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दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \(f(-2)=2(-2)-1=-5\) और \(g(-2)=(-2)^2=4\)। इसलिए \((f+g)(-2)=-5+4=-1\)। विकल्प C में \(f(-2)\) का चिह्न गलत लेने की संभावना है, जबकि ऋणात्मक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए विकल्प D भी गलत है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक फलन का मान अलग-अलग निकालें, फिर उन्हें जोड़ें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(-2)=2(-2)-1=-5\) and \(g(-2)=(-2)^2=4\). Therefore, \((f+g)(-2)=-5+4=-1\). Option C results from incorrectly taking the sign of \(f(-2)\), while option D treats the square of \(-2\) as negative. Exam tip: evaluate each function separately before adding their values.
दो फलनों का गुणनफल (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। अतः f(3)=32+1=10 और g(3)=3-2=1। इसलिए (fg)(3)=10×1=10। 12 जोड़ने से प्राप्त होता है, जबकि यहाँ फलनों का गुणनफल लेना है। परीक्षा-युक्ति: (fg)(a) में पहले f(a) और g(a) निकालकर उनका गुणन करें। / The product of two functions is defined as (fg)(x)=f(x)g(x). Thus, f(3)=32+1=10 and g(3)=3-2=1, so (fg)(3)=10×1=10. The value 12 would result from adding the two function values, not multiplying them. Exam tip: For (fg)(a), evaluate both f(a) and g(a) first, then multiply.
फलनों के योग और अदिश गुणन के नियम से \((f+2g)(x)=f(x)+2g(x)\)। अतः \(3x^2+2(2x+1)=3x^2+4x+2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(2g(x)\) का गुणन ठीक से नहीं किया गया है। परीक्षा में पहले पूरे फलन को 2 से गुणा करके फिर पदों को जोड़ें। / Using the algebra of functions, \((f+2g)(x)=f(x)+2g(x)\). Therefore, \(3x^2+2(2x+1)=3x^2+4x+2\), so option A is correct. In option C, the factor 2 has not been properly distributed to \(g(x)\). In the exam, multiply the entire function \(g(x)\) by 2 before combining like terms.
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2\), जहाँ \(x\neq 3\)। अतः \((fg)(4)=4+2=6\)। विकल्प 1 केवल \(g(4)\) का मान है, जबकि विकल्प 4 यह मान लेने की गलती से मिलता है कि \(x=4\) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \((fg)(x)\) को \(f(x)g(x)\) के रूप में लिखें और मूल फलनों की डोमेन शर्त जाँचें। / The product of two real-valued functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2\), with the restriction \(x\neq 3\). Therefore, \((fg)(4)=4+2=6\). Option 1 is only the value of \(g(4)\), while option 4 incorrectly treats \(x=4\) as outside the domain. Exam tip: write \((fg)(x)=f(x)g(x)\) first and check the original domain restriction before cancelling factors.
फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((x^2+x+1)-(x^2-x+1)=x^2+x+1-x^2+x-1=2x\)। विकल्प B में घटाए जा रहे फलन के \(-x\) पद का चिह्न बदलना भूल गया है। परीक्षा-युक्ति: पूरे \(g(x)\) के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((x^2+x+1)-(x^2-x+1)=x^2+x+1-x^2+x-1=2x\). Option B results from failing to change the sign of the \(-x\) term when subtracting the entire function \(g(x)\). Exam tip: when a function is preceded by a minus sign, change the sign of every term inside its brackets.
\((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=2\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए। इसलिए यह एक स्थिर फलन है और इसका परिसर केवल \(\{2\}\) है। \(\{0\}\) सही नहीं है, क्योंकि घटाने पर स्थिर पदों का अंतर \(1-(-1)=2\) होता है। परीक्षा-युक्ति: दो फलनों के अंतर का परिसर ज्ञात करने से पहले \((g-f)(x)\) को सरल करें। / \((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=2\) for every real \(x\). Thus, the difference is a constant function, whose range is the singleton set \(\{2\}\). \(\{0\}\) is incorrect because the constant terms give \(1-(-1)=2\). Exam tip: simplify \((g-f)(x)\) completely before determining its range.
योग फलन को बिंदुवार जोड़ा जाता है: \\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(5-2x)=0\\)। यहाँ \\(2x\\) और \\(-2x\\), तथा \\(-5\\) और \\(5\\) परस्पर निरस्त हो जाते हैं, इसलिए परिणाम शून्य फलन है। \\(4x-10\\) केवल \\(f(x)\\) को दो बार लेने पर मिलता है, अतः वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विपरीत पदों को पहले पहचानकर तुरंत काट दें। / The sum of two functions is defined pointwise: \\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(5-2x)=0\\)। The terms \\(2x\\) and \\(-2x\\), as well as \\(-5\\) and \\(5\\), cancel each other, so the result is the zero function. \\(4x-10\\) would result from taking \\(f(x)\\) twice, not from adding the given functions. Exam tip: look for opposite terms before expanding further.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a^2+2a\)। विकल्प B और C में \(x\) और \(a\) का अनुचित मिश्रण है, जबकि विकल्प D योग के बजाय अलग प्रकार का व्यंजक देता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का \(a\) पर मान निकालते समय प्रत्येक \(x\) के स्थान पर \(a\) रखें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a^2+2a\). Options B and C incorrectly mix \(x\) and \(a\), while option D does not represent the sum. Exam tip: when evaluating a function at \(a\), replace every occurrence of \(x\) with \(a\).
फलनों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\)। अतः \((ff)(x)=(x-2)(x-2)=(x-2)^2=x^2-4x+4\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(2f(x)\) के बराबर है, गुणनफल के नहीं। परीक्षा में \((ff)(x)\) को \(f(f(x))\) से अलग पहचानें; \(f(f(x))\) फलनों का संयोजन होता है। / By the definition of the product of functions, \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\). Therefore, \((ff)(x)=(x-2)(x-2)=(x-2)^2=x^2-4x+4\), so option A is correct. Option B represents \(2f(x)\), not the product \(f(x)f(x)\). In an exam, distinguish \((ff)(x)\) from \(f(f(x))\), which denotes composition.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार (f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x)। अतः (f+f)(x)=2(x²+1)=2x²+2, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में केवल स्थिरांक 1 को दो बार जोड़ा गया है, जबकि पूरे फलन को दो बार जोड़ना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: समान फलन का योग उसके मान का दो गुना होता है। / By the definition of the sum of functions, (f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x). Therefore, (f+f)(x)=2(x²+1)=2x²+2, so option A is correct. Option B incorrectly doubles only the constant term instead of the entire function. Exam tip: the sum of a function with itself is twice the function.
फलनों के गुणनफल के लिए ((fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x)। विकल्प B में गुणन के बजाय जोड़ किया गया है, जबकि विकल्प C और D में गुणांक का सही वितरण नहीं हुआ। परीक्षा में ((fg)(x) को (f(x)+g(x)) न समझें। / For the product of two functions, ((fg)(x)=f(x)g(x). Hence, ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x). Option B adds the functions instead of multiplying them, while options C and D do not distribute the constant correctly. In an exam, do not confuse ((fg)(x) with (f(x)+g(x)).
फलनों का अंतर ((g-f)(x)=g(x)-f(x)) होता है। इसलिए ((g-f)(x)=\(x^2+4\)-\(x^2-4\)=x-2+4-x-2+4=8)। \(x^2\) के समान पद कट जाते हैं, इसलिए विकल्प B और C सही नहीं हैं; ऋणात्मक मान विकल्प D भी गलत है। परीक्षा-युक्ति: घटाव में दूसरे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / The difference of two functions is defined by ((g-f)(x)=g(x)-f(x)). Thus, ((g-f)(x)=\(x^2+4\)-\(x^2-4\)=x-2+4-x-2+4=8). The like terms \(x^2\) cancel, so options B and C are incorrect, while option D has the wrong sign. Exam tip: when subtracting a function, change the signs of every term in the function being subtracted.
फलनों के बीजीय संयोजन के अनुसार \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\)। अतः \(2x^3-(2x^3-1)=2x^3-2x^3+1=1\)। विकल्प B में ऋण चिह्न का प्रभाव गलत लिया गया है। परीक्षा में कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक के अंदर सभी चिह्न बदलना याद रखें। / For the algebraic combination of functions, \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\). Therefore, \(2x^3-(2x^3-1)=2x^3-2x^3+1=1\). Option B results from handling the negative sign incorrectly. In an exam, remember that a minus sign before brackets changes the signs of all terms inside.
दो फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36\)। विकल्प B में योग-संबंधी रूप लिया गया है, जबकि यहाँ गुणनफल है। परीक्षा-टिप: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) सर्वसमिका पहचानें। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36\). Option B incorrectly suggests a sum-of-squares pattern, whereas this is a product of conjugate binomials. Exam tip: recognize the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
पहले \(f(2)=2^2-1=3\) और \(g(2)=2(2)+1=5\) निकालते हैं। अतः \((fg)(2)=f(2)g(2)=3\times5=15\)। यहाँ \((fg)\) फलनों के गुणनफल को दर्शाता है, संयोजन को नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) और \((f\circ g)(x)\) के बीच का अंतर अवश्य जाँचें। / First, \(f(2)=2^2-1=3\) and \(g(2)=2(2)+1=5\). Therefore, \((fg)(2)=f(2)g(2)=3\times5=15\). Here, \((fg)\) denotes the product of the two functions, not their composition. In an exam, carefully distinguish \((fg)(x)\) from \((f\circ g)(x)\).
फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-(x+1)\)। अब \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=2(-2)^2=8\) और \(g(-2)=-2+1=-1\), इसलिए \((f-g)(-2)=8-(-1)=9\)। विकल्प 7 में \(g(-2)\) के ऋणात्मक मान का सही ढंग से ध्यान नहीं रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालें, फिर घटाएँ। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-(x+1)\). At \(x=-2\), \(f(-2)=2(-2)^2=8\) and \(g(-2)=-2+1=-1\). Therefore, \((f-g)(-2)=8-(-1)=9\). The distractor 7 results from mishandling the negative value of \(g(-2)\). Exam tip: evaluate both functions separately before subtracting.
\((fg)(x)\) का अर्थ यहाँ दोनों फलनों का गुणनफल है: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\)। विकल्प D, \(f(x)+g(x)=2x-3\), यानी योगफल है, गुणनफल नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन होता है। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product of the two functions: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\). Option D, \(2x-3\), is \(f(x)+g(x)\), the sum rather than the product. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\), which means a product, from \(f(g(x))\), which means composition.
दो फलनों का योग बिंदुवार जोड़ा जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-3)=x^2+2x-2\)। विकल्प B में \(2x\) का चिन्ह गलत है और स्थिर पद भी सही नहीं है। परीक्षा में समान घात वाले पदों को अलग-अलग जोड़कर चिन्हों की जाँच करें। / The sum of two functions is found by adding their values pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-3)=x^2+2x-2\). Option B has the wrong sign for the linear term and an incorrect constant term. In exams, combine like powers separately and check the signs carefully.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(2)=f(2)+g(2)=2^2+4=4+4=8\)। विकल्प B केवल \(f(2)\) का मान दर्शाता है, उसमें \(g(2)\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: \((f+g)(a)\) में दोनों फलनों के \(a\) पर मान जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(2)=f(2)+g(2)=2^2+4=4+4=8\). Option B gives only \(f(2)\) and does not include \(g(2)\). Exam tip: For \((f+g)(a)\), find the values of both functions at \(a\) and add them.
