतः विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि \((f+g)(a)\) निकालने के लिए दोनों फलनों का \(a\) पर मान जोड़ना होता है। / The sum of the two functions is \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+(x^2-1)=x^2+2x\). Hence, \((f+g)(2)=2^2+2(2)=4+4=8\), so option A is correct. Remember that \((f+g)(a)\) is found by adding the values of both functions at \(a\).
(f − g)(x) = f(x) − g(x) = (x² + 2x) − (x² − 2x)। कोष्ठक खोलने पर x² − x² + 2x + 2x = 4x प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4x है। ध्यान रखें कि ऋण चिह्न के बाद पूरे g(x) के पदों के चिह्न बदल जाते हैं; इसी कारण −2x, +2x बन जाता है। / (f − g)(x) = f(x) − g(x) = (x² + 2x) − (x² − 2x). On removing the brackets, x² − x² + 2x + 2x = 4x. Therefore, the correct answer is 4x. Exam tip: when subtracting a function, change the signs of every term in the subtracted function; hence −2x becomes +2x.
फलनों के योग के लिए c((f+g)(x)=f(x)+g(x)c)। अतः c(f(-4)=|-4|=4c) और c(g(-4)=-4c), इसलिए c((f+g)(-4)=4+(-4)=0c)। विकल्प B में दोनों मानों को ऋणात्मक लेने की गलती है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक फलन का मान अलग-अलग निकालकर फिर जोड़ें। / For the sum of two functions, c((f+g)(x)=f(x)+g(x)c). Thus, c(f(-4)=|-4|=4c) and c(g(-4)=-4c), so c((f+g)(-4)=4+(-4)=0c). Option B results from incorrectly treating the modulus as negative. Exam tip: evaluate each function separately before adding the values.
दो फलनों के अंतर के लिए (f − g)(x) = f(x) − g(x) होता है। इसलिए, (f − g)(x) = (2x² − 3) − (x² + 5) = 2x² − x² − 3 − 5 = x² − 8। विकल्प B में दोनों फलनों को जोड़ने जैसा प्रभाव आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में कोष्ठक सहित पूरे g(x) को घटाना न भूलें। / For the difference of two functions, (f − g)(x) = f(x) − g(x). Hence, (f − g)(x) = (2x² − 3) − (x² + 5) = 2x² − x² − 3 − 5 = x² − 8. Option B results from effectively adding the functions, so it is incorrect. In exams, remember to subtract the entire g(x), including the constant term.
यदि \(f(x)=x+4\) और \(g(x)=2x-1\) हों, तो \((f+g)(x)=(fg)(x)\) के लिए कौन-सा समीकरण प्राप्त होगा? यहाँ \((fg)(x)\), \(f(x)\) और \(g(x)\) के गुणनफल को दर्शाता है।
पहले \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+4)+(2x-1)=3x+3\) प्राप्त होता है। दूसरी ओर, \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+4)(2x-1)=2x^2+7x-4\)। अतः समीकरण \(2x^2+7x-4=3x+3\) है। ध्यान रखें कि \(fg\) यहाँ फलनों का गुणनफल है, संयोजन नहीं; गुणनफल का विस्तार करते समय मध्य पद \(8x-x=7x\) होता है। / First, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+4)+(2x-1)=3x+3\). Also, \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+4)(2x-1)=2x^2+7x-4\). Therefore, the required equation is \(2x^2+7x-4=3x+3\). Remember that \(fg\) denotes the product of the functions here, not their composition; while expanding, the middle term is \(8x-x=7x\).
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2-3x=x(x-3)\)। अतः \(x(x-3)=0\) होने पर शून्य गुणनफल नियम से \(x=0\) या \(x=3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(x=1\) रखने पर \((f-g)(1)=1-3=-2\), इसलिए वह गलत है। परीक्षा में पहले फलनों का अंतर लिखकर उसे गुणनखंडों में तोड़ें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2-3x=x(x-3)\). By the zero-product rule, \(x(x-3)=0\) gives \(x=0\) or \(x=3\). Option B is incorrect because \((f-g)(1)=1-3=-2\), not zero. Exam tip: first form the difference of the functions, then factorise it.
फलनों के बीजीय संक्रिया के अनुसार \((f-2g)(x)=f(x)-2g(x)\)। अतः \((f-2g)(x)=(5x+4)-2(2x-3)=5x+4-4x+6=x+10\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में गुणांकों का गलत संयोजन किया गया है। परीक्षा में \(-2(2x-3)\) का विस्तार करते समय दोनों पदों के चिह्न बदलना याद रखें। / For algebraic operations on functions, \((f-2g)(x)=f(x)-2g(x)\). Therefore, \((f-2g)(x)=(5x+4)-2(2x-3)=5x+4-4x+6=x+10\), so option A is correct. Option B results from combining the coefficients incorrectly. In an exam, remember that distributing \(-2\) changes the signs of both terms inside the bracket.
