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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Hard Level 31

यदि वास्तविक संख्या परिभाषित फलन \(f(x)=\frac{2}{(x+3)^2+1}-4\) है, तो इसका परिसर क्या होगा?

If \(f(x)=\frac{2}{(x+3)^2+1}-4\) is defined for all real numbers, what is its range?

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Correct Answer

A. \((-4,-2]\)

Explanation

Simple Explanation

चूँकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए \((x+3)^2+1\ge 1\)। अतः \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\)। \(x=-3\) पर भिन्न का अधिकतम मान \(2\) है, इसलिए \(f(x)\) का अधिकतम मान \(-2\) होता है और यह प्राप्त होता है। जब \(|x|\to\infty\), तब भिन्न \(0\) के निकट जाता है, इसलिए \(f(x)\) \(-4\) के निकट जाता है, पर कभी \(-4\) नहीं होता। इसलिए परिसर \((-4,-2]\) है। विकल्प B में \(-4\) को शामिल किया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करके हर और फिर फलन की सीमा निर्धारित करें। / Since \((x+3)^2\ge 0\), we get \((x+3)^2+1\ge 1\). Hence, \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\). At \(x=-3\), the fraction attains its maximum value \(2\), so \(f(x)\) attains the maximum value \(-2\). As \(|x|\to\infty\), the fraction approaches \(0\), so \(f(x)\) approaches \(-4\) but never equals it. Therefore, the range is \((-4,-2]\). Option B is incorrect because it includes \(-4\). Exam tip: For expressions involving a squared term in the denominator, first find the minimum possible denominator.

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Correct Answer: A. \((-4,-2]\). Explanation: चूँकि \((x+3)^2\ge 0\), इसलिए \((x+3)^2+1\ge 1\)। अतः \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\)। \(x=-3\) पर भिन्न का अधिकतम मान \(2\) है, इसलिए \(f(x)\) का अधिकतम मान \(-2\) होता है और यह प्राप्त होता है। जब \(|x|\to\infty\), तब भिन्न \(0\) के निकट जाता है, इसलिए \(f(x)\) \(-4\) के निकट जाता है, पर कभी \(-4\) नहीं होता। इसलिए परिसर \((-4,-2]\) है। विकल्प B में \(-4\) को शामिल किया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करके हर और फिर फलन की सीमा निर्धारित करें। / Since \((x+3)^2\ge 0\), we get \((x+3)^2+1\ge 1\). Hence, \(0<\frac{2}{(x+3)^2+1}\le 2\). At \(x=-3\), the fraction attains its maximum value \(2\), so \(f(x)\) attains the maximum value \(-2\). As \(|x|\to\infty\), the fraction approaches \(0\), so \(f(x)\) approaches \(-4\) but never equals it. Therefore, the range is \((-4,-2]\). Option B is incorrect because it includes \(-4\). Exam tip: For expressions involving a squared term in the denominator, first find the minimum possible denominator.