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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Hard Level 31

यदि वास्तविक संख्या के लिए फलन \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}\) है, तो इसका परास क्या है?

For real \(x\), if \(f(x)=\frac{x^2+4}{x^2+1}\), what is its range?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((1,4]\)

Explanation

Simple Explanation

फलन को \(f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\) लिखें। क्योंकि \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1\) और \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq 3\)। अतः \(1<f(x)\leq 4\), इसलिए परास \((1,4]\) है। \(x=0\) पर \(f(x)=4\) मिलता है, इसलिए 4 शामिल है। \(1\) केवल \(|x|\to\infty\) होने पर निकट आता है, किसी वास्तविक \(x\) पर प्राप्त नहीं होता; इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: परास में प्रत्येक endpoint के लिए जाँचें कि वह वास्तव में प्राप्त होता है या केवल निकट आता है। / Rewrite the function as \(f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\). Since \(x^2\geq 0\), we have \(x^2+1\geq 1\), so \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq 3\). Hence \(1<f(x)\leq 4\), giving the range \((1,4]\). The value \(4\) is attained at \(x=0\), so it is included. The value \(1\) is approached only as \(|x|\to\infty\) and is never attained for real \(x\), so option B is incorrect. Exam tip: always test whether a range endpoint is attained or merely approached.

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Correct Answer: A. \((1,4]\). Explanation: फलन को \(f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\) लिखें। क्योंकि \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1\) और \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq 3\)। अतः \(1<f(x)\leq 4\), इसलिए परास \((1,4]\) है। \(x=0\) पर \(f(x)=4\) मिलता है, इसलिए 4 शामिल है। \(1\) केवल \(|x|\to\infty\) होने पर निकट आता है, किसी वास्तविक \(x\) पर प्राप्त नहीं होता; इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: परास में प्रत्येक endpoint के लिए जाँचें कि वह वास्तव में प्राप्त होता है या केवल निकट आता है। / Rewrite the function as \(f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\). Since \(x^2\geq 0\), we have \(x^2+1\geq 1\), so \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq 3\). Hence \(1<f(x)\leq 4\), giving the range \((1,4]\). The value \(4\) is attained at \(x=0\), so it is included. The value \(1\) is approached only as \(|x|\to\infty\) and is never attained for real \(x\), so option B is incorrect. Exam tip: always test whether a range endpoint is attained or merely approached.