Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिए गए प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=x^2\) निकालने पर मान \(4,1,0,1,4\) मिलते हैं। परास में केवल अलग-अलग \(y\)-मान लिखे जाते हैं, इसलिए परास \(\{0,1,4\}\) है। विकल्प B दिए गए \(x\)-मानों का समुच्चय है, जो संबंध का प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए पहले दिए गए प्रांत के प्रत्येक मान पर फलन लागू करें और दोहराए गए परिणामों को एक बार ही लिखें। / For each given value of \(x\), calculating \(y=x^2\) gives \(4,1,0,1,4\). The range contains only distinct \(y\)-values, so it is \(\{0,1,4\}\). Option B is the set of given \(x\)-values, which is the domain, not the range. Exam tip: Apply the rule to every domain value and list repeated output values only once.
दिए गए प्रत्येक domain मान के लिए \(y=\frac{x+1}{2}\) निकालते हैं: \(x=1\) पर \(y=1\), \(x=3\) पर \(y=2\), \(x=5\) पर \(y=3\), और \(x=7\) पर \(y=4\)। इसलिए range \(\{1,2,3,4\}\) है। विकल्प B domain है, range नहीं। परीक्षा-युक्ति: function की range पाने के लिए दिए गए input मानों पर प्राप्त सभी distinct output लिखें। / Substitute each domain value into \(y=\frac{x+1}{2}\): for \(x=1\), \(y=1\); for \(x=3\), \(y=2\); for \(x=5\), \(y=3\); and for \(x=7\), \(y=4\). Hence, the range is \(\{1,2,3,4\}\). Option B is the domain, not the range. Exam tip: to find a function’s range, list all distinct output values obtained from the given inputs.
किसी फलन का परिसर उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय होता है जो फलन के द्वारा प्राप्त होते हैं, अर्थात क्रमित युग्मों के दूसरे घटक। यहाँ \(1\mapsto a\), \(2\mapsto b\) और \(3\mapsto b\), इसलिए परिसर \(\{a,b\}\) है। \(\{a,b,c,d\}\) सहपरिसर (codomain) है, लेकिन \(c\) और \(d\) वास्तव में प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: range निकालने के लिए सभी युग्मों के दूसरे घटक लिखकर दोहराए गए मान को केवल एक बार रखें। / The range of a function is the set of all actual output values, כלומר the second components of its ordered pairs. Here, \(1\mapsto a\), \(2\mapsto b\), and \(3\mapsto b\), so the range is \(\{a,b\}\). The set \(\{a,b,c,d\}\) is the codomain, but \(c\) and \(d\) are not attained by the function. Exam tip: To find the range, collect the second components of all ordered pairs and list repeated values only once.
किसी फलन के प्रांत (domain) में सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटक लिए जाते हैं। दिए गए युग्मों के प्रथम घटक \(a,b,c,d\) हैं, इसलिए \(A=\{a,b,c,d\}\)। विकल्प B केवल फलन की range है, जबकि विकल्प C पूरा फलन और विकल्प D दोनों प्रकार के अवयवों का अनावश्यक मिश्रण है। परीक्षा-युक्ति: domain के लिए प्रथम घटक और range के लिए द्वितीय घटक देखें। / The domain of a function is the set of first components of all its ordered pairs. The first components here are \(a,b,c,d\), so \(A=\{a,b,c,d\}\). Option B is only the range, option C is the complete set of ordered pairs, and option D incorrectly combines domain and range elements. Exam tip: identify first components for the domain and second components for the range.
यदि \(f:\{1,2,3,4\}\to\{0,1\}\) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि \(x\) सम होने पर \(f(x)=0\) और \(x\) विषम होने पर \(f(x)=1\), तो \(f\) का परिसर क्या है?
परिभाषा के अनुसार, सम संख्याओं \(2\) और \(4\) के लिए \(f(x)=0\), जबकि विषम संख्याओं \(1\) और \(3\) के लिए \(f(x)=1\)। इसलिए फलन के सभी प्राप्त मानों का समुच्चय \(\{0,1\}\) है। विकल्प \(D\) परिसर नहीं, बल्कि फलन का प्रांत है। परीक्षा-युक्ति: परिसर ज्ञात करने के लिए प्रांत के प्रत्येक अवयव के फलन-मान लिखकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / By definition, the even inputs \(2\) and \(4\) give \(f(x)=0\), while the odd inputs \(1\) and \(3\) give \(f(x)=1\). Hence, the set of all output values is \(\{0,1\}\). Option D is the domain, not the range. Exam tip: To find a range, evaluate the function at every domain element and list only the distinct output values.
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); परास \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\)/Domain \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); Range \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\)
Explanation
Simple Explanation
हर के शून्य न होने की शर्त से \(x^2-1\ne0\), अतः \(x\ne\pm1\)। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) है। परास के लिए \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\) लेने पर \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। चूँकि \(x^2\ge0\) और \(y\ne1\), इसलिए \(y\le-1\) या \(y>1\) होना चाहिए। \(y=-1\), \(x=0\) पर प्राप्त होता है, लेकिन \(y=1\) कभी प्राप्त नहीं होता। विकल्प B में प्रांत से निकाले गए मानों को गलत ढंग से परास से निकाले गए मान मान लिया गया है। परीक्षा टिप: परिमेय फलनों में पहले हर से प्रांत ज्ञात करें, फिर आउटपुट के लिए अलग से शर्त जाँचें। / The denominator must be non-zero: \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). Hence, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). For the range, let \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\). Then \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\). Since \(x^2\ge0\) and \(y\ne1\), we must have \(y\le-1\) or \(y>1\). The value \(y=-1\) occurs at \(x=0\), whereas \(y=1\) is never attained. Option B incorrectly treats excluded domain values as excluded range values. Exam tip: for rational functions, find denominator restrictions first, then determine range separately.
समुच्चय \(A\) में विषम संख्याएँ \(1,3\) हैं, और उनके लिए \((-1)^x=-1\) मिलता है। सम संख्याएँ \(2,4\) हैं, और उनके लिए \((-1)^x=1\) मिलता है। अतः सभी निवेशों के प्रतिम्बों का समुच्चय \(\{-1,1\}\) है। केवल \(\{1\}\) या केवल \(\{-1\}\) लेने पर क्रमशः सम या विषम निवेश छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \((-1)^x\) में विषम घात पर \(-1\) और सम घात पर \(1\) आता है। / The odd elements of \(A\), namely \(1\) and \(3\), give \((-1)^x=-1\). The even elements, \(2\) and \(4\), give \((-1)^x=1\). Therefore, the set of all output values is \(\{-1,1\}\). The choices \(\{1\}\) and \(\{-1\}\) omit the outputs from odd and even inputs, respectively. Exam tip: \((-1)^x\) equals \(-1\) for an odd exponent and \(1\) for an even exponent.
यदि \(f:\{0,1,2,3\}\to\{0,1,2,3\}\) को \(f(x)\) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ \(f(x)\), \(x\) को 3 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
A. परिसर \(\{0,1,2\}\) है/The range is \(\{0,1,2\}\)
Explanation
Simple Explanation
\(0,1,2,3\) को 3 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः \(0,1,2,0\) प्राप्त होते हैं। इसलिए फलन के वास्तविक मानों का समुच्चय, अर्थात् परिसर, \(\{0,1,2\}\) है। \(f(0)=f(3)=0\) होना फलन के विरुद्ध नहीं है; अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है, पर प्रत्येक इनपुट का आउटपुट एकमात्र होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: परिसर ज्ञात करने के लिए कोडोमेन नहीं, बल्कि सभी इनपुटों से प्राप्त वास्तविक आउटपुट लिखें। / Dividing \(0,1,2,3\) by 3 gives the remainders \(0,1,2,0\), respectively. Hence the set of actual values of the function, or its range, is \(\{0,1,2\}\). The equality \(f(0)=f(3)=0\) does not violate the definition of a function; different inputs may have the same output, provided each input has exactly one output. Exam tip: To find the range, list the actual outputs rather than simply copying the codomain.
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x-2>0) होना चाहिए। परीक्षा में हर वाले मूल में शून्य भी हटाएं। / The denominator has \(\sqrt{x-2}\), so (x-2>0) is required. In exams, also exclude zero in a denominator.
अंश के लिए \(x-3\ge 0\) और हर के लिए \(x^2-25>0\) चाहिए। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लेने पर (\(5,\infty\)) मिलता है। / The numerator needs \(x-3\ge 0\), and the denominator needs \(x^2-25>0\). Intersecting both conditions gives (\(5,\infty\)).
वर्गमूल के अंदर \(5-2x\ge 0\) होना चाहिए। चिन्ह बदलते समय असमता की दिशा ध्यान रखें। / The radicand must satisfy \(5-2x\ge 0\). Remember to reverse the inequality when dividing by a negative number.
(f(x)=1-\frac{18}{x-2+9}) है और \(x^2+9\ge 9\) है। इसलिए न्यूनतम मान (-1) मिलता है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Here (f(x)=1-\frac{18}{x-2+9}), and \(x^2+9\ge 9\). So the minimum value is (-1), and (1) is not attained.
हर (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) शून्य नहीं हो सकता। हर के शून्य देने वाले मान हमेशा प्रांत से हटते हैं। / The denominator (x-2-x-6=(x-3)(x+2)) cannot be zero. Values that make the denominator zero are excluded from the domain.
हर में वर्गमूल है इसलिए (|x-2|-3>0) चाहिए। इससे (|x-2|>3) और प्रांत (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)) मिलता है। / The square root is in the denominator, so (|x-2|-3>0) is needed. This gives (|x-2|>3), so the domain is (\(-\infty,-1\)\cup\(5,\infty\)).
हर (x-2+4x+4=(x+2)2) है इसलिए (x=-2) वर्जित है। पूर्ण वर्ग को पहचानना समय बचाता है। / The denominator is (x-2+4x+4=(x+2)2), so (x=-2) is excluded. Recognizing perfect squares saves time.
\(y=\frac{2x+7}{3x-4}\) से \(x=\frac{4y+7}{3y-2}\) मिलता है। इसलिए \(3y-2\ne 0\), अतः \(y\ne \frac{2}{3}\) होगा। / From \(y=\frac{2x+7}{3x-4}\), we get \(x=\frac{4y+7}{3y-2}\). Hence \(3y-2\ne 0\), so \(y\ne \frac{2}{3}\).
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-4>0\) चाहिए। हर के कारण बराबरी वाले मान शामिल नहीं होंगे। / The square root is in the denominator, so \(x^2-4>0\) is required. Equality values are not included because of the denominator.
वास्तविक वर्गमूल के लिए इसके अंतर्गत आने वाली राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \((x-1)(x+4)\ge 0\)। मूल-बिंदु \(x=-4\) और \(x=1\) हैं; चिन्ह-जाँच से गुणनफल \(x\le -4\) या \(x\ge 1\) पर धनात्मक अथवा शून्य होता है। अतः प्रांत \((- infty,-4]\cup[1,\infty)\) है। विकल्प B में बीच का अंतराल लिया गया है, जहाँ गुणनफल ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले radicand \(\ge 0\) रखकर critical points पर sign chart बनाइए। / For a real square root, the radicand must be non-negative, so \((x-1)(x+4)\ge 0\). The critical points are \(-4\) and \(1\). A sign check shows that the product is non-negative for \(x\le -4\) or \(x\ge 1\), giving the domain \((- infty,-4]\cup[1,\infty)\). Option B is incorrect because the product is negative between the two roots. Exam tip: for a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) and use a sign chart at the critical points.
हर में \(\sqrt{9-x^2}\) है इसलिए \(9-x^2>0\) चाहिए। हर में मूल हो तो सख्त असमता लगती है। / The denominator has \(\sqrt{9-x^2}\), so \(9-x^2>0\) is required. A square root in the denominator gives a strict inequality.
हर \(|x|-3\ne 0\) चाहिए इसलिए (|x|=3) के मान हटेंगे। निरपेक्ष मान में दोनों चिह्नों वाले हल लें। / The denominator must satisfy \(|x|-3\ne 0\), so values from (|x|=3) are excluded. For absolute value, take both signs.
वर्गमूल के लिए \(|x|-2\ge 0\) अर्थात \(|x|\ge 2\) चाहिए। निरपेक्ष मान की असमता को संख्या रेखा पर देखें। / The radicand needs \(|x|-2\ge 0\), so \(|x|\ge 2\). View absolute value inequalities on a number line.
(f(x)=(x-2)2+3) इसलिए न्यूनतम मान (3) है। वर्ग पूर्ण करना परिसर निकालने की तेज विधि है। / Since (f(x)=(x-2)2+3), the minimum value is (3). Completing the square is a fast range method.
(f(x)=-(x-3)2+4) इसलिए अधिकतम मान (4) है। ऋणात्मक वर्ग वाले परवलय में ऊपर की सीमा देखें। / Here (f(x)=-(x-3)2+4), so the maximum value is (4). For a negative square parabola, look for the upper bound.
((x+1)2\ge 0) इसलिए न्यूनतम मान (-9) है। वर्ग पद का सबसे छोटा मान हमेशा (0) होता है। / Since ((x+1)2\ge 0), the minimum value is (-9). The smallest value of a square term is always (0).
क्योंकि 8x-2\ge 09, इसलिए 8x-2+1\ge 19 और इस कारण 80<f(x)\le 19। अधिकतम मान 819 तब मिलता है जब 8x=09। दूसरी ओर, 8x9 का परिमाण बढ़ने पर 8f(x)9 शून्य के निकट पहुँचता है, लेकिन हर वास्तविक 8x9 के लिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए परिसर 8(0,1]\u00029 है; विकल्प B में 809 को शामिल करना गलत है। परीक्षा-युक्ति: हर के न्यूनतम और अधिकतम संभव मान से परास निर्धारित करें। / Since 8x-2\ge 09, we have 8x-2+1\ge 19, so 80<f(x)\le 19. The maximum value 819 occurs at 8x=09. As 8|x| increases, 8f(x) approaches zero, but it never equals zero for any real 8x9. Hence the range is 8(0,1]\u00029; option B is incorrect because it includes zero. Exam tip: determine the range by finding the possible minimum and maximum values of the denominator.
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}) है इसलिए मान (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। सीमा मान और प्राप्त मान अलग-अलग जांचें। / Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+1}), so values start at (0) and stay below (1). Check limiting values and attained values separately.
\(y=\frac{x+2}{x-3}\) से \(x=\frac{3y+2}{y-1}\) मिलता है इसलिए \(y\ne 1\)। परिसर में वह (y) हटता है जिससे (x) परिभाषित न हो। / From \(y=\frac{x+2}{x-3}\), \(x=\frac{3y+2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). The range excludes the (y)-value that makes (x) undefined.
\(y=\frac{2x-5}{x+4}\) हल करने पर \(x=\frac{-5-4y}{y-2}\) मिलता है। इसलिए (y=2) परिसर में नहीं है। / Solving \(y=\frac{2x-5}{x+4}\) gives \(x=\frac{-5-4y}{y-2}\). Hence (y=2) is not in the range.
\(|x-4|\ge 0\) इसलिए न्यूनतम मान (2) है। निरपेक्ष मान में नीचे की सीमा तुरंत मिलती है। / Since \(|x-4|\ge 0\), the minimum value is (2). Absolute value expressions quickly reveal the lower bound.
विकल्प A में \(x^2\ge0\) रखने पर \(t=x^2\) के लिए \(f=\frac{t}{1+t}\) मिलता है। यह 0 से शुरू होकर 1 के निकट जाता है, पर 1 नहीं बनता। विकल्प C का परास \((0,1]\) है। परीक्षा में हर के शून्य होने की जाँच पहले करें। / For option A, put \(t=x^2\ge0\); then \(f=\frac{t}{1+t}\). It starts at 0 and approaches 1 without attaining it, so the range is \([0,1)\). Option C instead has range \((0,1]\). Exam tip: first check whether any denominator can be zero.
A. प्रांत \([1,\infty\)), परिसर \([3,\infty\))/Domain \([1,\infty\)), range \([3,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
\(x-1\ge 0\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) से उत्तर मिलता है। अंदर का प्रतिबंध प्रांत देता है और बाहर का जोड़ परिसर बदलता है। / The conditions \(x-1\ge 0\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\) give the answer. The inside restriction gives the domain, and the outside shift changes the range.
A. प्रांत (\(-\infty,4]\), परिसर \([1,\infty\))/Domain (\(-\infty,4]\), range \([1,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
\(4-x\ge 0\) से \(x\le 4\) और \(\sqrt{4-x}\ge 0\) से परिसर \([1,\infty\)) है। सीमा पर बराबरी जांचना जरूरी है। / From \(4-x\ge 0\), \(x\le 4\), and \(\sqrt{4-x}\ge 0\), the range is \([1,\infty\)). Checking equality at endpoints is important.
हर में \(\sqrt{x+2}\) है इसलिए (x+2>0) चाहिए। बाहर जोड़ा गया (5) प्रांत को नहीं बदलता। / The denominator contains \(\sqrt{x+2}\), so (x+2>0) is required. The outside addition (5) does not change the domain.
हर (x-2-6x+10=(x-3)2+1) है इसलिए कम से कम (1) है। अतः व्युत्क्रम (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / The denominator (x-2-6x+10=(x-3)2+1) is at least (1). Therefore the reciprocal is greater than (0) and at most (1).
हर का न्यूनतम मान (4) है इसलिए अधिकतम फलन मान \(\frac{1}{4}\) है। बड़े हर पर फलन (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / The denominator has minimum value (4), so the maximum function value is \(\frac{1}{4}\). For large denominators the function approaches (0) but never becomes (0).
वास्तविक मानों के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(-3\le x\le 3\\)। अतः \(\sqrt{9-x^2}\) का मान \[0,3\] में होता है। यदि \(y=\\sqrt{9-x^2}\), तो \(f(x)=2-y\), इसलिए इसका परास \\[2-3,2-0\\]=\\[-1,2\\] है। विकल्प B में घटाने के बजाय जोड़ने जैसा परिणाम आता है; endpoints को शामिल करना न भूलें। / For real values, \(9-x^2\\ge 0\), so \(-3\\le x\le 3\). Hence \(\\sqrt{9-x^2}\) takes every value in \[0,3\]. Letting \(y=\\sqrt{9-x^2}\), we have \(f(x)=2-y\), so the range is \[2-3,2-0\\]=\[-1,2\]. Option B would result from adding rather than subtracting, and both endpoints must be included.
(f(x)=x+1) है पर (x=1) अनुमत नहीं है इसलिए (y=2) नहीं मिलेगा। सरलीकरण के बाद हटाए गए प्रांत मान का प्रभाव जरूर देखें। / Here (f(x)=x+1), but (x=1) is not allowed, so (y=2) is not obtained. After simplification, always track excluded domain values.
\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) होने पर, \(x\ne2\) के लिए \(f(x)=x+2\)। यदि \(x=2\) अनुमत होता, तो \(f(x)=4\) मिलता; लेकिन \(x=2\) डोमेन से हटाया गया है, इसलिए \(4\) परास में नहीं आ सकता। दूसरी ओर, प्रत्येक \(y\ne4\) के लिए \(x=y-2\ne2\) लेकर \(f(x)=y\) प्राप्त होता है। अतः परास \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) है। परीक्षा-युक्ति: सरलीकरण के बाद मूल फलन में प्रतिबंधित मान से बनने वाला आउटपुट अवश्य जाँचें। / Since \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), for \(x\ne2\) we have \(f(x)=x+2\). The value \(4\) would occur only when \(x=2\), but that input is excluded from the domain. Conversely, for every \(y\ne4\), choosing \(x=y-2\ne2\) gives \(f(x)=y\). Hence the range is \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\). Exam tip: after simplifying a rational function, check whether an excluded input removes a corresponding output value.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x+3\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) साथ-साथ चाहिए। संयुक्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots require \(x+3\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) simultaneously. Take the intersection of the conditions.
पहले भाग से (x+1>0) और दूसरे से \(4-x\ge 0\) चाहिए। अतः संयुक्त प्रांत ((-1,4]) है। / The first part requires (x+1>0), and the second requires \(4-x\ge 0\). Hence the combined domain is ((-1,4]).
\(\frac{x+3}{2-x}\ge 0\) और \(x\ne 2\) चाहिए। शून्य अंश से आ सकता है पर हर से नहीं। / We need \(\frac{x+3}{2-x}\ge 0\) and \(x\ne 2\). Zero may come from the numerator but not from the denominator.
परिमेय फलन में प्रत्येक हर शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ \(x-1=0\) से \(x=1\) और \(x+2=0\) से \(x=-2\) प्राप्त होता है; इसलिए ये दोनों मान प्रांत से बाहर होंगे। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}\) है। विकल्प B में \(-2\) के स्थान पर गलत रूप से \(2\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी \(x\)-मानों को हमेशा हटाएँ। / In a rational function, every denominator must be non-zero. Here, \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+2=0\) gives \(x=-2\); hence both values must be excluded from the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{1,-2\}\). Option B incorrectly changes \(-2\) to \(2\). Exam tip: set each denominator equal to zero and exclude all resulting values from the real numbers.
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। दोनों शर्तें साथ लागू करें। / The square root requires \(x\ge 1\), and the denominator requires \(x\ne 5\). Apply both conditions together.
वर्गमूल का मान वास्तविक होने के लिए उसके भीतर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\) है, इसलिए \((x+4)(x+2)\ge 0\) हल करने पर \(x\le -4\) या \(x\ge -2\) मिलता है। अतः प्रांत \(( -\infty,-4]\cup[-2,\infty)\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(-4\) और \(-2\) के बीच गुणनफल ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के लिए पहले मूल के भीतर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखकर चिन्ह-रेखा बनाइए। / For the square root to be real, the radicand must be non-negative. Since \(x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\), we solve \((x+4)(x+2)\ge 0\). This gives \(x\le -4\) or \(x\ge -2\). Hence, the domain is \(( -\infty,-4]\cup[-2,\infty)\). Option B is incorrect because the product is negative between \(-4\) and \(-2\). Exam tip: For a radical function, require the expression inside the root to be at least zero and use a sign chart.
हर (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए (x=2) और (x=3) हटते हैं। विकल्पों में केवल (x=2) दिया है। / The denominator (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so (x=2) and (x=3) are excluded. Among the options, only (x=2) appears.
हर (x-2+2x+5=(x+1)2+4) का न्यूनतम मान (4) है। धनात्मक भिन्न का अधिकतम हर के न्यूनतम पर मिलता है। / The denominator (x-2+2x+5=(x+1)2+4) has minimum value (4). A positive fraction is maximum when its denominator is minimum.
चूँकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए \((x+3)^2+1\ge 1\)। अतः \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\)। \(x=-3\) पर भिन्न का अधिकतम मान \(2\) है, इसलिए \(f(x)\) का अधिकतम मान \(-2\) होता है और यह प्राप्त होता है। जब \(|x|\to\infty\), तब भिन्न \(0\) के निकट जाता है, इसलिए \(f(x)\) \(-4\) के निकट जाता है, पर कभी \(-4\) नहीं होता। इसलिए परिसर \((-4,-2]\) है। विकल्प B में \(-4\) को शामिल किया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करके हर और फिर फलन की सीमा निर्धारित करें। / Since \((x+3)^2\ge 0\), we get \((x+3)^2+1\ge 1\). Hence, \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\). At \(x=-3\), the fraction attains its maximum value \(2\), so \(f(x)\) attains the maximum value \(-2\). As \(|x|\to\infty\), the fraction approaches \(0\), so \(f(x)\) approaches \(-4\) but never equals it. Therefore, the range is \((-4,-2]\). Option B is incorrect because it includes \(-4\). Exam tip: For expressions involving a squared term in the denominator, first find the minimum possible denominator.
टुकड़ों में देखने पर \(x\le -2\) पर मान (-4), \(x\ge 2\) पर (4), और बीच में (2x) मिलता है। इसलिए सभी मान ([-4,4]) आते हैं। / Piecewise checking gives (-4) for \(x\le -2\), (4) for \(x\ge 2\), and (2x) between them. Hence all values in ([-4,4]) occur.
दो बिंदुओं (1) और (-3) के बीच की दूरी (4) है। निरपेक्ष मानों के योग का न्यूनतम अक्सर दूरी से मिलता है। / The distance between the points (1) and (-3) is (4). The minimum sum of absolute distances often equals the distance between fixed points.
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{0}\), परिसर ({-1,1})/Domain \(\mathbb{R}\setminus{0}\), range ({-1,1})
Explanation
Simple Explanation
हर (|x|) शून्य नहीं होना चाहिए इसलिए \(x\ne 0\) है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) मिलता है। / The denominator (|x|) must be non-zero, so \(x\ne 0\). Positive (x) gives (1), and negative (x) gives (-1).
\(x^2+4x+4=(x+2)^2\), इसलिए \(f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\)। इसका न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=-2\) पर प्राप्त होता है, और इसके बाद यह कोई भी गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है। अतः परिसर \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलकर उसका न्यूनतम मान जाँचें। / Since \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), we get \(f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\). Its minimum value is \(0\), attained at \(x=-2\), and it can take every non-negative value thereafter. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(0\). Exam tip: Rewrite the expression under the square root as a perfect square and identify its minimum value.
((x-2)2\ge 0) इसलिए मूल के अंदर न्यूनतम (7) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम \(\sqrt{7}\) होगा। / Because ((x-2)2\ge 0), the minimum inside the root is (7). Taking the square root gives minimum \(\sqrt{7}\).
हर (|x+1|+2) का न्यूनतम (2) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए फलन (0) से बड़ा और \(\frac{1}{2}\) तक है। / The denominator (|x+1|+2) has minimum (2) and can grow without bound. Thus the function is greater than (0) and at most \(\frac{1}{2}\).
मान लें (t=|x|), तब \(t\ge 0\) और \(f=\frac{t}{t+1}\) है। (t=0) पर (0) मिलता है और (t) बढ़ने पर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं मिलता। / Let (t=|x|), so \(t\ge 0\) and \(f=\frac{t}{t+1}\). At (t=0) the value is (0), and as (t) grows it approaches (1) but never reaches it.
(f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) और \(x^2+2\ge 2\) है। इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Here (f(x)=1-\frac{1}{x-2+2}) and \(x^2+2\ge 2\). Thus the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is not attained.
फलन को \(f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\) लिखें। क्योंकि \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1\) और \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq 3\)। अतः \(1<f(x)\leq 4\), इसलिए परास \((1,4]\) है। \(x=0\) पर \(f(x)=4\) मिलता है, इसलिए 4 शामिल है। \(1\) केवल \(|x|\to\infty\) होने पर निकट आता है, किसी वास्तविक \(x\) पर प्राप्त नहीं होता; इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: परास में प्रत्येक endpoint के लिए जाँचें कि वह वास्तव में प्राप्त होता है या केवल निकट आता है। / Rewrite the function as \(f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\). Since \(x^2\geq 0\), we have \(x^2+1\geq 1\), so \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq 3\). Hence \(1<f(x)\leq 4\), giving the range \((1,4]\). The value \(4\) is attained at \(x=0\), so it is included. The value \(1\) is approached only as \(|x|\to\infty\) and is never attained for real \(x\), so option B is incorrect. Exam tip: always test whether a range endpoint is attained or merely approached.
वास्तविक मान के लिए प्रत्येक वर्गमूल के अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x-2\ge 0\), अर्थात \(x\ge 2\), और \(x-8\ge 0\), अर्थात \(x\ge 8\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(x\ge 8\) है, इसलिए प्रांत \([8,\infty)\) होगा। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=8\) पर फलन परिभाषित है और 8 को शामिल किया जाना चाहिए। परीक्षा-टिप: कई मूलों वाले फलन का प्रांत सभी मूलों की शर्तों के प्रतिच्छेद से निर्धारित करें। / For a real-valued function, the expression inside each square root must be non-negative. Thus, \(x-2\ge 0\) gives \(x\ge 2\), and \(x-8\ge 0\) gives \(x\ge 8\). Their intersection is \(x\ge 8\), so the domain is \([8,\infty)\). Option D is incorrect because the function is defined at \(x=8\), so 8 must be included. Exam tip: For a function containing multiple radicals, find the domain by taking the intersection of all the resulting conditions.
अंश के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए (7-x>0) चाहिए। इसलिए प्रांत ([-2,7)) है। / The numerator requires \(x+2\ge 0\), and the denominator requires (7-x>0). Therefore the domain is ([-2,7)).
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge0\) और \(5-x\ge0\) होना चाहिए। परीक्षा में संयुक्त शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots require \(x-2\ge0\) and \(5-x\ge0\). In exams take the intersection of all conditions.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-9>0\) चाहिए। ध्यान रखें हर में शून्य स्वीकार नहीं होता। / The denominator has a square root, so \(x^2-9>0\) is needed. Remember zero is not allowed in a denominator.
हर (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए (x=2,3) हटेंगे। परीक्षा में पहले हर को शून्य के बराबर करें। / The denominator is (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so (x=2,3) are excluded. In exams set the denominator equal to zero first.
\(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\)। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(f(x)\geq 3\)। \(x=2\) पर \((x-2)^2=0\), अतः न्यूनतम मान \(3\) वास्तव में प्राप्त होता है। इसलिए परास \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(3\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऊपर की ओर खुलने वाले द्विघात फलन का परास उसके शीर्ष के \(y\)-निर्देशांक से शुरू होता है। / Rewrite the function by completing the square: \(f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\). Since \((x-2)^2\geq 0\), we have \(f(x)\geq 3\). At \(x=2\), the squared term is zero, so the minimum value \(3\) is actually attained. Hence, the range is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes the attainable value \(3\). Exam tip: for an upward-opening quadratic, the range begins at the vertex’s \(y\)-coordinate.
क्योंकि \(x^2+4\ge4\), अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है और (0) केवल निकट आता है। परीक्षा में असम्प्राप्त सीमा को बंद न करें। / Because \(x^2+4\ge4\), the maximum value is \(\frac{1}{4}\), and (0) is only approached. In exams do not close an unattained endpoint.
दो बिंदुओं ( -1 ) और (3) से दूरी का योग कम से कम उनके बीच की दूरी (4) होता है। निरपेक्ष मान में दूरी वाला विचार उपयोगी है। / The sum of distances from (-1) and (3) is at least their distance (4). The distance idea is useful for absolute value questions.
\(y=\frac{x-1}{x+2}\) से \(x=\frac{1+2y}{1-y}\) मिलता है इसलिए \(y\ne1\)। परिसर के लिए (x) को (y) के रूप में लिखना कारगर है। / From \(y=\frac{x-1}{x+2}\), we get \(x=\frac{1+2y}{1-y}\), so \(y\ne1\). Writing (x) in terms of (y) works well for range.
वर्गमूल से \(x\ge-4\) और हर से \(x\ne1\) चाहिए। मिश्रित फलन में सभी प्रतिबंध साथ लागू करें। / The square root gives \(x\ge-4\), and the denominator gives \(x\ne1\). Apply all restrictions together in mixed functions.
लघुगणक के अंदर (7-2x>0) होना चाहिए। \(\log\) में शून्य या ऋणात्मक मान स्वीकार नहीं होता। / The logarithm argument must satisfy (7-2x>0). A logarithm does not accept zero or negative input.
हमें \(\frac{x-1}{x+3}\ge0\) और \(x\ne-3\) चाहिए। संख्या रेखा पर चिन्ह जाँच सबसे सुरक्षित है। / We need \(\frac{x-1}{x+3}\ge0\) and \(x\ne-3\). A sign chart on the number line is the safest method.
\(y=\frac{2x+3}{x-4}\) से \(x=\frac{4y+3}{y-2}\) मिलता है इसलिए \(y\ne2\)। ऐसे प्रश्न में अनुपलब्ध (y) खोजें। / From \(y=\frac{2x+3}{x-4}\), we get \(x=\frac{4y+3}{y-2}\), so \(y\ne2\). In such questions find the unavailable (y).
\(\sqrt{2x-1}\ge0\) इसलिए \(3-\sqrt{2x-1}\le3\) और नीचे अनबाउंड है। ऋण चिह्न सीमा की दिशा बदल देता है। / Since \(\sqrt{2x-1}\ge0\), \(3-\sqrt{2x-1}\le3\) and is unbounded below. The negative sign reverses the direction of the range.
हर शून्य तब होगा जब (|x|-2=0), यानी \(x=\pm2\)। निरपेक्ष मान समीकरण के दोनों हल याद रखें। / The denominator is zero when (|x|-2=0), so \(x=\pm2\). Remember both solutions of an absolute value equation.
क्योंकि \(|x-2|\ge0\), न्यूनतम मान (3) है। ऐसे प्रश्न में निरपेक्ष मान का न्यूनतम (0) रखें। / Because \(|x-2|\ge0\), the minimum value is (3). In such questions keep the minimum of absolute value as (0).
शर्त (9-(x-1)2\ge0) से ((x-1)2\le9) मिलता है। केंद्र (1) और त्रिज्या (3) सोचकर अंतराल लें। / The condition (9-(x-1)2\ge0) gives ((x-1)2\le9). Think of center (1) and radius (3) to get the interval.
हर \(x^2-1=0\) पर शून्य होता है इसलिए \(x=\pm1\) हटेंगे। अंश से प्रांत पर प्रतिबंध नहीं आता। / The denominator becomes zero at \(x^2-1=0\), so \(x=\pm1\) are excluded. The numerator does not restrict the domain.
(x>0) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge2\) और समानता (x=1) पर मिलती है। एएम-जीएम असमानता यहाँ तेज है। / For (x>0), \(x+\frac{1}{x}\ge2\), with equality at (x=1). The AM-GM inequality is quick here.
ऋणात्मक (x) के लिए मान (-2) या उससे कम होते हैं और समानता (x=-1) पर आती है। प्रांत का चिन्ह परिसर बदल देता है। / For negative (x), the values are (-2) or less, with equality at (x=-1). The sign of the domain changes the range.
\(x^2\ge0\) से मान (0) पर मिलता है और \(\frac{x^2}{x^2+1}<1\) रहता है। सीमा (1) प्राप्त नहीं होती। / Since \(x^2\ge0\), the value (0) is attained, and \(\frac{x^2}{x^2+1}<1\). The limit (1) is not attained.
वर्गमूल \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) आवश्यक है, इसलिए प्रांत \([0,\infty)\) है। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), इसलिए 1 परिसर में शामिल है। जैसे-जैसे \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), लेकिन किसी भी सीमित \(x\) के लिए फलन का मान 0 नहीं होता। अतः परिसर \((0,1]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल और हर के प्रतिबंध अलग-अलग जाँचकर अंत में मानों की सीमा निर्धारित करें। / The square root requires \(x\ge 0\), so the domain is \([0,\infty)\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is included in the range. As \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), but the function never actually equals 0 for any finite \(x\). Hence the range is \((0,1]\). Exam tip: first impose the input restrictions, then check endpoint values and limiting values to determine the range.
(x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) और इसे \(\ge0\) चाहिए। ऊपर खुलने वाले द्विघात में बाहरी अंतराल चुने जाते हैं। / Since (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)), it must be \(\ge0\). For an upward quadratic, the outside intervals are selected.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(16-x^2>0\) चाहिए। यहाँ सिरों \(x=\pm4\) को शामिल नहीं किया जाएगा। / The square root is in the denominator, so \(16-x^2>0\) is required. The endpoints \(x=\pm4\) are not included here.
\(\cos x\in[-1,1]\) इसलिए \(2+\cos x\in[1,3]\), अतः \(f(x)\in[1,3]\)। reciprocal लेते समय क्रम उलट सकता है। / Since \(\cos x\in[-1,1]\), \(2+\cos x\in[1,3]\), so \(f(x)\in[1,3]\). The order may reverse when taking reciprocals.
\(\sin x\in[-1,1]\) होने से \(-2\sin x\in[-2,2]\) और कुल परिसर ( [3,7] ) है। गुणा और जोड़ को क्रम से लागू करें। / Since \(\sin x\in[-1,1]\), \(-2\sin x\in[-2,2]\), giving total range ([3,7]). Apply multiplication and addition step by step.
A. \( \mathbb{R}\setminus{\frac{\pi}{2}+n\pi:n\in\mathbb{Z}} \)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है इसलिए \(\cos x\ne0\) होना चाहिए। \(\tan x\) में विषम \(\frac{\pi}{2}\) वाले कोण हटते हैं। / Since \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), we need \(\cos x\ne0\). For \(\tan x\), odd multiples around \(\frac{\pi}{2}\) are excluded.
\(\log x\) के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log x\ne0\) चाहिए। इसलिए (x=1) अलग से हटेगा। / For \(\log x\), (x>0), and for the denominator \(\log x\ne0\). Therefore (x=1) must be excluded separately.
वर्गमूल के लिए (\log_3(x-2)\ge0) चाहिए जिससे \(x-2\ge1\) मिलता है। साथ में (x-2>0) पहले से पूरा है। / The square root requires (\log_3(x-2)\ge0), giving \(x-2\ge1\). The condition (x-2>0) is already satisfied.
\(\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge1\) और हर के लिए \(x\ne5\) चाहिए। सिरा (x=1) मान्य है क्योंकि हर शून्य नहीं है। / For \(\sqrt{x-1}\), \(x\ge1\), and for the denominator \(x\ne5\). The endpoint (x=1) is valid because the denominator is not zero.
हर ((x-3)2+1\ge1) है इसलिए अधिकतम \(\frac{1}{1}=1\) है और (0) प्राप्त नहीं होता। पूर्ण वर्ग से सीमा साफ मिलती है। / The denominator ((x-3)2+1\ge1), so the maximum is \(\frac{1}{1}=1\), and (0) is not attained. Completing the square gives the bounds clearly.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक मूलांक के अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और \(\sqrt{6-x}\) के लिए \(6-x\ge 0\), अर्थात् \(x\le 6\)। इन दोनों शर्तों का साझा भाग \([0,6]\) है। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि \(x=0\) और \(x=6\) पर एक-एक वर्गमूल का मान शून्य होता है, इसलिए सिरों को शामिल किया जाएगा। / For a square root to be real, its radicand must be non-negative. Thus, \(\sqrt{x}\) requires \(x\ge 0\), while \(\sqrt{6-x}\) requires \(6-x\ge 0\), or \(x\le 6\). The intersection of these conditions is \([0,6]\), so option A is correct. Exam tip: include both endpoints because the square roots are defined when their radicands are zero; hence the open interval \((0,6)\) is incorrect.
सममिति के कारण अधिकतम (x=3) पर है और मान \(2\sqrt{3}\) है। ऐसे रूप में दोनों पद बराबर करने की कोशिश करें। / By symmetry the maximum occurs at (x=3), and the value is \(2\sqrt{3}\). In such forms try making the two terms equal.
इस अंतराल में (|x|) का न्यूनतम (2) और अधिकतम (5) है। ऋणात्मक प्रांत में \(x^2\) घटता दिख सकता है पर मान धनात्मक रहते हैं। / On this interval, the minimum of (|x|) is (2) and the maximum is (5). On a negative domain \(x^2\) may decrease, but values remain positive.
\(y=\frac{x}{x^2+1}\) से \(yx^2-x+y=0\) मिलता है और विविक्तकर \(\ge0\) देने पर \(|y|\le\frac{1}{2}\)। परिसर के लिए विविक्तकर विधि उपयोगी है। / From \(y=\frac{x}{x^2+1}\), we get \(yx^2-x+y=0\), and discriminant \(\ge0\) gives \(|y|\le\frac{1}{2}\). The discriminant method is useful for range.
हर ((x+1)2+1) और (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}) है। इसलिए मान (1) से बड़े और \(\frac{5}{2}\) तक हैं। / The denominator is ((x+1)2+1), and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). Hence values are greater than (1) and up to \(\frac{5}{2}\).
\(|x|+1\ge1\) इसलिए अधिकतम (1) है और (0) प्राप्त नहीं होता। हर के अनंत होने पर भिन्न (0) के पास जाती है। / Since \(|x|+1\ge1\), the maximum is (1), and (0) is not attained. As the denominator grows without bound, the fraction approaches (0).
वर्गमूल के लिए \(|x|-3\ge0\) यानी \(|x|\ge3\) चाहिए। निरपेक्ष असमानता में बाहरी भाग चुने जाते हैं। / The square root requires \(|x|-3\ge0\), so \(|x|\ge3\). For this absolute inequality, the outside intervals are selected.
दो स्थिर बिंदुओं से दूरी के अंतर का मान उनकी दूरी (3) से अधिक नहीं होता। इसलिए परिसर ( [-3,3] ) है। / The difference of distances from two fixed points cannot exceed their distance (3). Therefore the range is ([-3,3]).
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x>2), और \(\sqrt{8-x}\) से \(x\le8\) है। हर के कारण (2) हटेगा पर (8) रहेगा। / Since \(\sqrt{x-2}\) is in the denominator, (x>2), and \(\sqrt{8-x}\) gives \(x\le8\). Because of the denominator (2) is excluded but (8) remains.
वास्तविक मान वाले फलन \(f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}\) के प्रांत और परास का सही वर्गीकरण कौन-सा है? प्रत्येक क्रमित युग्म में पहला भाग प्रांत और दूसरा भाग परास दर्शाता है।
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(1+x^2>0\), इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। \(t=x^2\ge0\) रखने पर \(f=\frac{t}{1+t}\): 0 मिलता है, पर 1 कभी नहीं। अतः परास \([0,1)\) है। परीक्षा टिप: हर के शून्य होने की जाँच करें। / For every real \(x\), \(1+x^2>0\), so the domain is \(\mathbb{R}\). Put \(t=x^2\ge0\); then \(f=\frac{t}{1+t}\). It can be 0 but can never equal 1, so the range is \([0,1)\). Exam tip: first check where the denominator is zero.
(f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}) है इसलिए न्यूनतम (-1) और ऊपरी सीमा (1) अप्राप्त है। रूप बदलकर परिसर जल्दी मिलता है। / Here (f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}), so the minimum is (-1), and the upper bound (1) is not attained. Rewriting the expression quickly gives the range.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1\ge 0\) से \(x\ge 1\) और \(x-4\ge 0\) से \(x\ge 4\) प्राप्त होता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(x\ge 4\) है, अतः प्रांत \([4,\infty)\) है। विकल्प B केवल पहली शर्त को दर्शाता है, जबकि विकल्प D में \(x=4\) को अनावश्यक रूप से शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: कई वर्गमूलों वाले फलन में सभी मूलांकों की शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For a square root to be real, each radicand must be non-negative. Thus, \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), and \(x-4\ge 0\) gives \(x\ge 4\). The common solution is \(x\ge 4\), so the domain is \([4,\infty)\). Option B considers only the first square root, while option D incorrectly excludes \(x=4\), where both square roots are defined. Exam tip: for multiple square roots, take the intersection of all radicand conditions.
प्रांत \(x\ge4\) है और (x=4) पर मान \(\sqrt{3}\) मिलता है। दोनों पद बढ़ते हैं इसलिए यही न्यूनतम है। / The domain is \(x\ge4\), and at (x=4) the value is \(\sqrt{3}\). Both terms increase, so this is the minimum.
हर ((x+1)2+4) का न्यूनतम (4) है। भिन्न का अधिकतम तब होता है जब धनात्मक हर न्यूनतम हो। / The denominator ((x+1)2+4) has minimum (4). The fraction is maximum when the positive denominator is minimum.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(2-|x-1|\ge 0\), अर्थात् \(|x-1|\le 2\)। इससे \(-2\le x-1\le 2\), और अतः \(-1\le x\le 3\) प्राप्त होता है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \([-1,3]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि दोनों सिरों पर वर्गमूल का मान शून्य, जो मान्य है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के परिभाषा-क्षेत्र के लिए radicand को \(\ge 0\) रखें। / The expression inside a square root must be non-negative, so \(2-|x-1|\ge 0\), which gives \(|x-1|\le 2\). Thus \(-2\le x-1\le 2\), or \(-1\le x\le 3\). Therefore, the domain is \([-1,3]\). Option B is incorrect because the endpoints are included: at both endpoints, the radicand is zero, which is allowed. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
अंदर (2-|x-1|) का अधिकतम (2) और न्यूनतम (0) है। वर्गमूल से परिसर \( [0,\sqrt{2}] \) मिलता है। / The inside expression (2-|x-1|) has maximum (2) and minimum (0). Taking square root gives the range \([0,\sqrt{2}]\).
हर में वर्गमूल है इसलिए (|x+2|-5>0) चाहिए। अतः (|x+2|>5) से बाहरी खुले अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so (|x+2|-5>0) is required. Thus (|x+2|>5) gives the outside open intervals.
\(y=\frac{4x-1}{2x+5}\) से \(x=\frac{-1-5y}{2y-4}\) मिलता है इसलिए \(y\ne2\)। रैखिक भिन्नात्मक फलन में अनुपलब्ध मान अक्सर अग्र गुणांकों का अनुपात होता है। / From \(y=\frac{4x-1}{2x+5}\), we get \(x=\frac{-1-5y}{2y-4}\), so \(y\ne2\). For a linear fractional function, the missing value is often the ratio of leading coefficients.
वर्गमूल के लिए ((x-2)(7-x)\ge0) से \(x\in[2,7]\) मिलता है और हर से \(x\ne3\) हटेगा। संयुक्त प्रतिबंधों का प्रतिच्छेद लेना जरूरी है। / For the square root, ((x-2)(7-x)\ge0) gives \(x\in[2,7]\), and the denominator removes (x=3). Taking the intersection of all restrictions is essential.
हर (x-2-4x+8=(x-2)2+4) है इसलिए भिन्न का अधिकतम \(\frac{1}{2}\) है और न्यूनतम (0) प्राप्त नहीं होता। इसलिए कुल परिसर ( \(1,\frac{3}{2}] \) है। / The denominator is (x-2-4x+8=(x-2)2+4), so the fraction has maximum \(\frac{1}{2}\) and never attains (0). Hence the total range is (\(1,\frac{3}{2}]\).
वर्गमूल के अंदर \(3x-12\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x\ge 4\)। परीक्षा में वर्गमूल के लिए अंदर का भाग हमेशा अशून्य या धनात्मक रखें। / The expression inside the square root must satisfy \(3x-12\ge 0\), so \(x\ge 4\). In exams, always keep the radicand non-negative.
यहां \(25-x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2\le 25\) और \(x\in[-5,5]\)। ऐसे प्रश्नों में असमानता को सावधानी से हल करें। / Here \(25-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 25\) and \(x\in[-5,5]\). In such questions, solve the inequality carefully.
वास्तविक मानों के लिए \(x-2\ge 0\) होना चाहिए, क्योंकि यह वर्गमूल के अंदर है। साथ ही, वर्गमूल हर में है, इसलिए उसका मान शून्य नहीं हो सकता; अतः \(x-2>0\), अर्थात् \(x>2\)। इसलिए प्रांत \((2,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=2\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: हर में उपस्थित वर्गमूल के लिए अंदर की राशि सदैव धनात्मक रखें। / For real-valued outputs, \(x-2\ge 0\) is required because it is under a square root. Since the square root is in the denominator, it cannot be zero; therefore \(x-2>0\), giving \(x>2\). Hence the domain is \((2,\infty)\). Option B is incorrect because at \(x=2\), the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, its radicand must be strictly positive.
हर \(x^2-9\ne 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x\ne -3,3\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाले मान हटाएं। / The denominator must satisfy \(x^2-9\ne 0\), so \(x\ne -3,3\). In exams, remove values that make the denominator zero.
वर्गमूल के लिए \(x+1\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([-1,\infty\)-{4}) है। / For the square root \(x+1\ge 0\) and for the denominator \(x\ne 4\) are required. Thus the intersection is \([-1,\infty\)-{4}).
क्योंकि \((x-2)^2\ge 0\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(f(x)=(x-2)^2+5\ge 5\)। जब \(x=2\), तब \(f(2)=5\), इसलिए 5 परास में शामिल है और परास \([5,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: ऊपर की ओर खुलने वाले \((x-a)^2+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है। / Since \((x-2)^2\ge 0\) for every real \(x\), we have \(f(x)=(x-2)^2+5\ge 5\). At \(x=2\), \(f(2)=5\), so 5 is included in the range. Therefore, the range is \([5,\infty)\). Exam tip: an upward-opening expression of the form \((x-a)^2+b\) has minimum value \(b\).
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \((x+3)^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=7-(x+3)^2\leq 7\)। जब \(x=-3\) होता है, तब वर्ग पद शून्य है और \(f(-3)=7\), अतः 7 अधिकतम मान है तथा यह परास में शामिल होगा। जैसे-जैसे \(|x+3|\) बढ़ता है, \(f(x)\) बिना सीमा के घटता जाता है। इसलिए परास \(( -\infty, 7]\) है। \([7,\infty)\) गलत है क्योंकि फलन 7 से बड़ा कोई मान नहीं ले सकता। परीक्षा-युक्ति: \(a-(x-h)^2\) के रूप के परवलय का अधिकतम मान \(a\) होता है। / For every real \(x\), \((x+3)^2\geq 0\). Hence \(f(x)=7-(x+3)^2\leq 7\). At \(x=-3\), the squared term is zero, so \(f(-3)=7\); thus 7 is the maximum value and is included in the range. As \(|x+3|\) increases, \(f(x)\) decreases without bound. Therefore, the range is \(( -\infty, 7]\). The interval \([7,\infty)\) is incorrect because the function cannot take a value greater than 7. Exam tip: a parabola of the form \(a-(x-h)^2\) has maximum value \(a\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ \(x-3\ne 0\), इसलिए \(x\ne 3\)। अतः 3 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ फलन के प्रांत में आती हैं, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\)। विकल्प B में \(-3\) को हटाया गया है, जबकि निषिद्ध मान 3 है। परीक्षा-युक्ति: प्रांत ज्ञात करते समय सबसे पहले हर को शून्य के बराबर रखकर निषिद्ध मान निकालें। / For a rational function, the denominator cannot be zero. Here, \(x-3\ne 0\), so \(x\ne 3\). Therefore, every real number except 3 belongs to the domain, giving \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Option B incorrectly excludes \(-3\), and option D includes the undefined value 3. Exam tip: To find the domain of a rational function, first set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
यदि \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), तो \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), अतः \(y\ne 2\)। इसलिए परिसर \(\mathbb{R}-{2}\) है। / If \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), then \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), so \(y\ne 2\). Hence the range is \(\mathbb{R}-{2}\).
किसी भी वास्तविक x के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। अतः \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\)। अधिकतम मान \(\frac14\) तब मिलता है जब \(x=0\), जबकि 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए परास \((0,\frac14]\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर के व्युत्क्रम का मान हर के न्यूनतम मान पर अधिकतम होता है। / For every real x, \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4\). Hence \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\). The maximum value \(\frac14\) occurs at \(x=0\), while 0 is never attained; therefore, the range is \((0,\frac14]\). Exam tip: for a positive denominator, the reciprocal is largest when the denominator is smallest.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए मूलचिह्न के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(9-(x-1)^2\ge 0\), इसलिए \((x-1)^2\le 9\)। इससे \(-3\le x-1\le 3\), अर्थात \(-2\le x\le 4\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \([-2,4]\) है। विकल्प C उन मानों को दर्शाता है जिनके लिए मूलचिह्न के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक होगा। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए हमेशा मूलचिह्न के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression inside the radical must be non-negative. Hence \(9-(x-1)^2\ge 0\), so \((x-1)^2\le 9\). This gives \(-3\le x-1\le 3\), or \(-2\le x\le 4\). Therefore, the domain is \([-2,4]\). Option C contains values for which the expression inside the square root is negative. Exam tip: To find the domain of a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero.
वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता और अंदर का अधिकतम मान (9) है। इसलिए परिसर ([0,3]) है। / A square root is never negative and the maximum inside value is (9). Hence the range is ([0,3]).
क्योंकि \(|x-4|\ge 0\), इसलिए \(f(x)=|x-4|+2\ge 2\)। \(x=4\) पर \(|x-4|=0\) और \(f(4)=2\), इसलिए 2 वास्तव में प्राप्त होता है। जैसे-जैसे \(|x-4|\) बढ़ता है, \(f(x)\) के सभी मान 2 या उससे अधिक प्राप्त होते हैं; अतः परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें न्यूनतम मान 2 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है और परास \([b,\infty)\) होती है। / Since \(|x-4|\ge 0\), we have \(f(x)=|x-4|+2\ge 2\). At \(x=4\), \(|x-4|=0\), so \(f(4)=2\); therefore, the value 2 is attained. As \(|x-4|\) increases, all values greater than 2 are also obtained, giving the range \([2,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes the attained minimum value 2. Exam tip: For a function of the form \(|x-a|+b\), the range is \([b,\infty)\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\ge 0\), इसलिए \(|x|+1\ge 1\) और \(0<f(x)\le 1\)। जब \(x=0\), तब \(f(x)=1\), जबकि \(|x|\) बढ़ने पर फलन का मान 0 के निकट पहुँचता है, परन्तु 0 कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परास \((0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 0 शामिल है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में हर के न्यूनतम और अधिकतम सम्भव मान से परास निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(|x|\ge 0\), so \(|x|+1\ge 1\), which gives \(0<f(x)\le 1\). At \(x=0\), the function equals 1. As \(|x|\) increases, the function approaches 0 but never becomes 0. Hence, the range is \((0,1]\). Option B is incorrect because 0 is not attained. Exam tip: For a reciprocal function, identify the minimum and possible limiting values of the denominator to determine the range.
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{t-1}{t+1}\)। (t=0) पर (-1) मिलता है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t-1}{t+1}\). At (t=0), (-1) occurs and (1) is not attained.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलचिह्न के भीतर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(x^2-16\geq 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\geq 0\)। यह असमता \(x\leq -4\) या \(x\geq 4\) के लिए सत्य है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \(( -\infty,-4]\cup[4,\infty)\) है। विकल्प B और C में बीच के वे मान शामिल हैं जिनके लिए \(x^2-16<0\) होता है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=-4\) और \(x=4\) पर वर्गमूल का मान 0 होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में radicand को हमेशा \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the radical must be non-negative. Hence, \(x^2-16\geq 0\), or \((x-4)(x+4)\geq 0\). This inequality holds when \(x\leq -4\) or \(x\geq 4\). Therefore, the domain is \(( -\infty,-4]\cup[4,\infty)\). Options B and C contain values between the roots, for which \(x^2-16<0\). Option D is incorrect because at \(x=-4\) and \(x=4\), the square root is 0. Exam tip: For a real square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
प्रांत में \(x^2-16\ge 0\) और वर्गमूल का न्यूनतम मान (0) है। बड़े (|x|) पर मान असीमित बढ़ता है। / On the domain, \(x^2-16\ge 0\) and the minimum square-root value is (0). For large (|x|), the value grows without bound.
लघुगणक का परिभाषित होना सुनिश्चित करने के लिए उसका तर्क strictly धनात्मक होना चाहिए: \(x^2-5x+6>0\)। गुणनखंड करने पर \((x-2)(x-3)>0\) मिलता है, जो \(x<2\) या \(x>3\) के लिए सत्य है। अतः प्रांत \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((2,3)\) में लघुगणक का तर्क ऋणात्मक होता है; 2 और 3 भी शामिल नहीं हो सकते क्योंकि वहाँ तर्क शून्य है। परीक्षा-युक्ति: \(\log_a(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लगाएँ, केवल \(g(x)\ne0\) नहीं। / The argument of a logarithm must be strictly positive, so \(x^2-5x+6>0\). Factoring gives \((x-2)(x-3)>0\), which holds when \(x<2\) or \(x>3\). Therefore, the domain is \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\). Option B is incorrect because the logarithm's argument is negative between 2 and 3; the endpoints are also excluded because the argument becomes zero there. Exam tip: For \(\log_a(g(x))\), always impose \(g(x)>0\), not merely \(g(x)\ne0\).
लघुगणकीय फलन के लिए उसका आर्गुमेंट धनात्मक होना आवश्यक है। अतः \(4-x>0\), जिससे \(x<4\) मिलता है। इसलिए प्रांत \(( -\infty,4)\) है। विकल्प C में \(4\) शामिल है, पर \(x=4\) पर आर्गुमेंट \(0\) होता है और \(\log 0\) अपरिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: लॉग वाले प्रश्नों में पहले उसके अंदर के व्यंजक को \(>0\) रखें। / For a logarithmic function, its argument must be positive. Thus, \(4-x>0\), which gives \(x<4\). Therefore, the domain is \(( -\infty,4)\). Option C wrongly includes \(4\); at \(x=4\), the argument is \(0\), and \(\log 0\) is undefined. Exam tip: In logarithmic domain questions, first set the expression inside the log greater than zero.
लघुगणक के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log_3 x\ne 0\), यानी \(x\ne 1\)। दोनों शर्तें साथ रखें। / For the logarithm (x>0), and for the denominator \(\log_3 x\ne 0\), so \(x\ne 1\). Keep both conditions together.
शर्त \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) है। साइन चार्ट से (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty)) मिलता है। / The condition is \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign chart gives (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty)).
वर्गमूल के अंदर की मात्रा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) तथा \(x\ne -1\)। महत्त्वपूर्ण बिंदु \(-1\) और \(5\) हैं। अंतरालों में चिह्न जाँचने पर \((-1,5]\) प्राप्त होता है; \(5\) शामिल है क्योंकि वहाँ भिन्न का मान 0 है, जबकि \(-1\) शामिल नहीं है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले परिमेय व्यंजक में पहले हर के शून्य होने वाले बिंदु को अलग करें, फिर चिह्न-आरेख बनाकर जाँच करें। / The expression under the square root must be non-negative, and the denominator cannot be zero. Thus, \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) with \(x\ne -1\). The critical points are \(-1\) and \(5\). Sign testing across the intervals gives \((-1,5]\). The endpoint \(5\) is included because the fraction becomes 0, whereas \(-1\) is excluded because it makes the denominator zero. Exam tip: for a rational expression under a square root, first mark the denominator’s zero and the numerator’s zero, then perform an interval sign test.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+1\ge1\) हर वास्तविक \(x\) के लिए है; अतः प्रांत \(\mathbb R\) और परास \([1,\infty)\) है। विकल्प B में न्यूनतम मान 0 मानना गलत है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का मुख्य मान अऋणात्मक होता है। / Since \(x^2\ge0\), we get \(x^2+1\ge1\) for every real \(x\). Hence the domain is \(\mathbb R\) and the range is \([1,\infty)\). Option B wrongly includes 0. Exam tip: a square root always denotes the non-negative principal value.
यदि \(y=\frac{x}{x^2+1}\), तो \(yx^2-x+y=0\) में विविक्तकर \(1-4y^2\ge 0\) चाहिए। अतः \(-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}\)। / If \(y=\frac{x}{x^2+1}\), then the discriminant of \(yx^2-x+y=0\) must satisfy \(1-4y^2\ge 0\). Thus \(-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}\).
क्योंकि \(x>0\), \(f(x)-2=x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\)। अतः \(f(x)\ge 2\), और बराबरी \(x=1\) पर होती है; इसलिए 2 मान-परास में शामिल है। साथ ही \(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर \(f(x)\to\infty\), इसलिए प्रत्येक \(y\ge2\) प्राप्त होता है। अतः मान-परास \([2,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(x+\frac1x\) में \(x>0\) हो तो न्यूनतम मान 2 तुरंत AM-GM से भी निकाला जा सकता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\) पर मान ठीक 2 मिलता है। / Since \(x>0\), \(f(x)-2=x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\). Thus \(f(x)\ge 2\), with equality at \(x=1\), so 2 is included in the range. Also, \(f(x)\to\infty\) as \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), and every value \(y\ge2\) is attained. Therefore, the range is \([2,\infty)\). Exam tip: for \(x+\frac1x\) with \(x>0\), the minimum 2 can also be found directly using AM-GM. Option B is incorrect because the value 2 is attained at \(x=1\).
ऋणात्मक (x) के लिए (x=-t), (t>0), तब (f=-\(t+\frac{4}{t}\)\le -4)। इसलिए परिसर (\(-\infty,-4]\) है। / For negative (x), put (x=-t), (t>0), then (f=-\(t+\frac{4}{t}\)\le -4). Hence the range is (\(-\infty,-4]\).
यदि \(y=\frac{x-2}{x+5}\), तो \(x=\frac{-5y-2}{y-1}\), इसलिए \(y\ne 1\)। अतः परिसर \(\mathbb{R}-{1}\) है। / If \(y=\frac{x-2}{x+5}\), then \(x=\frac{-5y-2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). Hence the range is \(\mathbb{R}-{1}\).
वास्तविक मानों के लिए प्रत्येक वर्गमूल के भीतर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए। \(x+2\ge 0\) से \(x\ge -2\) तथा \(6-x\ge 0\) से \(x\le 6\) मिलता है। अतः दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([-2,6]\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(-2\) और \(6\) को अनावश्यक रूप से हटाया गया है, जबकि इन पर एक वर्गमूल शून्य होता है, जो मान्य है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में हर मूल के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखकर सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For real values, the expression inside each square root must be non-negative. From \(x+2\ge 0\), we get \(x\ge -2\), and from \(6-x\ge 0\), we get \(x\le 6\). Hence, the intersection of the two conditions is \([-2,6]\), so option A is correct. Option C wrongly excludes \(-2\) and \(6\); at these endpoints, one square root is zero, which is valid. Exam tip: for a function involving square roots, require every radicand to be \(\ge 0\) and intersect the resulting conditions.
प्रांत ([-2,6]) पर योग सममित है और अधिकतम (x=2) पर मिलता है। तब मान \(\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\) है। / On ([-2,6]), the sum is symmetric and maximum occurs at (x=2). Then the value is \(\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\).
क्योंकि वर्गमूल हर में है, इसलिए उसके अंदर की राशि धनात्मक होनी चाहिए: \(4-x^2>0\)। अतः \(x^2<4\), जिससे \(-2<x<2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-2,2)\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x=\pm2\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो radicand के लिए सख्त असमानता \(>0\) लगाएँ। / Because the square root is in the denominator, its radicand must be strictly positive: \(4-x^2>0\). Thus \(x^2<4\), which gives \(-2<x<2\). Therefore, the domain is \((-2,2)\). Option B is incorrect because at \(x=\pm2\), the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root appears in the denominator, impose the strict condition radicand \(>0\).
\(\sqrt{4-x^2}\) का अधिकतम मान (2) है, इसलिए (f) का न्यूनतम मान \(\frac{1}{2}\) है। किनारों के पास मान असीमित बढ़ता है। / The maximum value of \(\sqrt{4-x^2}\) is (2), so the minimum value of (f) is \(\frac{1}{2}\). Near the endpoints, the value grows without bound.
वर्गमूल के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([1,\infty\)-{5}) है। / For the square root \(x\ge 1\), and for the denominator \(x\ne 5\) are needed. Hence the domain is \([1,\infty\)-{5}).
ऊपर के वर्गमूल के लिए \(x-3\ge 0\) और हर के वर्गमूल के लिए (7-x>0) चाहिए। अतः \(x\in[3,7\))। / For the numerator square root \(x-3\ge 0\), and for the denominator square root (7-x>0). Thus \(x\in[3,7\)).
(x-2-6x+11=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम मान (2) है। पूर्ण वर्ग बनाना ऐसे प्रश्नों में सबसे तेज विधि है। / Since (x-2-6x+11=(x-3)2+2), the minimum value is (2). Completing the square is the fastest method here.
(f(x)=-2(x-2)2+9), इसलिए अधिकतम मान (9) है। नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का परिसर (\(-\infty,9]\) होता है। / (f(x)=-2(x-2)2+9), so the maximum value is (9). A downward-opening parabola has range (\(-\infty,9]\).
\(हर (x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1), इसलिए (\frac{3}{\)हर}\in(0,3])। इसलिए परिसर ((1,4]) है। \(/ The denominator (x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1), so (\frac{3}{\)denominator\(}\in(0,3]). Hence the range is ((1,4]).\)
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{t+2}{t+5}\)। यह (t=0) पर \(\frac{2}{5}\) है और (1) तक पहुंचता है पर (1) नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+2}{t+5}\). It is \(\frac{2}{5}\) at (t=0) and approaches (1) but never equals (1).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), इसलिए \(x=1\) और \(x=-1\) पर फलन अपरिभाषित है। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) है। परीक्षा में पहले हर को शून्य के बराबर रखकर वे मान निकालें जिन्हें हटाना है; केवल एक मान हटाना पर्याप्त नहीं है। / The denominator of a rational function cannot be zero. Since \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), the function is undefined at \(x=1\) and \(x=-1\). Hence its domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). In an exam, set the denominator equal to zero first and exclude every resulting value.
यदि \(t=x^2\ge 0\) और \(t\ne 1\), तो \(y=\frac{t+1}{t-1}\)। इससे \(t=\frac{y+1}{y-1}\ge 0\) देकर परिसर ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\)) मिलता है। / If \(t=x^2\ge 0\) and \(t\ne 1\), then \(y=\frac{t+1}{t-1}\). Using \(t=\frac{y+1}{y-1}\ge 0\) gives the range ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\)).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक वास्तविक और परिभाषित होने के लिए \(2x-x^2\ge 0\) होना चाहिए। इसे \(x(2-x)\ge 0\) लिखने पर \(0\le x\le 2\) प्राप्त होता है, इसलिए प्रांत \([0,2]\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=0\) और \(x=2\) पर भी वर्गमूल का मान 0 होता है, अतः दोनों छोर शामिल होंगे। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत निकालते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For the square root to be real, its radicand must satisfy \(2x-x^2\ge 0\). Factoring gives \(x(2-x)\ge 0\), which holds for \(0\le x\le 2\). Therefore, the domain is \([0,2]\). Option C is incorrect because both endpoints, \(x=0\) and \(x=2\), make the radicand zero and must be included. Exam tip: For a square-root function, set the expression inside the root greater than or equal to zero.
\(2x-x^2=1-(x-1)^2\)। वर्गमूल के लिए \(2x-x^2\ge 0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([0,2]\) है। इस व्यंजक का अधिकतम मान \(1\) है, जो \(x=1\) पर प्राप्त होता है, और न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=0,2\) पर प्राप्त होता है। अतः परास \([0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन की परास ज्ञात करते समय मूलांक का न्यूनतम और अधिकतम मान निर्धारित करें। / Rewrite the radicand as \(2x-x^2=1-(x-1)^2\). For the square root to be defined, \(2x-x^2\ge 0\), giving the domain \([0,2]\). The radicand has maximum value \(1\) at \(x=1\), and minimum value \(0\) at \(x=0,2\). Therefore, the function values range from \(0\) to \(1\), so the range is \([0,1]\). Option B is incorrect because a square root cannot be negative, while option D wrongly excludes \(0\). Exam tip: For a square-root function, first find the minimum and maximum values of the radicand.
दोनों हर शून्य नहीं होने चाहिए, इसलिए \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\)। योग वाले रैशनल फलन में सभी हर जांचें। / Both denominators must be non-zero, so \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). In sums of rational functions, check every denominator.
हर के अंदर का व्यंजक \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) है, इसलिए इसका न्यूनतम मान 1 है। अतः \(\sqrt{x^2+6x+10}\ge 1\), जिससे \(0<f(x)\le 1\)। x=-3 पर f(x)=1 प्राप्त होता है, जबकि f(x) कभी 0 नहीं हो सकता; इसलिए परास \((0,1]\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे व्युत्क्रम वर्गमूल फलनों में पहले अंदर के व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करें। / The expression inside the square root is \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\), whose minimum value is 1. Hence \(\sqrt{x^2+6x+10}\ge 1\), so \(0<f(x)\le 1\). The value 1 is attained at x=-3, but f(x) can never be 0; therefore, the range is \((0,1]\). Exam tip: For reciprocal square-root functions, first find the minimum value of the expression under the radical.
हर हमेशा (|x|) से बड़ा होता है, इसलिए (-1<f(x)<1)। (-1) और (1) केवल सीमा मान हैं। / The denominator is always greater than (|x|), so (-1<f(x)<1). The values (-1) and (1) are only limiting values.
वास्तविक मान के लिए दोनों वर्गमूलों के अंदर के व्यंजक अशून्य या धनात्मक होने चाहिए: \(x\ge 0\) तथा \(1-x\ge 0\), अर्थात \(x\le 1\)। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([0,1]\) है। सिरों \(x=0\) और \(x=1\) पर एक वर्गमूल का मान 0 होता है, इसलिए वे भी प्रांत में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक मूलांक के लिए \(\ge 0\) की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / For the function to have real values, each radicand must be non-negative: \(x\ge 0\) and \(1-x\ge 0\), which gives \(x\le 1\). The intersection of these conditions is \([0,1]\). The endpoints \(x=0\) and \(x=1\) are included because one square-root term is 0 at each endpoint. Exam tip: For a function containing square roots, set every radicand \(\ge 0\) and take the intersection of the resulting conditions.
प्रांत ([0,1]) में न्यूनतम मान किनारों पर (1) और अधिकतम \(x=\frac{1}{2}\) पर \(\sqrt{2}\) है। इसलिए परिसर \([1,\sqrt{2}]\) है। / On ([0,1]), the minimum at endpoints is (1) and the maximum at \(x=\frac{1}{2}\) is \(\sqrt{2}\). Hence the range is \([1,\sqrt{2}]\).
हर (x-2+2x+2=(x+1)2+1) का न्यूनतम मान (1) है। इसलिए फलन का अधिकतम मान (1) है। / The denominator (x-2+2x+2=(x+1)2+1) has minimum value (1). Hence the maximum value of the function is (1).
वर्गमूल के लिए \(x\ge 2\) और हर के लिए \(x\ne -3,3\) चाहिए। लेकिन (-3) पहले ही \(x\ge 2\) में नहीं है, इसलिए केवल (3) हटेगा। / For the square root \(x\ge 2\), and for the denominator \(x\ne -3,3\) are required. But (-3) is already outside \(x\ge 2\), so only (3) is removed.
शर्त \(\frac{x^2-4}{9-x^2}\ge 0\) और \(x\ne -3,3\) है। साइन चार्ट से (\(-3,-2]\cup[2,3\)) मिलता है। / The condition is \(\frac{x^2-4}{9-x^2}\ge 0\) and \(x\ne -3,3\). A sign chart gives (\(-3,-2]\cup[2,3\)).
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{2t+3}{t+1}\) घटता है। (t=0) पर (3) मिलता है और (2) प्राप्त नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{2t+3}{t+1}\) is decreasing. At (t=0), (3) is obtained and (2) is not attained.
जब \(x=0\), तब \(|x|=0\) और फलन का हर शून्य हो जाता है। इसलिए \(\frac{x}{|x|}\) इस बिंदु पर अपरिभाषित है। \(x=1,-1\) और \(2\) पर हर शून्य नहीं है, इसलिए फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: किसी भी परिमेय फलन का डोमेन निर्धारित करते समय हर को शून्य करने वाले मानों को अवश्य हटाएँ। / When \(x=0\), \(|x|=0\), so the denominator of \(\frac{x}{|x|}\) is zero. Hence, the function is undefined at this point. For \(x=1,-1\), and \(2\), the denominator is non-zero, so the function is defined. Exam tip: While finding the domain of a rational expression, exclude every value that makes its denominator zero.
\(f(x)=x^2+1\) में हर वास्तविक \(x\) रखने पर मान परिभाषित है, इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। क्योंकि \(x^2\ge 0\), अतः \(f(x)\ge1\); इसका परास \([1,\infty)\) है। \(x^3\) का परास भी \(\mathbb{R}\) होता है। परीक्षा टिप: वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान पहले जाँचें। / For \(f(x)=x^2+1\), every real \(x\) is allowed, so the domain is \(\mathbb{R}\). Since \(x^2\ge0\), \(f(x)\ge1\), giving range \([1,\infty)\). Unlike this, \(x^3\) has range \(\mathbb{R}\). Exam tip: first locate the minimum of a squared term.
गुणनफल फलन \\((fg)(x)=\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{4-x}}\\) के लिए \\(f(x)\\) से \\(x\\ge0\\) आवश्यक है। साथ ही, हर में स्थित वर्गमूल शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \\(4-x>0\\), अर्थात् \\(x<4\\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \\(0\\le x<4\\) है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \\(x<4\\) की आवश्यक शर्त छूट जाती है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल या भागफल फलन का प्रांत सभी संबंधित शर्तों के प्रतिच्छेद से प्राप्त करें। / The product is \\((fg)(x)=\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{4-x}}\\). The function \\(f(x)\\) requires \\(x\\ge0\\). Since \\(\\sqrt{4-x}\\) is in the denominator, it must be strictly positive, so \\(4-x>0\\), or \\(x<4\\). The intersection of these conditions is \\(0\\le x<4\\), making option A correct. Option C misses the necessary restriction \\(x<4\\). Exam tip: For a product or quotient of functions, find the domain by intersecting all individual domain restrictions and excluding zero denominators.
\((f-g)(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों वर्गमूल वास्तविक हों। इसलिए \(x-1\ge0\) से \(x\ge1\) और \(3-x\ge0\) से \(x\le3\) प्राप्त होता है। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1\le x\le3\) है, इसलिए विकल्प A सही है। केवल एक वर्गमूल की शर्त लेने से मिलने वाले विकल्प B और C अधूरे हैं। परीक्षा-युक्ति: योग या अंतर वाले फलन का प्रांत संबंधित सभी फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। / \((f-g)(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}\) is defined only when both square roots are real. Thus, \(x-1\ge0\) gives \(x\ge1\), and \(3-x\ge0\) gives \(x\le3\). Their intersection is \(1\le x\le3\), so option A is correct. Options B and C use the condition from only one square root and are therefore incomplete. Exam tip: for the sum or difference of functions, the domain is the intersection of the domains of all component functions.
A. हर वास्तविक \(x\) के लिए, जहाँ \(x\ne -1\)/For every real \(x\) such that \(x\ne -1\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-1=(x-1)(x+1)\), इसलिए \(x\ne -1\) पर \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\)। लेकिन मूल फलन \(f\) में \(x=-1\) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए वहाँ \(f\) अपरिभाषित है। अतः दोनों फलन प्रत्येक वास्तविक \(x\ne -1\) पर समान मान देते हैं। परीक्षा-युक्ति: बीजीय सरलीकरण के बाद मूल व्यंजक का प्रतिबंधित प्रांत अवश्य जाँचें। / Since \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), for \(x\ne -1\) we get \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\). However, the original function \(f\) is undefined at \(x=-1\) because its denominator becomes zero. Therefore, the functions have equal values for every real \(x\ne -1\). Exam tip: after simplifying a rational expression, always retain the domain restriction from the original expression.
\(x^3-x\) एक घन बहुपद है, इसलिए इसका प्रांत और परिसर दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। यह एक-एक नहीं है क्योंकि \(f(-1)=f(0)=0\)। परीक्षा में समान फलन-मूल्य पाने वाले दो अलग इनपुट जाँचें। / \(x^3-x\) is a cubic polynomial, so both its domain and range are \(\mathbb{R}\). It is not one-one because \(f(-1)=f(0)=0\). Exam tip: find two distinct inputs with the same output.
