Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि \(|x-2|\geq 0\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(y=|x-2|+1\geq 1\)। जब \(x=2\), तब \(|x-2|=0\) और \(y=1\) प्राप्त होता है। अतः फलन की परास \([1,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है और इसकी परास \([b,\infty)\) होती है। / Since \(|x-2|\geq 0\) for every real \(x\), we have \(y=|x-2|+1\geq 1\). At \(x=2\), \(|x-2|=0\), so \(y=1\) is attained. Therefore, the range is \([1,\infty)\). Exam tip: A function of the form \(|x-a|+b\) has minimum value \(b\) and range \([b,\infty)\).
डोमेन के लिए फलन के मान क्रमशः \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\) और \(f(5)=1\) हैं। इसलिए प्राप्त भिन्न-भिन्न मानों का समुच्चय, अर्थात् परास, \(\{1,2,3\}\) है। विकल्प D केवल बार-बार आने वाले मान \(1\) को ध्यान में रखता है और 2 तथा 3 को छोड़ देता है। परीक्षा में याद रखें कि परास, सहपरास का केवल एक उपसमुच्चय हो सकता है; दोनों हमेशा समान नहीं होते। / For the domain values, the function gives \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\), and \(f(5)=1\). Thus, the set of distinct output values, or the range, is \(\{1,2,3\}\). Option D includes only the repeated output 1 and omits 2 and 3. Exam tip: the range is the set of actual outputs, whereas the codomain may contain values that are not attained.
यदि
f:
\(\{0,1,2,3,4\}\to\{0,1,2,3,4\}\) को \(f(x)\), \(3x\) को \(5\) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है, तो इसका मान-परास क्या है?
डोमेन के लिए \(x=0,1,2,3,4\) रखने पर \(f(x)\) के मान क्रमशः \(0,3,1,4,2\) मिलते हैं। इसलिए प्राप्त मानों का समुच्चय \(\{0,1,2,3,4\}\) है, जो विकल्प A है। विकल्प D केवल कुछ सम मानों को दर्शाता है और \(1\) तथा \(3\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान-परास निकालने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव का वास्तविक प्रतिचित्रण लिखें; केवल सह-डोमेन देखकर उत्तर न दें। / Substituting \(x=0,1,2,3,4\) gives the remainders \(0,3,1,4,2\), respectively. Hence the set of attained values is \(\{0,1,2,3,4\}\), so option A is correct. Option D includes only some even remainders and omits \(1\) and \(3\). Exam tip: To find the range, evaluate the function for every element of the domain; do not simply copy the codomain.
यदि \(f:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4\}\) को \(f(x)=x\) द्वारा तब परिभाषित किया गया है जब \(x\) विषम हो, और \(f(x)=5-x\) द्वारा तब जब \(x\) सम हो, तो इसका परास (range) क्या है?
विषम मानों के लिए \(f(1)=1\) और \(f(3)=3\) मिलते हैं। सम मानों के लिए \(f(2)=5-2=3\) तथा \(f(4)=5-4=1\) मिलते हैं। इसलिए फलन के सभी विशिष्ट आउटपुट \(1\) और \(3\) हैं, अतः परास \(\{1,3\}\) है। ध्यान रखें कि परास में फलन के प्राप्त होने वाले विशिष्ट मान लिखे जाते हैं, पूरे सहपरिसर के सभी मान नहीं। / For the odd inputs, \(f(1)=1\) and \(f(3)=3\). For the even inputs, \(f(2)=5-2=3\) and \(f(4)=5-4=1\). Thus, the distinct output values are only \(1\) and \(3\), so the range is \(\{1,3\}\). Exam tip: the range contains the actual distinct outputs, not necessarily every element of the codomain.
डोमेन के प्रत्येक मान के लिए \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\) और \(f(4)=3\) मिलता है। अतः फलन से वास्तव में प्राप्त अलग-अलग मानों का समुच्चय \(\{1,2,3\}\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B डोमेन है, परास नहीं। परीक्षा टिप: परास ज्ञात करने के लिए फलन के सभी आउटपुट लिखकर केवल अलग-अलग मान लें। / For the domain values, \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\), and \(f(4)=3\). Hence, the set of distinct values actually attained by the function is \(\{1,2,3\}\), so option A is correct. Option B is the domain, not the range. Exam tip: To find the range, list all outputs and retain only the distinct values.
परास ठीक \(\{1,2\}\) होने के लिए प्रत्येक फलन का मान केवल 1 या 2 होना चाहिए और 1 तथा 2 दोनों कम-से-कम एक बार आने चाहिए। 4 अवयवों वाले \(A\) से \(\{1,2\}\) में कुल \(2^4=16\) फलन बनते हैं। इनमें दो स्थिर फलन—सभी अवयवों का मान 1 या सभी का मान 2—वांछित नहीं हैं। अतः फलनों की संख्या \(2^4-2=14\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी दो-तत्वीय समुच्चय पर onto फलनों की संख्या \(2^n-2\) होती है। / For the range to be exactly \(\{1,2\}\), every element of \(A\) must map to either 1 or 2, and both values must occur at least once. There are \(2^4=16\) functions from the four-element set \(A\) to \(\{1,2\}\). The two constant functions, mapping every element to 1 or every element to 2, must be excluded. Therefore, the required number is \(2^4-2=14\). Exam tip: the number of onto functions from an \(n\)-element set to a two-element set is \(2^n-2\).
समुच्चय \(A\) में विषम संख्याएँ \(1,3\) हैं, और उनके लिए \((-1)^x=-1\) मिलता है। सम संख्याएँ \(2,4\) हैं, और उनके लिए \((-1)^x=1\) मिलता है। अतः सभी निवेशों के प्रतिम्बों का समुच्चय \(\{-1,1\}\) है। केवल \(\{1\}\) या केवल \(\{-1\}\) लेने पर क्रमशः सम या विषम निवेश छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \((-1)^x\) में विषम घात पर \(-1\) और सम घात पर \(1\) आता है। / The odd elements of \(A\), namely \(1\) and \(3\), give \((-1)^x=-1\). The even elements, \(2\) and \(4\), give \((-1)^x=1\). Therefore, the set of all output values is \(\{-1,1\}\). The choices \(\{1\}\) and \(\{-1\}\) omit the outputs from odd and even inputs, respectively. Exam tip: \((-1)^x\) equals \(-1\) for an odd exponent and \(1\) for an even exponent.
\(x=1,2,3,4,5\) के लिए \(f(x)\) के मान क्रमशः \(0,1,1,2,2\) हैं, क्योंकि \(\lfloor y\rfloor\) का अर्थ \(y\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। अतः इन मानों के अलग-अलग सदस्यों का समुच्चय \(\{0,1,2\}\) है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=5\) पर मान \(\lfloor5/2\rfloor=2\) होता है, 3 नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास निकालते समय सह-डोमेन नहीं, बल्कि फलन द्वारा वास्तव में प्राप्त होने वाले अलग-अलग मान लिखें। / For \(x=1,2,3,4,5\), the values of \(f(x)\) are respectively \(0,1,1,2,2\), since \(\lfloor y\rfloor\) denotes the greatest integer less than or equal to \(y\). Therefore, the set of distinct output values is \(\{0,1,2\}\). Option C is incorrect because \(f(5)=\lfloor5/2\rfloor=2\), not 3. Exam tip: To find the range, list the distinct values actually produced by the function, not merely the elements of its codomain.
दिए गए प्रत्येक domain मान के लिए \(y=\frac{x+1}{2}\) निकालते हैं: \(x=1\) पर \(y=1\), \(x=3\) पर \(y=2\), \(x=5\) पर \(y=3\), और \(x=7\) पर \(y=4\)। इसलिए range \(\{1,2,3,4\}\) है। विकल्प B domain है, range नहीं। परीक्षा-युक्ति: function की range पाने के लिए दिए गए input मानों पर प्राप्त सभी distinct output लिखें। / Substitute each domain value into \(y=\frac{x+1}{2}\): for \(x=1\), \(y=1\); for \(x=3\), \(y=2\); for \(x=5\), \(y=3\); and for \(x=7\), \(y=4\). Hence, the range is \(\{1,2,3,4\}\). Option B is the domain, not the range. Exam tip: to find a function’s range, list all distinct output values obtained from the given inputs.
डोमेन के प्रत्येक मान के लिए \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\) और \(f(4)=1\) प्राप्त होता है। इसलिए प्राप्त सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय \(\{1,2,3,4\}\) है, जो इस फलन का परास है। विकल्प C में 1 छूट गया है और विकल्प B में 4 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव की image निकालकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / For every element of the domain, \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\), and \(f(4)=1\). Thus, the set of all images is \(\{1,2,3,4\}\), which is the range of the function. Option C omits 1, while option B omits 4. Exam tip: To find the range, evaluate the function for every element of the domain and collect the distinct output values.
