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graph transformations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
मूल परवलय \(y=x^2\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। फलन में \(+2\) जुड़ने से पूरा ग्राफ 2 इकाई ऊपर खिसकता है, इसलिए नया शीर्ष \((0,2)\) है। विकल्प C में 2 को x-निर्देशांक माना गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The basic parabola \(y=x^2\) has its vertex at \((0,0)\). Adding \(+2\) shifts the entire graph 2 units upward, so the new vertex is \((0,2)\). Option C incorrectly treats 2 as the x-coordinate. Exam tip: for \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\).
जब \(x\in[2,3)\), तब \(x+1\in[3,4)\) होगा। इस पूरे अंतराल में सबसे बड़ा पूर्णांक फलन \(\left\lfloor x+1\right\rfloor=3\) रहता है, इसलिए \(y=3\)। विकल्प 4 गलत है क्योंकि \(x=3\) इस अंतराल में शामिल नहीं है। परीक्षा-टिप: \([a,b)\) में बायाँ सिरा शामिल और दायाँ सिरा बहिष्कृत होता है। / For \(x\in[2,3)\), we have \(x+1\in[3,4)\). The greatest integer less than or equal to every value of \(x+1\) in this interval is 3, so \(y=3\). Option 4 is incorrect because \(x=3\) is excluded from the interval. Exam tip: in \([a,b)\), the left endpoint is included and the right endpoint is excluded.
ग्राफ को 4 इकाई बाईं ओर खिसकाने के लिए मूल फलन में \(x\) के स्थान पर \(x+4\) रखा जाता है, जबकि 5 इकाई ऊपर खिसकाने के लिए पूरे फलन में \(+5\) जोड़ा जाता है। इसलिए नया फलन \(y=\sqrt{x+4}+5\) है। विकल्प B में \(x-4\) होने के कारण ग्राफ दाईं ओर खिसकता है। परीक्षा-युक्ति: अंदर का \(+c\) क्षैतिज स्थानांतरण को विपरीत दिशा में और बाहर का \(+c\) ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण को उसी दिशा में दर्शाता है। / To shift the graph 4 units left, replace \(x\) by \(x+4\) inside the function. To shift it 5 units upward, add \(5\) outside the function. Thus, the required function is \(y=\sqrt{x+4}+5\). In option B, \(x-4\) shifts the graph 4 units right instead. Exam tip: a change inside the function acts in the opposite horizontal direction, while a change outside acts in the same vertical direction.
ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट उस मान पर निर्धारित होता है जहाँ फलन का हर शून्य हो जाता है। यहाँ \(x-5=0\), इसलिए \(x=5\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है। \(y=2\) क्षैतिज आसिम्प्टोट है, इसलिए वह सही उत्तर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x-a}+b\) के लिए ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट \(x=a\) और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=b\) होता है। / A vertical asymptote occurs where the denominator becomes zero. Here, \(x-5=0\), so the vertical asymptote is \(x=5\). The line \(y=2\) is the horizontal asymptote, not the vertical one. Exam tip: for \(\frac{1}{x-a}+b\), the vertical asymptote is \(x=a\) and the horizontal asymptote is \(y=b\).
वर्गमूल के लिए \\(x+1\\ge 0\\) और \\(\\sqrt{x+1}\\ge 0\\) होता है। इसलिए \\(2\\sqrt{x+1}\\ge 0\\), अतः \\(f(x)=2\\sqrt{x+1}-5\\ge -5\\)। जब \\(x=-1\\), तब \\(f(x)=-5\\), और \\(x\\) बढ़ने पर फलन के मान अनंत तक बढ़ते हैं। इसलिए परास \\([-5,\\infty)\\) है। विकल्प C केवल वर्गमूल के मूल पर प्रभाव को दर्शाता है और \\(-5\\) के स्थानांतरण को अनदेखा करता है। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल वाले फलन का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करें, फिर ऊर्ध्व स्थानांतरण लागू करें। / For the square root to be defined, \\(x+1\\ge 0\\), and \\(\\sqrt{x+1}\\ge 0\\). Thus, \\(2\\sqrt{x+1}\\ge 0\\), so \\(f(x)=2\\sqrt{x+1}-5\\ge -5\\). At \\(x=-1\\), the function equals \\(-5\\), and as \\(x\\) increases, the function values grow without bound. Therefore, the range is \\([-5,\\infty)\\). Option C ignores the downward shift by \\(-5\\). Exam tip: Find the minimum value of the square-root part first, then account for any vertical translation.
मूल फलन \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x-5|\) आलेख को 5 इकाई दाईं ओर और बाहर का \(-2\) उसे 2 इकाई नीचे खिसकाता है। इसलिए नया शीर्ष \((5,-2)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The basic function \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(y=|x-5|-2\), the graph shifts 5 units to the right and 2 units downward, so the vertex is \((5,-2)\). Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is \((h,k)\).
\(f(x)=3|x-2|\) में बाहरी गुणांक 3, प्रत्येक \(y\)-मान को 3 गुना कर देता है। इसलिए आलेख ऊर्ध्व दिशा में 3 के गुणक से खिंचता है, जबकि शीर्षबिंदु \((2,0)\) अपरिवर्तित रहता है। विकल्प B में ऊर्ध्व संपीड़न कहा गया है, जो तब होता जब गुणांक 0 और 1 के बीच होता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर का गुणांक ऊर्ध्व परिवर्तन करता है, जबकि मॉड्यूलस के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(f(x)=3|x-2|\), the outside coefficient 3 multiplies every \(y\)-value by 3. Hence the graph is vertically stretched by a factor of 3, while its vertex remains at \((2,0)\). Option B describes vertical compression, which occurs when the outside coefficient lies between 0 and 1. Exam tip: a coefficient outside the modulus causes vertical scaling, whereas a change inside the modulus causes horizontal shifting.
मूल ग्राफ \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(f(x)=|x-2|+1\) में \(x-2\) ग्राफ को 2 इकाई दाईं ओर और बाहर का \(+1\) उसे 1 इकाई ऊपर खिसकाता है। इसलिए शीर्ष \((2,1)\) है। विकल्प D में निर्देशांकों का क्रम उलट दिया गया है। परीक्षा टिप: \(y=|x-h|+k\) का शीर्ष हमेशा \((h,k)\) होता है। / The basic graph \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(f(x)=|x-2|+1\), \(x-2\) shifts the graph 2 units to the right, while the outside \(+1\) shifts it 1 unit upward. Therefore, the vertex is \((2,1)\). Option D reverses the coordinate order. Exam tip: the vertex of \(y=|x-h|+k\) is \((h,k)\).
\(f(x)=x^3-2\) में \(-2\) पूरे फलन के बाहर घटाया गया है, इसलिए प्रत्येक \(y\)-मान 2 कम हो जाता है। अतः मूल आलेख \(y=x^3\) 2 इकाई नीचे खिसकता है। यह क्षैतिज स्थानांतरण नहीं है; क्षैतिज बदलाव के लिए \(x\) के साथ परिवर्तन किया जाता है, जैसे \((x-2)^3\)। परीक्षा-टिप: बाहर जोड़ा या घटाया गया स्थिरांक आलेख को क्रमशः ऊपर या नीचे स्थानांतरित करता है। / In \(f(x)=x^3-2\), the constant \(-2\) is applied outside the function, so every \(y\)-value decreases by 2. Therefore, the graph of \(y=x^3\) shifts 2 units downward. This is not a horizontal shift; horizontal changes occur inside the input, such as in \((x-2)^3\). Exam tip: a constant added or subtracted outside a function shifts its graph vertically up or down, respectively.
A. ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचा हुआ/Vertically stretched
Explanation
Simple Explanation
f(x)=2|x| में प्रत्येक x के लिए y का मान |x| की तुलना में दोगुना हो जाता है। इसलिए ग्राफ x-अक्ष से दूर फैलता है और ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचा हुआ दिखाई देता है। यह क्षैतिज खिसकाव नहीं है, क्योंकि x के अंदर कोई परिवर्तन नहीं हुआ है। परीक्षा-युक्ति: y=a|x| में |a|>1 होने पर ऊर्ध्वाधर खिंचाव और 0<|a|<1 होने पर ऊर्ध्वाधर संपीड़न होता है। / In f(x)=2|x|, the y-value is doubled for every x compared with y=|x|. Therefore, the graph moves farther from the x-axis and is vertically stretched. It is not a horizontal shift because the expression inside the modulus has not changed. Exam tip: in y=a|x|, |a|>1 causes a vertical stretch, while 0<|a|<1 causes a vertical compression.
मूल फलन \(y=x^2\) में \(x\) के स्थान पर \(x-4\) रखने से आलेख क्षैतिज रूप से 4 इकाई दाईं ओर खिसकता है। इसलिए सही उत्तर A है। \(x+4\) होने पर आलेख 4 इकाई बाईं ओर जाता, जबकि बाहर \(+4\) या \(-4\) होने पर ऊर्ध्वाधर खिसकाव होता। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-h)^2\) का आलेख \(y=x^2\) से \(h\) इकाई दाईं ओर खिसकता है। / Replacing \(x\) by \(x-4\) in the parent function \(y=x^2\) shifts the graph horizontally 4 units to the right, so option A is correct. If the expression were \(x+4\), the graph would shift 4 units to the left; a constant added outside the square would cause a vertical shift. Exam tip: the graph of \(y=(x-h)^2\) is the graph of \(y=x^2\) shifted \(h\) units to the right.
मूल ग्राफ \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x+2|\) ग्राफ को 2 इकाई बाईं ओर और \(-3\) उसे 3 इकाई नीचे ले जाता है, इसलिए नया शीर्ष \((-2,-3)\) है। परीक्षा टिप: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है; अतः \(|x+2|=|x-(-2)|\)। / The basic graph \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). The term \(|x+2|=|x-(-2)|\) shifts it 2 units left, and \(-3\) shifts it 3 units down. Therefore, the vertex is \((-2,-3)\). Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is \((h,k)\).
यदि \(y=x^3\) के प्रत्येक \(y\)-मान में 1 जोड़ दिया जाए, तो नया फलन \(y=x^3+1\) मिलता है। इसलिए मूल आलेख का प्रत्येक बिंदु 1 इकाई ऊपर चला जाता है और आलेख 1 इकाई ऊपर खिसकता है। परीक्षा-युक्ति: बाहर जोड़ी गई स्थिर संख्या ऊर्ध्वाधर विस्थापन कराती है, जबकि \(f(x)=g(x-a)\) से आलेख दाईं ओर खिसकता है। / Adding 1 outside the expression changes every output value by 1, so \(y=x^3+1\) is obtained by moving each point of \(y=x^3\) one unit upward. Thus the graph shifts 1 unit up, not horizontally. Exam tip: a constant added outside a function causes a vertical shift, whereas \(g(x-a)\) shifts a graph to the right.
\(f(x)=x+1\) में मूल फलन \(y=x\) के प्रत्येक \(y\)-मान में 1 जुड़ता है, जबकि \(x\)-मान वही रहता है। इसलिए पूरा आलेख 1 इकाई ऊपर खिसकता है। ध्यान रखें: \(f(x)+k\) आलेख को ऊपर और \(f(x)-k\) नीचे ले जाता है; क्षैतिज स्थानांतरण के लिए कोष्ठक के अंदर \(x\) बदलता है। / In \(f(x)=x+1\), 1 is added to every \(y\)-value of the original function \(y=x\), while the \(x\)-values remain unchanged. Therefore, the entire graph shifts 1 unit upward. Exam tip: \(f(x)+k\) shifts a graph upward, whereas \(f(x-k)\) produces a horizontal shift to the right.
