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Class 11 Mathematics - Relations and Functions - Real valued functions, domain and range of these functions Hard Quiz

Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Hard Class 11 Level 29

Level 29 • 3/50 questions • 30 seconds per question.

Level readiness 3/50 Questions
Time Left 01:30 30 sec/question
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ModeClassic Quiz
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Question 1/3 Hard Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 29

यदि \(f:\{1,2,3,4\}\to\{0,1\}\) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि \(x\) सम होने पर \(f(x)=0\) और \(x\) विषम होने पर \(f(x)=1\), तो \(f\) का परिसर क्या है?

If \(f:\{1,2,3,4\}\to\{0,1\}\) is defined such that \(f(x)=0\) when \(x\) is even and \(f(x)=1\) when \(x\) is odd, what is the range of \(f\)?

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Correct Answer

C. \(\{0,1\}\)

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परिभाषा के अनुसार, सम संख्याओं \(2\) और \(4\) के लिए \(f(x)=0\), जबकि विषम संख्याओं \(1\) और \(3\) के लिए \(f(x)=1\)। इसलिए फलन के सभी प्राप्त मानों का समुच्चय \(\{0,1\}\) है। विकल्प \(D\) परिसर नहीं, बल्कि फलन का प्रांत है। परीक्षा-युक्ति: परिसर ज्ञात करने के लिए प्रांत के प्रत्येक अवयव के फलन-मान लिखकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / By definition, the even inputs \(2\) and \(4\) give \(f(x)=0\), while the odd inputs \(1\) and \(3\) give \(f(x)=1\). Hence, the set of all output values is \(\{0,1\}\). Option D is the domain, not the range. Exam tip: To find a range, evaluate the function at every domain element and list only the distinct output values.

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Question 2/3 Hard Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 29

वास्तविक-मूल्य फलन \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\) के प्रांत और परास का सही वर्णन कौन-सा है?

Which of the following correctly describes the domain and range of the real-valued function \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)?

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Correct Answer

A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); परास \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\)Domain \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); Range \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\)

Explanation

Simple Explanation

हर के शून्य न होने की शर्त से \(x^2-1\ne0\), अतः \(x\ne\pm1\)। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) है। परास के लिए \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\) लेने पर \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। चूँकि \(x^2\ge0\) और \(y\ne1\), इसलिए \(y\le-1\) या \(y>1\) होना चाहिए। \(y=-1\), \(x=0\) पर प्राप्त होता है, लेकिन \(y=1\) कभी प्राप्त नहीं होता। विकल्प B में प्रांत से निकाले गए मानों को गलत ढंग से परास से निकाले गए मान मान लिया गया है। परीक्षा टिप: परिमेय फलनों में पहले हर से प्रांत ज्ञात करें, फिर आउटपुट के लिए अलग से शर्त जाँचें। / The denominator must be non-zero: \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). Hence, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). For the range, let \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\). Then \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\). Since \(x^2\ge0\) and \(y\ne1\), we must have \(y\le-1\) or \(y>1\). The value \(y=-1\) occurs at \(x=0\), whereas \(y=1\) is never attained. Option B incorrectly treats excluded domain values as excluded range values. Exam tip: for rational functions, find denominator restrictions first, then determine range separately.

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Question 3/3 Hard Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 29

मान लें कि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(f:A\to\mathbb{Z}\) द्वारा \(f(x)=(-1)^x\) परिभाषित है। \(f\) का परास (range) क्या है?

Let \(A=\{1,2,3,4\}\) and define \(f:A\to\mathbb{Z}\) by \(f(x)=(-1)^x\). What is the range of \(f\)?

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Correct Answer

A. \(\{-1,1\}\)

Explanation

Simple Explanation

समुच्चय \(A\) में विषम संख्याएँ \(1,3\) हैं, और उनके लिए \((-1)^x=-1\) मिलता है। सम संख्याएँ \(2,4\) हैं, और उनके लिए \((-1)^x=1\) मिलता है। अतः सभी निवेशों के प्रतिम्बों का समुच्चय \(\{-1,1\}\) है। केवल \(\{1\}\) या केवल \(\{-1\}\) लेने पर क्रमशः सम या विषम निवेश छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \((-1)^x\) में विषम घात पर \(-1\) और सम घात पर \(1\) आता है। / The odd elements of \(A\), namely \(1\) and \(3\), give \((-1)^x=-1\). The even elements, \(2\) and \(4\), give \((-1)^x=1\). Therefore, the set of all output values is \(\{-1,1\}\). The choices \(\{1\}\) and \(\{-1\}\) omit the outputs from odd and even inputs, respectively. Exam tip: \((-1)^x\) equals \(-1\) for an odd exponent and \(1\) for an even exponent.

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