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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Hard Level 33

फलन \(f(x)=\sqrt{2x-x^2}\) का परास क्या है?

What is the range of the function \(f(x)=\sqrt{2x-x^2}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. [0,1]

Explanation

Simple Explanation

\(2x-x^2=1-(x-1)^2\)। वर्गमूल के लिए \(2x-x^2\ge 0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([0,2]\) है। इस व्यंजक का अधिकतम मान \(1\) है, जो \(x=1\) पर प्राप्त होता है, और न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=0,2\) पर प्राप्त होता है। अतः परास \([0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन की परास ज्ञात करते समय मूलांक का न्यूनतम और अधिकतम मान निर्धारित करें। / Rewrite the radicand as \(2x-x^2=1-(x-1)^2\). For the square root to be defined, \(2x-x^2\ge 0\), giving the domain \([0,2]\). The radicand has maximum value \(1\) at \(x=1\), and minimum value \(0\) at \(x=0,2\). Therefore, the function values range from \(0\) to \(1\), so the range is \([0,1]\). Option B is incorrect because a square root cannot be negative, while option D wrongly excludes \(0\). Exam tip: For a square-root function, first find the minimum and maximum values of the radicand.

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Correct Answer: A. [0,1]. Explanation: \(2x-x^2=1-(x-1)^2\)। वर्गमूल के लिए \(2x-x^2\ge 0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([0,2]\) है। इस व्यंजक का अधिकतम मान \(1\) है, जो \(x=1\) पर प्राप्त होता है, और न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=0,2\) पर प्राप्त होता है। अतः परास \([0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन की परास ज्ञात करते समय मूलांक का न्यूनतम और अधिकतम मान निर्धारित करें। / Rewrite the radicand as \(2x-x^2=1-(x-1)^2\). For the square root to be defined, \(2x-x^2\ge 0\), giving the domain \([0,2]\). The radicand has maximum value \(1\) at \(x=1\), and minimum value \(0\) at \(x=0,2\). Therefore, the function values range from \(0\) to \(1\), so the range is \([0,1]\). Option B is incorrect because a square root cannot be negative, while option D wrongly excludes \(0\). Exam tip: For a square-root function, first find the minimum and maximum values of the radicand.