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योग फलन c((f+g)(x))c का प्रांत, c(fc) और c(gc) के प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। c(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}c) में मूलांक के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि वर्गमूल हर में है; इसलिए c(x-4>0c), अर्थात c(x>4c)। c(g(x)=x+1c) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः योग का प्रांत c(\(4,\infty\)c) है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो उसके अंदर का व्यंजक c\(\ge 0c\) नहीं, बल्कि c(>0c) होना चाहिए। / The domain of c((f+g)(x))c is the intersection of the domains of c(fc) and c(gc). For c(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}c), the radicand must be positive because the square root is in the denominator. Hence, c(x-4>0c), so c(x>4c). The function c(g(x)=x+1c) is defined for every real number. Therefore, the domain of the sum is c(\(4,\infty\)c). Exam tip: when a square root appears in a denominator, its radicand must be strictly positive, not merely non-negative.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक radicand गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-2\ge 0\) से \(x\ge 2\), और \(10-2x\ge 0\) से \(x\le 5\) मिलता है। \((f+g)(x)\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों शर्तें एक साथ पूरी हों, अतः डोमेन \([2,5]\) है। सिरों \(x=2\) और \(x=5\) पर एक वर्गमूल शून्य होता है, इसलिए वे शामिल हैं; इसी कारण \((2,5)\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: योगफल का डोमेन संबंधित दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। / Each square-root radicand must be non-negative for the function to be real. Thus, \(x-2\ge 0\) gives \(x\ge 2\), while \(10-2x\ge 0\) gives \(x\le 5\). The sum \((f+g)(x)\) is defined only when both conditions hold, so its domain is \([2,5]\). The endpoints are included because at \(x=2\) or \(x=5\), one square root is simply zero; therefore \((2,5)\) is incorrect. Exam tip: the domain of a sum is the intersection of the domains of the two functions.
A. हर वास्तविक \(x\) के लिए, जहाँ \(x\ne -1\)/For every real \(x\) such that \(x\ne -1\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-1=(x-1)(x+1)\), इसलिए \(x\ne -1\) पर \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\)। लेकिन मूल फलन \(f\) में \(x=-1\) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए वहाँ \(f\) अपरिभाषित है। अतः दोनों फलन प्रत्येक वास्तविक \(x\ne -1\) पर समान मान देते हैं। परीक्षा-युक्ति: बीजीय सरलीकरण के बाद मूल व्यंजक का प्रतिबंधित प्रांत अवश्य जाँचें। / Since \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), for \(x\ne -1\) we get \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\). However, the original function \(f\) is undefined at \(x=-1\) because its denominator becomes zero. Therefore, the functions have equal values for every real \(x\ne -1\). Exam tip: after simplifying a rational expression, always retain the domain restriction from the original expression.
भागफल फलन \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x-1}{x+1}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(x+1\ne0\), अर्थात् \(x\ne-1\), जबकि \(x=1\) पर अंश शून्य होना स्वीकार्य है। अतः डोमेन \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) है। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन का डोमेन निकालते समय हर को शून्य करने वाले मान हटाएँ। / The quotient function is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x-1}{x+1}\), so its denominator must not be zero. Thus, \(x+1\ne0\), giving \(x\ne-1\). The value \(x=1\) is allowed because a zero numerator is valid. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Exam tip: For a quotient function, exclude values that make the denominator zero.
गुणनफल \((fg)(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-5)}\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों हर शून्य न हों। इसलिए \(x\neq -2\) और \(x\neq 5\), अतः domain \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\) है। केवल \(-2\) या केवल \(5\) को हटाना अधूरा है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल फलन का domain, दोनों फलनों के domains का intersection होता है। / The product is \((fg)(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-5)}\), so both denominator factors must be non-zero. Thus, \(x\neq -2\) and \(x\neq 5\), giving the domain \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\). Excluding only \(-2\) or only \(5\) is incomplete. Exam tip: the domain of a product function is the intersection of the domains of the two functions.
\(f+g\) का डोमेन, \(f\) और \(g\) के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है। \(f(x)\) के लिए \(x-1\neq 0\), इसलिए \(x\neq 1\); और \(g(x)\) के लिए \(x+1\neq 0\), इसलिए \(x\neq -1\)। अतः डोमेन से 1 और -1 दोनों हटेंगे। केवल एक हर को देखकर दूसरा मान छोड़ देना गलत होगा। परीक्षा-टिप: योग या अंतर के डोमेन में सभी संबंधित फलनों की प्रतिबंधित संख्याएँ हटाएँ। / The domain of \(f+g\) is the intersection of the domains of \(f\) and \(g\). For \(f(x)\), \(x-1\neq 0\), so \(x\neq 1\); for \(g(x)\), \(x+1\neq 0\), so \(x\neq -1\). Therefore, both 1 and -1 are excluded. Choosing only one value ignores the restriction from the other denominator. Exam tip: For the sum or difference of functions, exclude every value that makes any relevant denominator zero.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है। यहाँ \(x+2=0\) रखने पर \(x=-2\) प्राप्त होता है, इसलिए \(x=-2\) डोमेन से बाहर है। अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता, इसलिए वे डोमेन में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी परिमेय फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए उसके हर को शून्य करके निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero because division by zero is undefined. Setting \(x+2=0\) gives \(x=-2\), so this value is excluded from the domain. For the other given values, the denominator is non-zero, so they belong to the domain. Exam tip: To find excluded values of a rational function, set its denominator equal to zero.
वास्तविक वर्गमूल के लिए इसके अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x+5\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -5\)। अतः डोमेन \([-5,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=-5\) पर फलन का मान \(0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में मूल के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x+5\ge 0\), which gives \(x\ge -5\). Therefore, the domain is \([-5,\infty)\). Option B is incorrect because the endpoint \(x=-5\) is included and gives \(f(-5)=0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
वास्तविक मान के लिए प्रत्येक वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x+2\ge 0\) से \(x\ge -2\), और \(6-x\ge 0\) से \(x\le 6\) प्राप्त होता है। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([-2,6]\) है, इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में दोनों असंगत अंतराल लिए गए हैं और विकल्प C में सिरों को गलत रूप से हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूलों वाले योग का प्रांत निकालते समय प्रत्येक मूल के लिए अलग-अलग \(\ge 0\) की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / For a real-valued function, the expression inside each square root must be non-negative. Thus, \(x+2\ge 0\) gives \(x\ge -2\), while \(6-x\ge 0\) gives \(x\le 6\). Their intersection is \([-2,6]\), so option A is correct. Option B uses the regions where both radicands cannot be simultaneously non-negative, and option C incorrectly excludes the endpoints. Exam tip: for a sum of square roots, impose a separate \(\ge 0\) condition on every radicand and take the intersection.
वास्तविक मान के लिए प्रत्येक वर्गमूल के अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x-2\ge 0\), अर्थात \(x\ge 2\), और \(x-8\ge 0\), अर्थात \(x\ge 8\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(x\ge 8\) है, इसलिए प्रांत \([8,\infty)\) होगा। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=8\) पर फलन परिभाषित है और 8 को शामिल किया जाना चाहिए। परीक्षा-टिप: कई मूलों वाले फलन का प्रांत सभी मूलों की शर्तों के प्रतिच्छेद से निर्धारित करें। / For a real-valued function, the expression inside each square root must be non-negative. Thus, \(x-2\ge 0\) gives \(x\ge 2\), and \(x-8\ge 0\) gives \(x\ge 8\). Their intersection is \(x\ge 8\), so the domain is \([8,\infty)\). Option D is incorrect because the function is defined at \(x=8\), so 8 must be included. Exam tip: For a function containing multiple radicals, find the domain by taking the intersection of all the resulting conditions.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। यहाँ \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\), इसलिए \((x+4)(x+2)\ge 0\) से \(x\le -4\) या \(x\ge -2\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \((-�infty,-4]\cup[-2,\infty)\) है। विकल्प B में दिया गया अंतराल वास्तव में व्यंजक को ऋणात्मक बनाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखकर चिन्ह-रेखा बनाइए। / The expression inside a square root must be non-negative. Since \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\), we require \((x+4)(x+2)\ge 0\), which gives \(x\le -4\) or \(x\ge -2\). Therefore, the domain is \((-�infty,-4]\cup[-2,\infty)\). Option B is incorrect because the expression is negative between the two roots. Exam tip: For a radical function, set the radicand greater than or equal to zero and test the intervals around its roots.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(2x-6\ge 0\)। अतः \(x\ge 3\), इसलिए प्रांत \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=3\) पर वर्गमूल का मान \(0\) होता है और 3 प्रांत में शामिल है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(2x-6\ge 0\). Thus, \(x\ge 3\), so the domain is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because \(x=3\) gives \(f(3)=0\), so 3 is included in the domain. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find its real domain.
