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Subjects
Class 11 Mathematics Expert Level 28

यदि \(A=\{a,b,c,d\}\) और \(B=\{1,2,3\}\) हों, तो \(A\) से \(B\) में ऐसे कितने फलन हैं जिनका परास ठीक \(\{1,2\}\) हो?

If \(A=\{a,b,c,d\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), how many functions from \(A\) to \(B\) have range exactly \(\{1,2\}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. 14

Explanation

Simple Explanation

परास ठीक \(\{1,2\}\) होने के लिए प्रत्येक फलन का मान केवल 1 या 2 होना चाहिए और 1 तथा 2 दोनों कम-से-कम एक बार आने चाहिए। 4 अवयवों वाले \(A\) से \(\{1,2\}\) में कुल \(2^4=16\) फलन बनते हैं। इनमें दो स्थिर फलन—सभी अवयवों का मान 1 या सभी का मान 2—वांछित नहीं हैं। अतः फलनों की संख्या \(2^4-2=14\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी दो-तत्वीय समुच्चय पर onto फलनों की संख्या \(2^n-2\) होती है। / For the range to be exactly \(\{1,2\}\), every element of \(A\) must map to either 1 or 2, and both values must occur at least once. There are \(2^4=16\) functions from the four-element set \(A\) to \(\{1,2\}\). The two constant functions, mapping every element to 1 or every element to 2, must be excluded. Therefore, the required number is \(2^4-2=14\). Exam tip: the number of onto functions from an \(n\)-element set to a two-element set is \(2^n-2\).

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यदि \(A=\{a,b,c,d\}\) और \(B=\{1,2,3\}\) हों, तो \(A\) से \(B\) में ऐसे कितने फलन हैं जिनका परास ठीक \(\{1,2\}\) हो? / If \(A=\{a,b,c,d\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), how many functions from \(A\) to \(B\) have range exactly \(\{1,2\}\)?

Correct Answer: B. 14. Explanation: परास ठीक \(\{1,2\}\) होने के लिए प्रत्येक फलन का मान केवल 1 या 2 होना चाहिए और 1 तथा 2 दोनों कम-से-कम एक बार आने चाहिए। 4 अवयवों वाले \(A\) से \(\{1,2\}\) में कुल \(2^4=16\) फलन बनते हैं। इनमें दो स्थिर फलन—सभी अवयवों का मान 1 या सभी का मान 2—वांछित नहीं हैं। अतः फलनों की संख्या \(2^4-2=14\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी दो-तत्वीय समुच्चय पर onto फलनों की संख्या \(2^n-2\) होती है। / For the range to be exactly \(\{1,2\}\), every element of \(A\) must map to either 1 or 2, and both values must occur at least once. There are \(2^4=16\) functions from the four-element set \(A\) to \(\{1,2\}\). The two constant functions, mapping every element to 1 or every element to 2, must be excluded. Therefore, the required number is \(2^4-2=14\). Exam tip: the number of onto functions from an \(n\)-element set to a two-element set is \(2^n-2\).