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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Hard Level 32

यदि \(f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}\) है, तो इसका प्रांत और परिसर क्रमशः क्या होंगे?

If \(f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}\), what are its domain and range, respectively?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\big([0,\infty),(0,1]\big)\)

Explanation

Simple Explanation

वर्गमूल \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) आवश्यक है, इसलिए प्रांत \([0,\infty)\) है। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), इसलिए 1 परिसर में शामिल है। जैसे-जैसे \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), लेकिन किसी भी सीमित \(x\) के लिए फलन का मान 0 नहीं होता। अतः परिसर \((0,1]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल और हर के प्रतिबंध अलग-अलग जाँचकर अंत में मानों की सीमा निर्धारित करें। / The square root requires \(x\ge 0\), so the domain is \([0,\infty)\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is included in the range. As \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), but the function never actually equals 0 for any finite \(x\). Hence the range is \((0,1]\). Exam tip: first impose the input restrictions, then check endpoint values and limiting values to determine the range.

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Correct Answer: A. \(\big([0,\infty),(0,1]\big)\). Explanation: वर्गमूल \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) आवश्यक है, इसलिए प्रांत \([0,\infty)\) है। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), इसलिए 1 परिसर में शामिल है। जैसे-जैसे \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), लेकिन किसी भी सीमित \(x\) के लिए फलन का मान 0 नहीं होता। अतः परिसर \((0,1]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल और हर के प्रतिबंध अलग-अलग जाँचकर अंत में मानों की सीमा निर्धारित करें। / The square root requires \(x\ge 0\), so the domain is \([0,\infty)\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is included in the range. As \(x\to\infty\), \(f(x)\to 0\), but the function never actually equals 0 for any finite \(x\). Hence the range is \((0,1]\). Exam tip: first impose the input restrictions, then check endpoint values and limiting values to determine the range.