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डोमेन के लिए फलन के मान क्रमशः \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\) और \(f(5)=1\) हैं। इसलिए प्राप्त भिन्न-भिन्न मानों का समुच्चय, अर्थात् परास, \(\{1,2,3\}\) है। विकल्प D केवल बार-बार आने वाले मान \(1\) को ध्यान में रखता है और 2 तथा 3 को छोड़ देता है। परीक्षा में याद रखें कि परास, सहपरास का केवल एक उपसमुच्चय हो सकता है; दोनों हमेशा समान नहीं होते। / For the domain values, the function gives \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\), and \(f(5)=1\). Thus, the set of distinct output values, or the range, is \(\{1,2,3\}\). Option D includes only the repeated output 1 and omits 2 and 3. Exam tip: the range is the set of actual outputs, whereas the codomain may contain values that are not attained.
यदि फलन \(f:\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(f(n)=1\) जब \(n\), \(4\) से विभाज्य हो, और अन्यथा \(f(n)=0\) हो, तो \(f^{-1}(\{1\})\) क्या है?
\(f^{-1}(\{1\})\) का अर्थ उन सभी परिभाषा-समुच्चय के अवयवों का समुच्चय है जिनका प्रतिबिंब \(1\) है। दिए गए समुच्चय में \(4\) और \(8\) ही \(4\) से विभाज्य हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{1\})=\{4,8\}\)। विकल्प D में \(0\) शामिल है, लेकिन \(0\) फलन के परिभाषा-समुच्चय में है ही नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूर्वप्रतिबिंब निकालते समय सहपरिभाषा के दिए गए मान तक पहुँचने वाले इनपुट चुनें। / The preimage \(f^{-1}(\{1\})\) consists of all elements of the domain whose image is \(1\). Among the domain elements, only \(4\) and \(8\) are divisible by \(4\), so \(f^{-1}(\{1\})=\{4,8\}\). Option D is incorrect because \(0\) is not in the domain. Exam tip: To find a preimage, select the inputs that map to the specified output value.
दिया गया संबंध \(R=\{(x,y): |x+y|=2,\ x\in\{-2,0,2\},\ y\in\{-4,-2,0,2,4\}\}\) प्रांत \(\{-2,0,2\}\) से सहप्रांत \(\{-4,-2,0,2,4\}\) में माना गया है। यह संबंध फलन क्यों नहीं है?
A. क्योंकि \(x=0\) की दो छवियां \(y=2\) और \(y=-2\) हैं/Because \(x=0\) has two images, \(y=2\) and \(y=-2\)
Explanation
Simple Explanation
\(x=0\) रखने पर \(|y|=2\) मिलता है, इसलिए \(y=2\) और \(y=-2\) दोनों के लिए ordered pairs संबंध में आते हैं। फलन में प्रत्येक प्रांत-तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए; एक ही \(x\) की दो छवियां होने पर संबंध फलन नहीं रहता। वास्तव में \(x=2\) के लिए \(y=0,-4\) और \(x=-2\) के लिए \(y=0,4\) भी दो-दो छवियां मिलती हैं, इसलिए B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की जांच करते समय हर domain element से निकलने वाली images की संख्या देखें—ठीक एक होनी चाहिए। / Putting \(x=0\) into \(|x+y|=2\) gives \(|y|=2\), so both \(y=2\) and \(y=-2\) form ordered pairs in the relation. A function must assign exactly one image to each domain element; two images for the same \(x\) violate this condition. In fact, \(x=2\) gives \(y=0,-4\), and \(x=-2\) gives \(y=0,4\), so options B and C are also incorrect. Exam tip: to test a relation for being a function, check that every domain element has exactly one image.
डोमेन के प्रत्येक मान के लिए \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\) और \(f(4)=3\) मिलता है। अतः फलन से वास्तव में प्राप्त अलग-अलग मानों का समुच्चय \(\{1,2,3\}\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B डोमेन है, परास नहीं। परीक्षा टिप: परास ज्ञात करने के लिए फलन के सभी आउटपुट लिखकर केवल अलग-अलग मान लें। / For the domain values, \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\), and \(f(4)=3\). Hence, the set of distinct values actually attained by the function is \(\{1,2,3\}\), so option A is correct. Option B is the domain, not the range. Exam tip: To find the range, list all outputs and retain only the distinct values.
यदि \(f:\{1,2,3,4,5,6\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(3\) से विभाज्य \(n\) के लिए \(f(n)=0\) और अन्यथा \(f(n)=1\), तो \(f^{-1}(\{0\})\) क्या है?
\(f^{-1}(\{0\})\) उन सभी डोमेन अवयवों का समुच्चय है जिनका प्रतिचित्र \(0\) है। दिए गए डोमेन में \(3\) से विभाज्य संख्याएँ केवल \(3\) और \(6\) हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{0\})=\{3,6\}\)। विकल्प A उन संख्याओं का समुच्चय है जो \(3\) से विभाज्य नहीं हैं, जबकि विकल्प C और D में सह-डोमेन के अवयवों को इनपुट के साथ मिला दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पूर्वप्रतिबिम्ब \(f^{-1}(\{a\})\) निकालने के लिए डोमेन के उन सभी अवयवों को चुनें जिनके फलन-मान \(a\) हों। / \(f^{-1}(\{0\})\) is the set of all elements in the domain whose image is \(0\). Among the given domain elements, only \(3\) and \(6\) are divisible by \(3\), so \(f^{-1}(\{0\})=\{3,6\}\). Option A contains the inputs that are not divisible by \(3\), while options C and D incorrectly mix codomain and domain elements. Exam tip: To find \(f^{-1}(\{a\})\), select every domain element whose function value is \(a\).
डोमेन के प्रत्येक मान के लिए \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\) और \(f(4)=1\) प्राप्त होता है। इसलिए प्राप्त सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय \(\{1,2,3,4\}\) है, जो इस फलन का परास है। विकल्प C में 1 छूट गया है और विकल्प B में 4 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव की image निकालकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / For every element of the domain, \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\), and \(f(4)=1\). Thus, the set of all images is \(\{1,2,3,4\}\), which is the range of the function. Option C omits 1, while option B omits 4. Exam tip: To find the range, evaluate the function for every element of the domain and collect the distinct output values.
दिए गए फलन नियम में x=1 रखने पर �(f(1)=5-1=4�) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 3 निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प हो सकता है, लेकिन 5 में से 1 घटाने पर 4 मिलता है। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान निकालने के लिए दिए गए इनपुट को सीधे नियम में प्रतिस्थापित करें। / Substituting x=1 in the given rule gives �(f(1)=5-1=4�). Therefore, the correct answer is 4. The value 3 may seem close, but subtracting 1 from 5 gives 4, not 3. Exam tip: Substitute the given input directly into the function rule.
किसी फलन में समुच्चय \(A\) के प्रत्येक तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए। यहाँ पहला घटक \(2\) दो क्रमित युग्मों, \((2,6)\) और \((2,7)\), में आता है; इसलिए इसकी दो अलग-अलग छवियाँ हैं और यह फलन की शर्त का उल्लंघन करता है। जबकि \(1\) और \(3\) की एक-एक छवि है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचते समय क्रमित युग्मों के पहले घटकों को देखें और किसी भी दोहराए गए पहले घटक की अलग छवियाँ हों तो उसे चिन्हित करें। / For a function, every element of the domain \(A\) must have exactly one image. Here, the first component \(2\) appears in \((2,6)\) and \((2,7)\), so it has two different images and violates the function condition. In contrast, \(1\) and \(3\) each have exactly one image. Exam tip: check the first components of the ordered pairs; a repeated first component with different second components indicates a violation.
A. दो भिन्न इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है/Two different inputs can have the same output
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(f(-1)=(-1)^2=1\) और \(f(1)=1^2=1\) है। इसलिए दो अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है; इसे one-one न होकर many-one फलन कहा जाता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि किसी फलन में प्रत्येक इनपुट का केवल एक निश्चित आउटपुट होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय देखें कि कोई एक इनपुट दो अलग आउटपुट न दे। / Here, \(f(-1)=(-1)^2=1\) and \(f(1)=1^2=1\). Thus, two different inputs can have the same output; such a function is many-one rather than one-one. Option B is incorrect because each input in a function must have exactly one output. Exam tip: to test whether a relation is a function, check that no single input is assigned two different outputs.
फलन में प्रांत के प्रत्येक तत्व का सहप्रांत में ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। यहाँ 1 का प्रतिबिंब 4, 2 का 5 और 3 का 6 है; इसलिए प्रत्येक प्रांत तत्व से केवल एक तीर निकलता है और यह फलन है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी प्रांत तत्व के एक से अधिक या शून्य प्रतिबिंब नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: तीरों की जाँच हमेशा प्रांत के तत्वों से शुरू करें। / For a function, every element of the domain must have exactly one image in the codomain. Here, 1 maps to 4, 2 maps to 5, and 3 maps to 6, so exactly one arrow leaves each domain element; hence the relation is a function. Option B is incorrect because no domain element has either zero or more than one image. Exam tip: When checking a mapping, start by examining every element of the domain.
समुच्चय A में केवल एक अवयव 2 है। इस अवयव की छवि B के दो अवयवों—5 या 6—में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए फलनों की संख्या \(2^1 = 2\) होगी। विकल्प 1 केवल एक संभावित फलन को दर्शाता है, जबकि यहाँ दो अलग-अलग फलन संभव हैं। परीक्षा में A से B के फलनों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र \(n(B)^{n(A)}\) याद रखें। / Set A has only one element, 2. Its image can be chosen as either 5 or 6 from set B, giving two different functions. Hence, the number of functions is \(2^1 = 2\). Option 1 counts only one possible function, whereas both choices are possible. For such questions, use the formula \(n(B)^{n(A)}\) for the number of functions from A to B.
A. \(f(x)\), जो \(B\) में स्थित होता है/\(f(x)\), which lies in \(B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f:A\to B\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव \(x\) का एक निश्चित आउटपुट \(f(x)\) होता है; यही \(x\) का प्रतिबिंब कहलाता है और यह सहप्रांत \(B\) में स्थित होता है। विकल्प B इनपुट या पूर्वप्रतिबिंब को दर्शाता है, जबकि विकल्प D ग्राफ का क्रमित युग्म है, प्रतिबिंब नहीं। परीक्षा-युक्ति: इनपुट \(x\) से आउटपुट \(f(x)\) तक जाने पर प्रतिबिंब मिलता है। / For a function \(f:A\to B\), each element \(x\) of the domain \(A\) has a unique output \(f(x)\); this output is the image of \(x\) and lies in the codomain \(B\). Option B represents the input or preimage, while option D is the ordered pair used to describe a point on the graph. Exam tip: the image is obtained by applying the function to the input, giving \(f(x)\).
प्रत्येक अवयव x \(\in A\) का प्रतिचित्रण 10 पर होता है। इसलिए फलन के सभी प्रतिमानों का समुच्चय केवल \(\{10\}\) है। यह एक स्थिर फलन है और परिसर में किसी मान को दोहराया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन \(f(x)=c\) का परिसर हमेशा \(\{c\}\) होता है, बशर्ते प्रांत अशून्य हो। / Every element x \(\in A\) is mapped to 10, so the set of all output values is only \(\{10\}\). This is a constant function, and repeated output values are listed only once in the range. Exam tip: for a constant function \(f(x)=c\), the range is \(\{c\}\), provided the domain is non-empty.
A से B में प्रत्येक फलन के लिए A के प्रत्येक अवयव की छवि B के 4 अवयवों में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए 2 अवयवों के लिए कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^2=16\) होगी। विकल्प \(2^2\) में B के 4 विकल्पों को अनदेखा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: A से B में फलनों की संख्या हमेशा \(|B|^{|A|}\) होती है। / For a function from A to B, each of the 2 elements of A can be mapped to any of the 4 elements of B. Hence, the total number of functions is \(|B|^{|A|}=4^2=16\). The expression \(2^2\) incorrectly ignores the 4 available choices in B. Exam tip: For functions from A to B, use \(|B|^{|A|}\), with the codomain size as the base and the domain size as the exponent.
समुच्चय A में केवल एक तत्व 1 है। इस तत्व की B के तीनों तत्वों—2, 3 या 4—में से किसी एक से छवि बनाई जा सकती है। इसलिए फलनों की कुल संख्या 3 है, अर्थात् 31 = 3। विकल्प 1 केवल एक निश्चित फलन को दर्शाता है, जबकि यहाँ तीन संभावित फलन हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि परिभाषा-क्षेत्र में n तत्व और सह-परिभाषा-क्षेत्र में m तत्व हों, तो फलनों की संख्या m^n होती है। / Set A has only one element, 1. Its image can be any one of the three elements of B: 2, 3, or 4. Hence, the total number of functions is 3, that is, 31 = 3. Option 1 would represent only one particular function, not all possible functions. Exam tip: If the domain has n elements and the codomain has m elements, the number of functions is m^n.
A. प्रत्येक x के लिए केवल एक f(x) निर्धारित होता है/For every x, exactly one f(x) is defined
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत के प्रत्येक x का सहप्रांत में ठीक एक प्रतिबिंब f(x) होना चाहिए। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B अद्वितीयता का उल्लंघन करता है, जबकि विकल्प C दर्शाता है कि प्रांत का कोई तत्व अप्रतिबिंबित है। विकल्प D फलन की आवश्यक शर्त नहीं, बल्कि एक-एक फलन (injective function) से संबंधित विचार है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचते समय देखें कि प्रत्येक input का केवल एक output हो। / In a function, every x in the domain must have exactly one corresponding value f(x) in the codomain, so option A is correct. Option B violates uniqueness, while option C leaves a domain element without an image. Option D is not required for a function; it relates to an injective function, where distinct inputs have distinct outputs. Exam tip: check that each input has one and only one output.
फलन में परिभाषा-समुच्चय \(A\) के प्रत्येक तत्व की \(B\) में ठीक एक प्रतिच्छवि होनी चाहिए। विकल्प A में 1, 2 और 3 प्रत्येक एक बार आते हैं और उनकी प्रतिच्छवियाँ क्रमशः 4, 5 और 4 हैं। विकल्प B में 3 की कोई प्रतिच्छवि नहीं है, जबकि C में 2 की दो प्रतिच्छवियाँ हैं और D में 1 की दो प्रतिच्छवियाँ हैं। परीक्षा-युक्ति: डोमेन के हर तत्व को ठीक एक बार जाँचें। / For a function, every element of the domain \(A\) must have exactly one image in \(B\). In option A, 1, 2, and 3 each occur once, with images 4, 5, and 4 respectively. In option B, 3 has no image; in C, 2 has two images; and in D, 1 has two images. Exam tip: check that every domain element appears exactly once as the first component.
स्थिर फलन में प्रांत के प्रत्येक तत्व का प्रतिचित्र या फलन-मान समान होता है; अर्थात सभी तत्व सहप्रांत के एक ही निश्चित तत्व से सम्बद्ध होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B अलग-अलग फलन-मान दर्शाता है, जो स्थिर फलन की विशेषता नहीं है। परीक्षा में याद रखें: स्थिर फलन का ग्राफ एक क्षैतिज रेखा होता है। / In a constant function, every domain element has the same image or function value; therefore, all domain elements are associated with one fixed element of the codomain. Hence, option A is correct. Option B represents different function values, which is not the defining property of a constant function. Exam tip: the graph of a constant function is a horizontal line.
फलन में परिभाषा-समुच्चय के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही प्रतिबिंब होना चाहिए। विकल्प A में 1 के दो अलग-अलग प्रतिबिंब 5 और 6 हैं, इसलिए यह फलन नहीं है। अन्य विकल्पों में 1 और 2, दोनों का केवल एक-एक प्रतिबिंब है। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध के फलन होने की जाँच करते समय पहले अवयव को दोहराकर देखें। / In a function, every element of the domain must have exactly one image. In option A, the input 1 has two different images, 5 and 6, so the relation is not a function. In the other options, both 1 and 2 have exactly one image each. Exam tip: To test a relation quickly, check whether any first coordinate is paired with more than one second coordinate.
