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फलन \(f:A\to B\) में \(A\) उन सभी प्रारम्भिक अवयवों का समुच्चय है जिन पर फलन परिभाषित होता है, इसलिए इसे प्रांत (Domain) कहते हैं। \(B\) सहप्रांत होता है, जबकि फलन के वास्तविक मानों का समुच्चय परिसर (Range) कहलाता है और वह सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। परीक्षा में \(f:A\to B\) लिखे होने पर पहले समुच्चय को प्रांत और दूसरे को सहप्रांत पहचानें। / In the function \(f:A\to B\), \(A\) is the set of all input elements on which the function is defined, so it is called the domain. \(B\) is the codomain, while the set of actual output values is the range, which may be a subset of the codomain. In an exam, identify the first set in \(f:A\to B\) as the domain and the second as the codomain.
किसी फलन को दर्शाने वाले क्रमित युग्मों में प्रथम अवयवों का समुच्चय प्रांत कहलाता है। यहाँ प्रथम अवयव 2, 3 और 4 हैं, इसलिए प्रांत \(\{2,3,4\}\) है। विकल्प B सह-प्रांत/परास से संबंधित है, क्योंकि उसमें द्वितीय अवयव दिए गए हैं। परीक्षा सुझाव: क्रमित युग्म \((x,y)\) में x-अवयवों से प्रांत और y-अवयवों से परास पहचानें। / The domain of a function represented by ordered pairs is the set of their first components. Here, the first components are 2, 3, and 4, so the domain is \(\{2,3,4\}\). Option B lists the second components, which form the range. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), the x-values form the domain and the y-values form the range.
चूँकि \(2\) दिए गए प्रांत \(\{1,2,3\}\) का सदस्य है, इसलिए फलन में \(x=2\) रखने पर \(f(2)=2+2=4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में केवल 3 लेने से स्थिरांक 2 जुड़ना छूट जाता है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए इनपुट को सीधे \(x\) के स्थान पर रखें। / Since \(2\) belongs to the given domain \(\{1,2,3\}\), substitute \(x=2\) in the rule: \(f(2)=2+2=4\). Option B incorrectly omits the added constant 2. Exam tip: to find a function value, replace \(x\) directly with the given input.
समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव पर फलन का नियम \(f(x)=x-1\) लागू करें: \(f(2)=1\), \(f(3)=2\) और \(f(4)=3\)। इसलिए \(f(A)=\{1,2,3\}\)। विकल्प B मूल समुच्चय है, जबकि वह फलन से प्राप्त प्रतिबिंबित मानों का समुच्चय नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का फलन-प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए उसके प्रत्येक अवयव की छवि निकालें। / Apply the rule \(f(x)=x-1\) to every element of \(A\): \(f(2)=1\), \(f(3)=2\), and \(f(4)=3\). Hence, \(f(A)=\{1,2,3\}\). Option B is only the original set, not the set of images produced by the function. Exam tip: To find the image of a set, apply the function to each of its elements and collect the resulting values.
समुच्चय \(f(A)\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव का फलन-मान लिया जाता है। यहाँ \(f(1)=\sqrt{1}=1\), \(f(4)=\sqrt{4}=2\) और \(f(9)=\sqrt{9}=3\), इसलिए \(f(A)=\{1,2,3\}\)। विकल्प B केवल मूल समुच्चय \(A\) है, उसके प्रतिबिंब या image का समुच्चय नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(f(A)\) निकालने के लिए दिए गए समुच्चय के हर अवयव पर फलन लागू करें। / The set \(f(A)\) contains the function values of every element of \(A\). Here, \(f(1)=\sqrt{1}=1\), \(f(4)=\sqrt{4}=2\), and \(f(9)=\sqrt{9}=3\), so \(f(A)=\{1,2,3\}\). Option B is only the original set \(A\), not its image under the function. Exam tip: To find \(f(A)\), apply the function separately to each element of \(A\).
\(f(x)=x^2+4\) में हर वास्तविक \(x\) रखने पर मान परिभाषित होता है, इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B में \(x=-2\) मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: मूल वाले फलन में मूल के अंदर का व्यंजक \(\geq 0\) होना चाहिए। / For \(f(x)=x^2+4\), every real value of \(x\) gives a defined output, so its domain is \(\mathbb{R}\). In option B, \(x=-2\) is excluded. Exam tip: for square-root functions, the expression inside the root must be \(\geq 0\).
किसी फलन का प्रांत उसके क्रमित युग्मों के सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय होता है। यहां प्रथम अवयव 5, 6 और 7 हैं, इसलिए प्रांत \(\{5,6,7\}\) है। विकल्प B केवल परास \(\{1,2\}\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म \((x,y)\) में सभी \(x\)-मान प्रांत और सभी \(y\)-मान परास बनाते हैं। / The domain of a function is the set of all first components of its ordered pairs. Here, the first components are 5, 6, and 7, so the domain is \(\{5,6,7\}\). Option B is the range, not the domain, because it contains the second components 1 and 2. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), collect the \(x\)-values for the domain and the \(y\)-values for the range.
प्रत्येक अवयव x \(\in A\) का प्रतिचित्रण 10 पर होता है। इसलिए फलन के सभी प्रतिमानों का समुच्चय केवल \(\{10\}\) है। यह एक स्थिर फलन है और परिसर में किसी मान को दोहराया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन \(f(x)=c\) का परिसर हमेशा \(\{c\}\) होता है, बशर्ते प्रांत अशून्य हो। / Every element x \(\in A\) is mapped to 10, so the set of all output values is only \(\{10\}\). This is a constant function, and repeated output values are listed only once in the range. Exam tip: for a constant function \(f(x)=c\), the range is \(\{c\}\), provided the domain is non-empty.
f(A) ज्ञात करने के लिए f(x) = x − 2 को A के प्रत्येक अवयव पर लागू करते हैं: f(2) = 0, f(4) = 2 और f(6) = 4। इसलिए f(A) = {0, 2, 4}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह फलन लागू करने से पहले का समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का प्रतिबिंब ज्ञात करते समय फलन के नियम को उसके प्रत्येक अवयव पर अलग-अलग लागू करें। / To find f(A), apply the rule f(x) = x − 2 to every element of A: f(2) = 0, f(4) = 2, and f(6) = 4. Therefore, f(A) = {0, 2, 4}. Option B is incorrect because it is the original set before applying the function. Exam tip: To find the image of a set, apply the function rule separately to each element of the set.
\(f(a)=a^2\) होने के कारण \(a^2=16\), इसलिए \(a=\pm4\)। प्रश्न में धनात्मक मान पूछा गया है, अतः \(a=4\) सही है। विकल्प 16, \(f(a)\) का मान है, \(a\) का नहीं। परीक्षा-टिप: वर्गमूल लेते समय दोनों चिह्न आते हैं, लेकिन दी गई धनात्मक या ऋणात्मक शर्त के अनुसार सही मान चुनें। / Since \(f(a)=a^2\), we have \(a^2=16\), giving \(a=\pm4\). The question asks for the positive value, so \(a=4\) is correct. The value 16 is \(f(a)\), not \(a\). Exam tip: when taking a square root, consider both signs and then apply any stated sign condition.
किसी फलन का परिसर उसके सभी वास्तविक प्राप्त मानों का समुच्चय होता है। यहाँ दोनों क्रमित युग्मों के द्वितीय घटक 3 हैं, इसलिए परिसर \(\{3\}\) होगा; समुच्चय में 3 को दो बार नहीं लिखा जाता। \(\{3,4\}\) सहपरिसर है, परिसर नहीं, क्योंकि 4 का कोई प्रतिलोम प्रतिबिंब नहीं है। परीक्षा-युक्ति: परिसर ज्ञात करने के लिए क्रमित युग्मों के केवल द्वितीय घटकों को लें। / The range of a function is the set of all actual output values. In both ordered pairs, the second component is 3, so the range is \(\{3\}\); a set lists 3 only once. \(\{3,4\}\) is the codomain, not the range, because no element of \(A\) maps to 4. Exam tip: To find the range from ordered pairs, collect their second components.
परास ज्ञात करने के लिए परिभाषा-क्षेत्र के प्रत्येक मान को फलन में रखते हैं: \(f(0)=1\), \(f(2)=3\) और \(f(4)=5\)। इसलिए परास \(\{1,3,5\}\) है। विकल्प B केवल परिभाषा-क्षेत्र को दोहराता है, परास को नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का परास पाने के लिए दिए गए प्रत्येक input पर फलन का मान निकालें। / To find the range, substitute each domain value into the function: \(f(0)=1\), \(f(2)=3\), and \(f(4)=5\). Therefore, the range is \(\{1,3,5\}\). Option B merely repeats the domain, not the range. Exam tip: calculate the function value for every given input to obtain the range.
बहुपद फलन \(x^2+1\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है, इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। \(\frac{1}{x-3}\) में \(x=3\) वर्जित है। परीक्षा टिप: हर और वर्गमूल की शर्त पहले जाँचें। / The polynomial \(x^2+1\) is defined for every real \(x\), so its domain is \(\mathbb{R}\). In \(\frac{1}{x-3}\), \(x=3\) is excluded. Exam tip: first check denominator and square-root restrictions.
किसी संबंध या फलन का प्रांत क्रमित युग्मों के प्रथम अवयवों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम अवयव 3, 5 और 7 हैं, इसलिए प्रांत {3, 5, 7} है। विकल्प B परास (range) है, प्रांत नहीं। परीक्षा में domain ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला अवयव लें। / The domain of a relation or function is the set of first components of its ordered pairs. Here, the first components are 3, 5, and 7, so the domain is {3, 5, 7}. Option B is the range, not the domain. In an exam, identify the domain by collecting the first element from every ordered pair.
किसी फलन का परास उसके क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय होता है। यहाँ द्वितीय अवयव 4, 6, 8 और 10 हैं, इसलिए परास \(\{4,6,8,10\}\) है। विकल्प B प्रांत है, क्योंकि उसमें सभी प्रथम अवयव दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म \((x,y)\) में सभी \(y\)-मानों का समुच्चय परास होता है। / The range of a function is the set of all second components of its ordered pairs. Here, the second components are 4, 6, 8, and 10, so the range is \(\{4,6,8,10\}\). Option B is the domain because it contains all the first components. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), collect the y-values to find the range.
समुच्चय f(A) में A के प्रत्येक अवयव का फलन-मान शामिल होता है। इसलिए f(4)=4−4=0, f(5)=5−4=1 और f(9)=9−4=5। अतः f(A)={0,1,5} है। विकल्प B मूल परिभाषा-क्षेत्र A है, उसके फलन-मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: image set निकालने के लिए परिभाषा-क्षेत्र के प्रत्येक अवयव को फलन में क्रमशः रखें। / The set f(A) contains the function values corresponding to every element of A. Thus, f(4)=4−4=0, f(5)=5−4=1, and f(9)=9−4=5. Therefore, f(A)={0,1,5}. Option B is the original domain A, not its image under f. Exam tip: To find an image set, substitute each element of the domain into the function one by one.
A. परास, \(B\) का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of \(B\)
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f:A\to B\) में प्रत्येक \(a\in A\) का प्रतिबिंब \(B\) में होता है। इन सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय परास कहलाता है, इसलिए परास \(B\) का उपसमुच्चय होता है। परास \(B\) के बराबर केवल तब होता है जब फलन आच्छादी (onto) हो। परीक्षा-युक्ति: परास हमेशा सहप्रांत के अंदर होता है, लेकिन दोनों हमेशा समान नहीं होते। / For a function \(f:A\to B\), the image of every \(a\in A\) lies in \(B\). The set of all such images is the range, so the range is a subset of the codomain \(B\). It equals \(B\) only when the function is onto. Exam tip: the range is always contained in the codomain, but it need not fill the entire codomain.
समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव पर फलन लागू करते हैं: \(f(-2)=|-2|=2\), \(f(0)=0\), और \(f(3)=3\)। इसलिए \(f(A)=\{2,0,3\}=\{0,2,3\}\)। विकल्प B केवल मूल समुच्चय \(A\) को दोहराता है, जबकि \(f(A)\) में फलन से प्राप्त मान लिखे जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का image set निकालने के लिए उसके हर अवयव का function value ज्ञात करें और दोहराए गए मान केवल एक बार लिखें। / Apply the function to each element of \(A\): \(f(-2)=|-2|=2\), \(f(0)=0\), and \(f(3)=3\). Hence, \(f(A)=\{2,0,3\}=\{0,2,3\}\). Option B is just the original set \(A\), not its image under \(f\). Exam tip: To find an image set, evaluate the function for every element of the given set and list each resulting value only once.
रेखीय फलन (f(x)=x+3) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में हर रेखीय फलन का प्रांत सामान्यतः \(\mathbb{R}\) लें। / The linear function (f(x)=x+3) is defined for every real (x). In exams, the domain of a basic linear function is usually \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। इसलिए सबसे छोटा मान (0) है और परिसर \([0,\infty\)) है। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). So the least value is (0), and the range is \([0,\infty\)).
वास्तविक संख्याओं में \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित होता है जब \(x\geq 0\) हो। अतः \(0\) तथा सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ डोमेन में होंगी, इसलिए वास्तविक प्रांत \([0,\infty)\) है। विकल्प D में \(0\) शामिल नहीं है, जबकि \(\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में मूल चिह्न के भीतर का व्यंजक \(\geq 0\) रखें। / Over the real numbers, \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\geq 0\). Therefore, zero and every positive real number belong to the domain, giving \([0,\infty)\). Option D excludes zero, but \(\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: For a square-root function, require the expression inside the radical to be \(\geq 0\).
हर में (x) है, इसलिए (x=0) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर को (0) न बनने दें। / The denominator is (x), so the function is not defined at (x=0). In exams, make sure the denominator is not (0).
यह स्थिर फलन है और हर (x) पर मान (5) ही देता है। स्थिर फलन का परिसर एकल समुच्चय होता है। / This is a constant function and gives only the value (5). The range of a constant function is a singleton set.
फलन में fx के स्थान पर 3 रखने पर f(3)=2(3)-1=6-1=5 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 5 है। 6 चुनने पर अंतिम -1 घटाना छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को चर के स्थान पर सीधे रखें। / Substitute 3 for fx in the function: f(3)=2(3)-1=6-1=5. Therefore, the correct answer is 5. The option 6 results from forgetting to subtract 1. Exam tip: To find a function value, replace the variable with the given input and simplify carefully.
वर्गमूल के अंदर \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x \ge 2\) और प्रांत \([2,\infty\)) है। / The expression inside the square root must satisfy \(x-2 \ge 0\). Thus \(x \ge 2\), so the domain is \([2,\infty\)).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+1\ge 1\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=1\), अतः 1 परास में शामिल है और फलन का परास \([1,\infty)\) है। विकल्प B में \(+1\) का प्रभाव नहीं लिया गया है, जबकि विकल्प D में 1 को अनावश्यक रूप से बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन में पहले वर्ग का न्यूनतम मान ज्ञात करें और फिर स्थिर पद जोड़ें। / For every real value of \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence, \(f(x)=x^2+1\ge 1\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is included in the range, giving \([1,\infty)\). Option B ignores the effect of the added 1, while option D incorrectly excludes the attainable endpoint 1. Exam tip: For a quadratic of the form \(x^2+c\), find the minimum of \(x^2\) first and then add \(c\).
किसी भी वास्तविक x के लिए \(|x|\ge 0\) होता है, और x=0 रखने पर f(x)=0 प्राप्त होता है। इसलिए फलन का परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 0 शामिल नहीं है, जबकि 0 फलन का मान है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस फलन का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / For every real x, \(|x|\ge 0\), and putting x=0 gives f(x)=0. Hence, the range of the function is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because it excludes 0, which is a value of the function. Exam tip: The output of a modulus function can never be negative.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-4\) है, इसलिए \(x-4=0\) होने पर \(x=4\) प्राप्त होता है। अतः 4 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल हैं, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\)। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x-4=0\) gives \(x=4\), so 4 must be excluded while every other real number is allowed. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\). Exam tip: For a fractional function, set the denominator equal to zero to find the values excluded from the domain.
दिए गए फलन में \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=3(-2)=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें। / Substituting \(x=-2\) into the given function gives \(f(-2)=3(-2)=-6\). Therefore, option A is correct. Option B results from missing the negative sign. In such questions, check the sign carefully when multiplying by a negative number.
वास्तविक वर्गमूल के लिए वर्गमूल के भीतर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। अतः \(5-x\geq 0\), जिससे \(x\leq 5\) प्राप्त होता है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \(( -\infty,5]\) है। विकल्प C में \(x=5\) छूट जाता है, जबकि \(f(5)=0\) वास्तविक है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले उसके भीतर के व्यंजक को \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the root cannot be negative. Hence, \(5-x\geq 0\), which gives \(x\leq 5\). Therefore, the domain is \(( -\infty,5]\). Option C wrongly excludes \(x=5\), although \(f(5)=0\) is real. Exam tip: For a square-root function, first set the expression inside the root to be \(\geq 0\).
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है, इसलिए \(f(x)=2x^2\geq 0\)। \(x=0\) पर \(f(0)=0\) मिलता है। साथ ही, किसी भी \(y>0\) के लिए \(x=\sqrt{y/2}\) लेने पर \(f(x)=y\) प्राप्त होता है। अतः फलन के सभी और केवल अऋणात्मक वास्तविक मान मिलते हैं, इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B निकटतम गलत विकल्प है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(a>0\) वाले \(ax^2\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है, यदि परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) हो। / For every real \(x\), \(x^2\geq 0\), so \(f(x)=2x^2\geq 0\). At \(x=0\), we get \(f(0)=0\). Also, for any \(y>0\), taking \(x=\sqrt{y/2}\) gives \(f(x)=y\). Thus the function attains all and only non-negative real values, so its range is \([0,\infty)\). Option B is the closest incorrect choice because it excludes \(0\). Exam tip: for \(ax^2\) with \(a>0\) and domain \(\mathbb{R}\), the minimum value is \(0\).
A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\)/Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
घन फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। / The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
प्रांत के प्रत्येक मान पर फलन लगाएँ: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\) और \(f(3)=4\)। इसलिए परास \(\{2,3,4\}\) है। विकल्प B प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा में सीमित प्रांत के लिए सभी दिए गए मानों पर फलन लागू करके प्राप्त मानों का समुच्चय लिखें। / Apply the function to every element of the domain: \(f(1)=2\), \(f(2)=3\), and \(f(3)=4\). Therefore, the range is \(\{2,3,4\}\). Option B is the domain itself, not the range. Exam tip: for a finite domain, evaluate the function at each given input and collect the resulting outputs.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। अतः हर वास्तविक \(x\) पर हर भाजक शून्य से भिन्न रहता है और फलन परिभाषित है। इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर भी भाजक \(1\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन का प्रांत निकालते समय भाजक को शून्य करने वाले मानों को हटाएँ। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+1\ge 1>0\). Thus the denominator is never zero, and the function is defined for every real number. Therefore, its domain is \(\mathbb{R}\). Option B is incorrect because at \(x=0\), the denominator is \(1\), not zero. Exam tip: For a rational function, exclude only those values that make the denominator zero.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x+3\ge 0\), अर्थात \(x\ge -3\)। अतः प्रांत \([-3,\infty)\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट दी गई है और \(x=-3\) को शामिल किया गया है, जबकि सही प्रांत में \(-3\) शामिल है और इसके बाद की सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be zero or positive. Thus, \(x+3\ge 0\), which gives \(x\ge -3\). Therefore, the domain is \([-3,\infty)\). Option B reverses the inequality and includes values less than or equal to \(-3\), which do not make \(x+3\) non-negative except at the endpoint. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
निरपेक्ष मान 8|x-2|9 हमेशा 0 या उससे बड़ा होता है। जब 8x=29, तब 8|x-2|=|2-2|=09 होता है, इसलिए न्यूनतम मान 0 है। विकल्प 2 केवल कुछ मानों पर फलन का मान हो सकता है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा में 8|x-a|9 का न्यूनतम मान सीधे 0 याद रखें, जो 8x=a9 पर प्राप्त होता है। / An absolute value 8|x-2|9 is always greater than or equal to 0. At 8x=29, 8|x-2|=|2-2|=09, so the minimum value is 0. The value 2 can occur for some inputs, but it is not the minimum. Exam tip: for 8|x-a|9, the minimum value is 0, attained at 8x=a9.
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(|x-2|\) का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए \(f(x)\ge 0\)। \(x=2\) रखने पर \(f(2)=0\) मिलता है, और \(x\) को 2 से दूर ले जाने पर कोई भी गैर-ऋणात्मक मान प्राप्त किया जा सकता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प \([2,\infty)\) इनपुट में 2 के स्थानांतरण को परास का स्थानांतरण मानने की त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान 0 होता है, यदि \(x=a\) डोमेन में हो। / For every real \(x\), \(|x-2|\) can never be negative, so \(f(x)\ge 0\). At \(x=2\), \(f(2)=0\), and every non-negative value is obtained by taking \(x\) suitably far from 2. Therefore, the range is \([0,\infty)\). The option \([2,\infty)\) incorrectly treats the horizontal shift in the input as a shift in the range. Exam tip: \(|x-a|\) has minimum value 0 when \(x=a\) lies in the domain.
भिन्नात्मक फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x+1\) है, जो \(x=-1\) पर शून्य हो जाता है। इसलिए \(-1\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में होंगी, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)। विकल्प B में \(1\) को हटाया गया है, जबकि \(x=1\) पर फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a fractional function cannot be zero. Here, the denominator \(x+1\) is zero when \(x=-1\), so every real number except \(-1\) belongs to the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Option B incorrectly excludes \(1\), although the function is defined at \(x=1\). Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2 \le 9\), यानी \(-3 \le x \le 3\) मिलता है। / For the square root, \(9-x^2 \ge 0\) is needed. This gives \(x^2 \le 9\), that is \(-3 \le x \le 3\).
शर्त \(9-x^2 \ge 0\) से ([-3,3]) मिलता है। सिरों को शामिल करें क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / The condition \(9-x^2 \ge 0\) gives ([-3,3]). Include the endpoints because the square root can be (0).
किसी भी वास्तविक संख्या \\(x\\) के लिए \\(x^2\ge 0\\) होता है। इसलिए \\(f(x)=x^2-4\ge -4\\), और \\(x=0\\) पर \\(f(0)=-4\\) प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम मान \\(-4\\) है। ध्यान रखें: \\(x^2+c\\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \\(c\\) होता है, जब \\(x=0\\)। / For every real number \\(x\\), \\(x^2\ge 0\\). Hence, \\(f(x)=x^2-4\ge -4\\), and equality occurs at \\(x=0\\), giving \\(f(0)=-4\\). Therefore, the minimum value is \\(-4\\). Exam tip: For a function of the form \\(x^2+c\\), the minimum value is \\(c\\) at \\(x=0\\).
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2-4\) का न्यूनतम मान (-4) है। अतः परिसर \([-4,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2-4\) is (-4). Hence the range is \([-4,\infty\)).
दिए गए प्रत्येक अवयव का मान निकालने पर f(−1) = (−1)² = 1, f(0) = 0² = 0 और f(1) = 1² = 1 मिलता है। इसलिए प्राप्त अलग-अलग मानों का समुच्चय {0, 1} है, जो फलन का परास है। विकल्प B मूल समुच्चय A यानी प्रांत है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास लिखते समय दोहराए गए फलन-मूल्यों को केवल एक बार लिखें। / Evaluating the function at each element gives f(−1) = (−1)² = 1, f(0) = 0² = 0, and f(1) = 1² = 1. Thus, the set of distinct output values is {0, 1}, which is the range. Option B is the original set A, the domain, not the range. Exam tip: list each output value only once when forming the range.
हर \(x^2\) है, जो केवल \(x=0\) पर शून्य होता है। चूँकि किसी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x=0\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल होंगी। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ भी प्रांत में शामिल हैं; इसलिए विकल्प C और D सही नहीं हैं। / The denominator is \(x^2\), which equals zero only when \(x=0\). Since a fraction cannot have a zero denominator, every real number except zero belongs to the domain. Hence, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Remember that negative real numbers are also included, so options C and D are incomplete.
\(x^2\) प्रत्येक वास्तविक x के लिए परिभाषित और अऋणात्मक होता है, इसलिए \(x^2+1\) भी हमेशा वास्तविक है। \(\sqrt{x-1}\) के लिए x≥1 चाहिए। परीक्षा टिप: हर विकल्प की प्रतिबंधित शर्त जाँचें। / Since \(x^2\) is defined and real for every real x, \(x^2+1\) is also real for all real inputs. In contrast, \(\sqrt{x-1}\) needs x≥1. Exam tip: check input restrictions such as roots, denominators and logs.
\(x^2+1\) में किसी वास्तविक \(x\) के लिए न तो वर्गमूल की पाबंदी है और न हर के शून्य होने की समस्या, इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge0\) चाहिए। परीक्षा टिप: हर को शून्य करने वाले मान अवश्य हटाएँ। / For \(x^2+1\), squaring and adding 1 are valid for every real \(x\), so its domain is \(\mathbb{R}\). In contrast, \(\sqrt{x}\) requires \(x\ge0\). Exam tip: always exclude values that make a denominator zero.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=x^2+4\ge 4\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=4\), इसलिए 4 भी परास में शामिल है। अतः परास \([4,\infty)\) है। विकल्प B केवल \(x^2\) का परास दर्शाता है, जबकि विकल्प C में 4 को अनावश्यक रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन में न्यूनतम मान पहले पहचानें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=x^2+4\ge 4\). At \(x=0\), \(f(0)=4\), so 4 is included in the range. Therefore, the range is \([4,\infty)\). Option B is the range of \(x^2\) before adding 4, while option C incorrectly excludes the endpoint 4. Exam tip: For a quadratic involving a square, first identify its minimum value.
\(\sqrt{x^2}\) का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए यह (|x|) के बराबर है। सामान्य गलती इसे सीधे (x) लिखना है। / \(\sqrt{x^2}\) is always non-negative, so it equals (|x|). A common mistake is writing it directly as (x).
A. जिसका हर मान \(\mathbb{R}\) में हो/Its every value lies in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाला फलन वह है जिसके निर्गत मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। यहाँ मुख्य ध्यान सहप्रांत या मानों पर होता है। / A real valued function has output values in the real numbers. The key focus is on the codomain or values.
फलन \(f:A\to\mathbb{R}\) में \(A\) वह समुच्चय है जिससे फलन के लिए इनपुट मान लिए जाते हैं, इसलिए इसे प्रांत (Domain) कहते हैं। \(\mathbb{R}\) सहप्रांत है, जबकि परिसर केवल वे वास्तविक मान हैं जो फलन वास्तव में प्राप्त करता है और यह \(\mathbb{R}\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा-युक्ति: तीर के बाईं ओर का समुच्चय प्रांत और दाईं ओर का समुच्चय सहप्रांत होता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), the set \(A\) contains the input values of the function, so it is called the domain. The set \(\mathbb{R}\) is the codomain, while the range consists only of the values actually produced by the function and is a subset of \(\mathbb{R}\). Exam tip: in function notation, the set before the arrow is the domain and the set after the arrow is the codomain.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में \(\mathbb{R}\) वह समुच्चय है जिसमें मान जाने हैं। यह सहप्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) is the set where outputs are expected to lie. It is called the codomain.
((-2)2=4) और \(2^2=4\), इसलिए केवल एक अलग मान मिलता है। परिसर में दोहराए गए मान एक बार लिखते हैं। / ((-2)2=4) and \(2^2=4\), so only one distinct value is obtained. Repeated values are written once in the range.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-2\) है, इसलिए \(x-2=0\) रखने पर \(x=2\) मिलता है और 2 प्रांत से बाहर होगा। \(x=0\) मान्य है, क्योंकि \(f(0)=0\), इसलिए विकल्प B गलत है। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य करने वाले मानों को वास्तविक संख्याओं से हटा दें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x-2=0\) when \(x=2\), so 2 must be excluded from the real numbers. The value \(x=0\) is allowed because \(f(0)=0\), so option B is incorrect. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Exam tip: For a fractional function, set the denominator equal to zero and exclude the resulting values from the real numbers.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(2x-6\geq 0\), जिससे \(x\geq 3\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \([3,\infty)\) है। विकल्प B में \(3\) शामिल नहीं है, जबकि \(x=3\) पर \(f(3)=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में मूलांक को हमेशा \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the radical must be non-negative. Thus, \(2x-6\geq 0\), which gives \(x\geq 3\). Therefore, the domain is \([3,\infty)\). Option B excludes \(3\), but \(f(3)=0\) is defined. Exam tip: For a real square-root function, always set the radicand to be \(\geq 0\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(4-2x\ge 0\)। इससे \(x\le 2\) प्राप्त होता है, इसलिए प्रांत \((- infty,2]\) है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट दी गई है, जबकि \(x=2\) को शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) की शर्त लगाएँ। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(4-2x\ge 0\). Solving this inequality gives \(x\le 2\), so the domain is \((- infty,2]\). Option B reverses the inequality, and the endpoint \(x=2\) must be included because the square root of zero is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) to find the domain.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\geq 0\), इसलिए \(f(x)=|x|+2\geq 2\)। \(|x|\) का न्यूनतम मान \(0\) तब मिलता है जब \(x=0\), अतः फलन का न्यूनतम मान \(2\) है। इसके बाद \(|x|\) कोई भी गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है, इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में 2 का जोड़ छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x|\) वाले फलन में पहले उसका न्यूनतम मान ज्ञात करें। / For every real \(x\), \(|x|\geq 0\), so \(f(x)=|x|+2\geq 2\). The minimum value of \(|x|\) is \(0\), attained at \(x=0\); hence the minimum value of the function is \(2\). Since \(|x|\) can take every non-negative value, the range is \([2,\infty)\). Option B omits the added 2. Exam tip: For a modulus function, first identify the minimum value of the modulus expression.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=3-|x|\leq 3\), और यह अधिकतम मान \(|x|=0\), अर्थात् \(x=0\), पर प्राप्त होता है। विकल्प 0 केवल \(|x|=3\) पर फलन का एक मान है, अधिकतम मान नहीं। परीक्षा टिप: \(a-|x|\) का अधिकतम मान हमेशा \(a\) होता है और वह \(x=0\) पर मिलता है। / For every real \(x\), \(|x|\geq 0\). Hence \(f(x)=3-|x|\leq 3\), and the maximum value 3 is attained when \(|x|=0\), that is, at \(x=0\). The value 0 occurs when \(|x|=3\), but it is not the maximum. Exam tip: For a function of the form \(a-|x|\), the maximum value is \(a\), attained at \(x=0\).
(|x|) जितना बड़ा होगा, (3-|x|) उतना छोटा होगा। अधिकतम (3) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x|) becomes larger, (3-|x|) becomes smaller. The maximum is (3), and there is no lower bound.
दिए गए फलन में \(x=5\) रखने पर \(f(5)=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। 2 केवल अंश को सही ढंग से 6 निकालने के बाद 2 से भाग न देने पर मिल सकता है। परीक्षा-टिप: फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए मान को हर \(x\) के स्थान पर रखें और फिर सरल करें। / Substituting \(x=5\) into the function gives \(f(5)=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\). Therefore, the correct answer is 3. The option 2 results from failing to divide the numerator value 6 by 2. Exam tip: To find a function value, substitute the given input for every occurrence of \(x\) and simplify the resulting expression.
दिए गए फलन में x=1 रखने पर 8f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=49 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 3 में एक पद को छोड़ देने जैसी गणना-त्रुटि हो सकती है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए x के मान को प्रत्येक पद में सावधानी से रखें। / Substituting x=1 in the given function gives 8f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=49. Therefore, the correct answer is 4. Option 3 may result from omitting one term during calculation. In an exam, substitute the given value of x carefully in every term.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x-1)^2\ge 0\) होता है। \(x=1\) पर इसका न्यूनतम मान \(0\) मिलता है, और \(x\) के बढ़ने या घटने पर फलन के मान अनंत तक बढ़ सकते हैं। इसलिए परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि न्यूनतम मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन का परास ज्ञात करने के लिए उसके न्यूनतम या अधिकतम मान की जाँच करें। / For every real \(x\), \((x-1)^2\ge 0\). Its minimum value is \(0\) when \(x=1\), and the function can increase without bound as \(x\) moves away from 1. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option B is incorrect because the minimum value is \(0\), not \(1\). Exam tip: For a squared function, find its minimum or maximum value first to determine the range.
\(f(x)=x^3\) प्रत्येक वास्तविक मान ले सकता है; किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) रखने पर \(f(x)=y\) मिलता है। \(x^2\) और \(|x|\) ऋणात्मक मान नहीं देते। परीक्षा टिप: घात विषम हो तो घन बहुपद का परास सामान्यतः सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / \(f(x)=x^3\) can produce every real value: for any \(y\in\mathbb{R}\), choose \(x=\sqrt[3]{y}\), giving \(f(x)=y\). In contrast, \(x^2\) and \(|x|\) never give negative outputs. Exam tip: an odd-power cubic with real domain has range \(\mathbb{R}\).
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4>0\)। अतः हर कभी शून्य नहीं होता और किसी भी वास्तविक \(x\) को हटाने की आवश्यकता नहीं है; इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प B और C में 2 या \(-2\) को हटाना गलत है, क्योंकि \((-2)^2+4=8\) और \(2^2+4=8\), दोनों शून्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले फलन में उन मानों को ही प्रांत से हटाएँ जिन पर हर शून्य हो जाता है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4>0\). Thus the denominator is never zero, and no real value of \(x\) must be excluded; hence the domain is \(\mathbb{R}\). Options B and C are incorrect because at \(x=2\) and \(x=-2\), the denominator equals 8, not 0. Exam tip: for a fractional function, exclude only those input values that make the denominator zero.
\(\sqrt{x}\) वास्तविक होने के लिए \(x \ge 0\) चाहिए। (2) से गुणा करने पर प्रांत नहीं बदलता। / For \(\sqrt{x}\) to be real, \(x \ge 0\) is needed. Multiplication by (2) does not change the domain.
वास्तविक \(x\) के लिए \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\ge 0\), और इसका मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। इसलिए \(f(x)=2\sqrt{x}\ge 0\)। \(x=0\) पर \(f(0)=0\), इसलिए 0 भी परास में शामिल है और परास \([0,\infty)\) है। विकल्प B में 0 को गलत रूप से बाहर कर दिया गया है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का परास निकालते समय पहले जाँचें कि न्यूनतम मान प्राप्त होता है या नहीं। / For real \(x\), \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\ge 0\), and its value is always non-negative. Hence \(f(x)=2\sqrt{x}\ge 0\). Since \(f(0)=0\), the value 0 is included in the range, so the range is \([0,\infty)\). Option B incorrectly excludes 0. Exam tip: For a square-root function, check whether the minimum value is attained when writing the range.
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) चाहिए। इस कारण (x>1) और प्रांत (\(1,\infty\)) है। / The denominator is \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is required. Thus (x>1), and the domain is (\(1,\infty\)).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x+1|\geq 0\) होता है। इसका न्यूनतम मान \(0\) तब प्राप्त होता है जब \(x=-1\)। इसलिए \(f(x)=|x+1|-3\) का न्यूनतम मान \(0-3=-3\) है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है। / For every real \(x\), \(|x+1|\geq 0\). Its minimum value is \(0\), attained when \(x=-1\). Hence, the minimum value of \(f(x)=|x+1|-3\) is \(0-3=-3\). Exam tip: An absolute-value expression has minimum value \(0\) before any constant is added or subtracted.
\(f(x)=x-7\) एक रैखिक (बहुपद) फलन है। इसमें न तो हर में कोई व्यंजक है जो शून्य हो सकता है और न ही कोई वर्गमूल या लघुगणक जैसी शर्त है। अतः प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(f(x)\) परिभाषित है, इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=7\) रखने पर \(f(7)=0\) मिलता है; 7 को प्रांत से हटाने का कोई कारण नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक बहुपद फलन का वास्तविक प्रांत \(\mathbb{R}\) होता है। / \(f(x)=x-7\) is a linear polynomial function. It has neither a denominator that could become zero nor a square root or logarithm that imposes a restriction. Hence, \(f(x)\) is defined for every real \(x\), so its domain is \(\mathbb{R}\). Option C is incorrect because \(f(7)=0\); there is no reason to exclude 7. Exam tip: Every polynomial function has real domain \(\mathbb{R}\).
(7-2x) एक अस्थिर रेखीय फलन है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / (7-2x) is a non-constant linear function and can take every real value. Therefore its range is \(\mathbb{R}\).
वर्गमूल के अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(x-5\ge 0\), जिससे \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। अतः फलन का डोमेन \([5,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=5\) पर भी \(f(5)=0\) वास्तविक है। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर की राशि को \(\ge 0\) रखें। / The expression under a real square root must be non-negative. Thus, \(x-5\ge 0\), which gives \(x\ge 5\). Therefore, the domain is \([5,\infty)\). Option B is incorrect because \(x=5\) is also allowed, giving \(f(5)=0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
\(x-5 \ge 0\) से \(x \ge 5\) मिलता है। सिरा (5) शामिल है क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / From \(x-5 \ge 0\), we get \(x \ge 5\). The endpoint (5) is included because the square root can be (0).
वर्गमूल के अंदर \(8-x \ge 0\) होना चाहिए। इससे \(x \le 8\) और प्रांत (\(-\infty,8]\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(8-x \ge 0\). This gives \(x \le 8\), so the domain is (\(-\infty,8]\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-6\) है, जो \(x=6\) पर शून्य हो जाता है; इसलिए \(x=6\) पर फलन परिभाषित नहीं है और 6 प्रांत में सम्मिलित नहीं होगा। इसके विपरीत 0, 3 और -6 रखने पर हर क्रमशः -6, -3 और -12 मिलता है, जो शून्य नहीं हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों के लिए हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here the denominator is \(x-6\), which becomes zero when \(x=6\). Therefore, the function is undefined at 6, so 6 is excluded from the domain. For comparison, substituting 0, 3, or -6 gives non-zero denominators. Exam tip: set the denominator equal to zero to find the excluded value.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x+5\) है, जो \(x=-5\) पर शून्य हो जाता है। इसलिए \(-5\) को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से हटाने पर प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-5\}\) मिलता है। विकल्प B में \(5\) को हटाया गया है, जबकि सही मान \(-5\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य के बराबर करके निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, the denominator is \(x+5\), which becomes zero at \(x=-5\). Therefore, \(-5\) must be excluded from the set of real numbers, giving the domain \(\mathbb{R}\setminus\{-5\}\). Option B incorrectly excludes \(5\) instead of \(-5\). Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting value.
परास प्राप्त करने के लिए प्रांत के प्रत्येक अवयव को फलन में रखें: \(f(2)=1\), \(f(4)=2\) और \(f(6)=3\)। इसलिए परास \(\{1,2,3\}\) है। विकल्प A प्रांत है, परास नहीं; विकल्प C में प्रत्येक संख्या को 2 से गुणा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: सीमित प्रांत वाले फलन का परास निकालने के लिए सभी इनपुट के फलन-मान लिखें। / To find the range, evaluate the function for every element of the domain: \(f(2)=1\), \(f(4)=2\), and \(f(6)=3\). Hence, the range is \(\{1,2,3\}\). Option A is the domain, not the range, while option C results from multiplying each input by 2. Exam tip: For a finite domain, calculate the function value for every input to obtain the range.
\(2^x\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान सदैव \(0\) से बड़ा होता है, इसलिए परास \((0,\infty)\) है। \(x^2\) का परास धनात्मक के साथ 0 भी है। परीक्षा टिप: घातांकीय फलन कभी 0 नहीं होता। / \(2^x\) is defined for every real \(x\), and its value is always greater than 0; hence its range is \((0,\infty)\). In contrast, \(x^2\) also includes 0 in its range. Exam tip: an exponential function never attains 0.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+9\ge 9\), और यह मान \(x=0\) पर प्राप्त होता है। अतः फलन का न्यूनतम मान \(9\) है। \(-9\) न्यूनतम मान नहीं हो सकता, क्योंकि \(x^2+9\) सदैव धनात्मक या शून्य से बड़ा होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\) वाले फलन का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए पहले \(x^2\ge 0\) का प्रयोग करें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence, \(f(x)=x^2+9\ge 9\), and equality occurs at \(x=0\). Therefore, the minimum value of the function is \(9\). The value \(-9\) cannot be the minimum because \(x^2+9\) is always at least 9. Exam tip: For a function containing \(x^2\), use \(x^2\ge 0\) to find its minimum quickly.
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। अतः परिसर \([9,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2+9\) is (9). Thus the range is \([9,\infty\)).
क्योंकि किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(5-(x-2)^2\leq 5\)। जब \(x=2\), तब \((x-2)^2=0\) और \(f(2)=5\) प्राप्त होता है। अतः अधिकतम मान 5 है। विकल्प 7 गलत है, क्योंकि वर्ग पद घटाया जा रहा है। परीक्षा-युक्ति: \(a-(x-h)^2\) के रूप में लिखे फलन का अधिकतम मान \(a\) होता है। / For every real number \(x\), \((x-2)^2\geq 0\), so \(5-(x-2)^2\leq 5\). When \(x=2\), the squared term is zero and \(f(2)=5\). Therefore, the maximum value is 5. The distractor 7 is incorrect because the non-negative square is being subtracted. Exam tip: A function of the form \(a-(x-h)^2\) has maximum value \(a\).
((x-2)2\ge 0), इसलिए (5-(x-2)2\le 5) है। नीचे कोई सीमा नहीं है, इसलिए परिसर (\(-\infty,5]\) है। / Since ((x-2)2\ge 0), (5-(x-2)2\le 5). There is no lower bound, so the range is (\(-\infty,5]\).
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(|x-4|\geq 0\) होता है। इसका न्यूनतम मान \(0\) तब प्राप्त होता है जब \(x=4\)। इसलिए \(f(4)=0+1=1\), अतः सही उत्तर B है। ध्यान रखें कि \(4\) न्यूनतम मान नहीं, बल्कि वह \(x\)-मान है जिस पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है। / For every real \(x\), \(|x-4|\geq 0\). Its minimum value is \(0\), attained when \(x=4\). Therefore, \(f(4)=0+1=1\), so option B is correct. Remember that \(4\) is the value of \(x\) where the minimum occurs, not the minimum value itself.
किसी भी वास्तविक x के लिए |x-4|\ge 0 होता है। इसलिए f(x)=|x-4|+1\ge 1। जब x=4, तब f(4)=1, और |x-4| के सभी गैर-ऋणात्मक मान संभव हैं। अतः परास [1,\infty) है। परीक्षा-युक्ति: |x-a|+b का न्यूनतम मान b होता है। / For every real x, |x-4|\ge 0. Hence f(x)=|x-4|+1\ge 1. The minimum value 1 is attained at x=4, and |x-4| can take every non-negative value. Therefore, the range is [1,\infty). Exam tip: the minimum value of |x-a|+b is b.
किसी भी वास्तविक x के लिए \(|x+2|\ge 0 \)। इसलिए (f(x)=6-|x+2|\le 6 )। जब (x=-2 ), तब (|x+2|=0 ) और (f(-2)=6 ), अतः अधिकतम मान 6 है। 8 गलत है, क्योंकि मॉड्यूलस का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: (a-|g(x)| ) का अधिकतम मान सामान्यतः a होता है, यदि (g(x)=0 ) किसी वास्तविक x के लिए संभव हो। / For every real x, \(|x+2|\ge 0 \), so (f(x)=6-|x+2|\le 6 ). At (x=-2 ), (|x+2|=0 ) and hence (f(-2)=6 ). Therefore, the maximum value is 6. The option 8 is incorrect because an absolute value cannot be negative. Exam tip: For an expression of the form (a-|g(x)| ), the maximum is usually a when (g(x)=0 ) is attainable for a real x.
(|x+2|) बड़ा होने पर (6-|x+2|) छोटा होता जाता है। अधिकतम (6) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x+2|) becomes larger, (6-|x+2|) becomes smaller. The maximum is (6), and there is no lower bound.
दिए गए फलन में \(x=8\) रखने पर \(f(8)=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। विकल्प 9 अंदर का मान \(8+1\) है, वर्गमूल लेने के बाद का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले मूल के अंदर का व्यंजक हल करें, फिर वर्गमूल निकालें। / Substituting \(x=8\) into the function gives \(f(8)=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3\). Therefore, the correct value is 3. The value 9 is the radicand before taking the square root, not the function value. Exam tip: simplify the expression inside the square root first, and then evaluate the root.
वास्तविक वर्गमूल के लिए वर्गमूल के भीतर की राशि ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए \(x+10\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -10\)। अतः वास्तविक प्रांत \([-10,\infty)\) है। विकल्प C में \(-10\) को बाहर रखा गया है, जबकि \(x=-10\) पर \(f(x)=\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक को \(\ge 0\) रखकर असमिकता हल करें। / For a real square root, the expression inside the root cannot be negative. Hence, \(x+10\ge 0\), so \(x\ge -10\). Therefore, the real domain is \([-10,\infty)\). Option C excludes \(-10\), but at \(x=-10\), \(f(x)=\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) before solving the inequality.
वास्तविक वर्गमूल के लिए वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। अतः \(12-3x\geq 0\)। हल करने पर \(-3x\geq -12\), इसलिए \(x\leq 4\) मिलता है। इसलिए वास्तविक प्रांत \(( -\infty,4]\) है। विकल्प C में \(4\) को छोड़ दिया गया है, जबकि \(x=4\) पर \(f(4)=\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में हमेशा मूलांक को \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the root must be non-negative. Thus, \(12-3x\geq 0\). Solving gives \(-3x\geq -12\), hence \(x\leq 4\). Therefore, the real domain is \(( -\infty,4]\). Option C incorrectly excludes 4, although \(f(4)=\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: for real square-root functions, set the radicand greater than or equal to zero.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ \(x^2-9=0\), इसलिए \(x^2=9\) और \(x=\pm3\) प्राप्त होता है। अतः \(-3\) और \(3\) प्रांत से बाहर होंगे। विकल्प A में \(9\) और \(-9\) लिए गए हैं, लेकिन उन पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए पहले हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x^2-9=0\), so \(x^2=9\) and \(x=\pm3\). Therefore, \(-3\) and \(3\) are excluded from the domain. Option A incorrectly uses \(-9\) and \(9\); the denominator is not zero at those values. Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
हर (0) नहीं होना चाहिए और \(x^2-9=0\) पर (x=-3,3) मिलते हैं। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}-{-3,3}\) है। / The denominator must not be (0), and \(x^2-9=0\) gives (x=-3,3). Hence the domain is \(\mathbb{R}-{-3,3}\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ \(x^2+6\geq 6>0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए है, इसलिए हर कभी शून्य नहीं होता और सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल होती हैं। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\) है। परीक्षा में प्रांत निकालते समय पहले हर को शून्य रखकर प्रतिबंधित मान जाँचें। / For a rational function, the denominator must not be zero. Here, \(x^2+6\geq 6>0\) for every real \(x\), so the denominator never vanishes and all real numbers belong to the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\). Exam tip: Set the denominator equal to zero first to identify any excluded values.
हर \(x^2+6\) सबसे छोटा (6) तब होता है जब (x=0)। इसलिए भिन्न का मान सबसे बड़ा तब मिलता है। / The denominator \(x^2+6\) is smallest at (6) when (x=0). Therefore the fraction is greatest then.
हर का न्यूनतम मान (6) है, इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{6}\) है। (0) कभी नहीं मिलता पर मान (0) के पास जा सकता है। / The minimum denominator is (6), so the maximum value is \(\frac{1}{6}\). The value (0) is never reached but can be approached.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(16-x^2\ge 0\)। अतः \(x^2\le16\), जिससे \(-4\le x\le4\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \([-4,4]\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें सिरों \(-4\) और \(4\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि इन दोनों पर फलन का मान \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय radicand को \(\ge0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(16-x^2\ge0\). Thus, \(x^2\le16\), which gives \(-4\le x\le4\). Therefore, the domain is \([-4,4]\). Option A is incorrect because it excludes the endpoints \(-4\) and \(4\), where the function is defined and equals \(0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find its domain.
वास्तविक मान के लिए \(16-x^2\ge 0\), और \(x^2\) का न्यूनतम मान 0 होता है, जो \(x=0\) पर प्राप्त होता है। इसलिए \(f(0)=\sqrt{16}=4\), अतः अधिकतम मान 4 है। विकल्प 16 वर्गमूल के अंदर की अधिकतम मात्रा है, फलन का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का अधिकतम मान पाने के लिए पहले मूलांक के अधिकतम मान पर विचार करें। / For real values, \(16-x^2\ge 0\), and \(x^2\) is smallest when \(x=0\). Thus, \(f(0)=\sqrt{16}=4\), so the maximum value is 4. The value 16 is the maximum radicand, not the value of the function after taking the square root. Exam tip: For a square-root function, first maximize the expression inside the radical and then take its square root.
वर्गमूल का मान सदैव शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए \(f(x)\geq 0\)। जब \(x=0\), तब \(f(x)=4\), और जब \(x=\pm4\), तब \(f(x)=0\)। अतः परास \([0,4]\) है। विकल्प B फलन का परास नहीं, बल्कि इसका डोमेन है। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन के परास के लिए न्यूनतम और अधिकतम मान अवश्य जाँचें। / A square-root value is always non-negative, so \(f(x)\geq 0\). At \(x=0\), \(f(x)=4\), and at \(x=\pm4\), \(f(x)=0\). Therefore, the range is \([0,4]\). Option B represents the domain, not the range. In exams, check whether the minimum and maximum values are actually attained before choosing open or closed endpoints.
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \((x+5)^2\geq 0\) होता है। \(x=-5\) पर फलन का न्यूनतम मान \(0\) मिलता है और बड़े मान भी प्राप्त किए जा सकते हैं। अतः इसका परास \([0,\infty)\) है। \([5,\infty)\) गलत है, क्योंकि \(+5\) वर्ग के भीतर है; इससे केवल शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक बदलता है, न्यूनतम फलमान नहीं। परीक्षा टिप: वर्ग वाले व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए उसे शून्य के बराबर रखने वाला \(x\) देखें। / For every real \(x\), \((x+5)^2\geq 0\). The minimum value is \(0\), attained when \(x=-5\), and arbitrarily large values are possible. Hence the range is \([0,\infty)\). \([5,\infty)\) is incorrect because the \(+5\) is inside the square; it shifts the vertex horizontally and does not make the minimum function value 5. Exam tip: For a squared expression, find the input that makes the squared part zero to identify the minimum value.
क्योंकि \((x-3)^2\geq 0\), इसलिए \(f(x)=(x-3)^2+2\geq 2\)। जब \(x=3\), तब \(f(x)=2\), अतः फलन का परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में 3, शीर्ष-बिंदु का \(x\)-निर्देशांक है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((x-a)^2+b\) का परास हमेशा \([b,\infty)\) होता है। / Since \((x-3)^2\geq 0\), we have \(f(x)=(x-3)^2+2\geq 2\). At \(x=3\), the function attains the value 2, so its range is \([2,\infty)\). Option B gives 3, which is the x-coordinate of the vertex, not the minimum function value. Exam tip: the range of \((x-a)^2+b\) is \([b,\infty)\).
क्योंकि \((x+1)^2\ge 0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(f(x)=2-(x+1)^2\le 2\)। जब \(x=-1\), तब \(f(x)=2\), और \(x\) के \(-1\) से दूर जाने पर फलन के मान बिना सीमा के घटते जाते हैं। अतः परिसर \((- infty,2]\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है। परीक्षा-सुझाव: \(a<0\) वाले द्विघात फलन का शीर्ष अधिकतम मान देता है। / Since \((x+1)^2\ge 0\) for every real \(x\), we have \(f(x)=2-(x+1)^2\le 2\). At \(x=-1\), the function attains its maximum value \(2\), while its values decrease without bound as \(x\) moves away from \(-1\). Therefore, the range is \((- infty,2]\). Option A is incorrect because the parabola opens downward. Exam tip: for a quadratic with a negative leading coefficient, the vertex gives the maximum value.
A. इसके निर्गत मान \(\mathbb{R}\) में होते हैं/Its output values lie in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाले फलन में मान वास्तविक संख्याओं में होते हैं। प्रांत (A) कोई उपयुक्त समुच्चय हो सकता है। / In a real valued function, the values are real numbers. The domain (A) can be any suitable set.
B. सभी प्राप्त वास्तविक मान/All actually obtained real values
Explanation
Simple Explanation
परिसर उन मानों का समुच्चय है जो फलन वास्तव में देता है। इसे सहप्रांत से अलग समझना चाहिए। / The range is the set of values actually produced by the function. It should be understood separately from the codomain.
प्रांत वे मान हैं जिन्हें (x) के रूप में फलन में रखा जा सकता है। प्रांत निकालते समय हर और वर्गमूल की शर्त देखें। / The domain is the set of values that can be used as (x) in the function. While finding it, check denominator and square-root conditions.
वर्गमूल के अंदर की राशि वास्तविक होने के लिए \(x+2\ge 0\) होना चाहिए, लेकिन वही वर्गमूल हर में है, इसलिए उसका मान शून्य नहीं हो सकता। अतः \(x+2>0\), अर्थात् \(x>-2\), और प्रांत \((-2,\infty)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें \(x=-2\) शामिल है, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो मूल के अंदर की राशि को हमेशा सख्ती से धनात्मक रखें। / The radicand must be non-negative for a real value, so \(x+2\ge 0\). However, the square root is in the denominator and cannot be zero; therefore, \(x+2>0\), or \(x>-2\). Hence the domain is \((-2,\infty)\). Option A is incorrect because it includes \(x=-2\), which makes the denominator zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, its radicand must be strictly positive.
\(x^2\) हर वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और उसका मान भी वास्तविक होता है। \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\geq0\) चाहिए, जबकि \(1/x\) में \(x=0\) मान्य नहीं है। परीक्षा में मूल के अंदर की राशि और हर को पहले जाँचें। / \(x^2\) is defined and real for every real \(x\). In contrast, \(\sqrt{x}\) needs \(x\geq0\), and \(1/x\) is undefined at \(x=0\). Exam tip: first check the radicand and any denominator when identifying domains.
परिमेय फलन में हर को शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ हर \(x^2+1\) है, और किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1\) तथा यह कभी शून्य नहीं होता। अतः फलन प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और उसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। निकटतम भटकाने वाला विकल्प B है, लेकिन \(x=0\) रखने पर हर \(1\) मिलता है, इसलिए शून्य को हटाने की आवश्यकता नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य करने वाले मानों को ही अस्वीकार करें। / For a rational function, the denominator must not be zero. Here the denominator is \(x^2+1\). Since \(x^2\geq 0\) for every real \(x\), we have \(x^2+1\geq 1\), so it can never be zero. Therefore, the function is defined for every real number and its domain is \(\mathbb{R}\). The closest distractor is B, but at \(x=0\) the denominator equals \(1\), so zero must not be excluded. Exam tip: To find the domain, reject only those values that make the denominator zero.
A के प्रत्येक अवयव के लिए f(x) का मान निकालते हैं: f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5 और f(3)=7। इसलिए फलन का परास {1,3,5,7} है। ध्यान रखें कि परास में फलन से प्राप्त मान लिखे जाते हैं, जबकि दिए गए समुच्चय A के अवयव प्रांत होते हैं। / Evaluate the function at every element of A: f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5, and f(3)=7. Therefore, the range is {1,3,5,7}. Remember that the range contains the output values, whereas the elements of A form the domain.
दिए गए क्रमशः इनपुट −2, −1, 0 और 1 के लिए फलन के मान 5, 2, 1 और 2 हैं। इसलिए अलग-अलग आउटपुट मानों का समुच्चय \(\{1,2,5\}\) है, यही परास है। विकल्प C परिभाषा-समुच्चय है, परास नहीं; जबकि विकल्प B में आउटपुट 1 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए हर डोमेन मान पर फलन का मान निकालकर दोहराए गए मानों को एक ही बार लिखें। / For the inputs −2, −1, 0 and 1, the function values are 5, 2, 1 and 2, respectively. Hence, the set of distinct output values is \(\{1,2,5\}\), which is the range. Option C is the domain, not the range, while option B omits the output 1. Exam tip: Evaluate the function for every domain element and list repeated outputs only once.
\(f(2)=|2-6|=|-4|=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। यहाँ \(-4\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि मॉड्यूलस किसी संख्या का निरपेक्ष मान देता है, जो ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए मान को फलन में रखें और अंत में मॉड्यूलस लगाएँ। / Substituting \(x=2\), we get \(f(2)=|2-6|=|-4|=4\). Therefore, 4 is correct. The closest distractor is \(-4\), but an absolute value represents a non-negative distance from zero. Exam tip: substitute the given input first, then evaluate the modulus.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=3x^2\ge 0\)। साथ ही, \(x=0\) पर \(f(0)=0\), इसलिए शून्य भी परास में शामिल है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है, और विकल्प C में ऐसे ऋणात्मक मान भी हैं जो इस फलन से प्राप्त नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन का न्यूनतम मान पहले निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=3x^2\ge 0\). Also, when \(x=0\), \(f(0)=0\), so zero is included in the range. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option A is incorrect because it excludes zero, while option C includes negative values that the function cannot produce. Exam tip: For a squared function, first identify its minimum value.
\(x^2+1\) एक बहुपद फलन है, इसलिए यह हर वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित और वास्तविक होता है। \(\sqrt{x-3}\) के लिए \(x\ge3\) चाहिए। परीक्षा टिप: मूल, हर और लॉग की शर्तें पहले जाँचें। / \(x^2+1\) is a polynomial, so it is defined and real for every real \(x\). In contrast, \(\sqrt{x-3}\) needs \(x\ge3\). Exam tip: first check restrictions from roots, denominators, and logarithms.
क्योंकि प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(4x^2\ge 0\) और \(f(x)=4x^2-1\ge -1\)। \(x=0\) पर \(f(0)=-1\) प्राप्त होता है, तथा \(x\) का परिमाण बढ़ाने पर फलन का मान अनंत तक बढ़ सकता है। अतः परास \([-1,\infty)\) है। परीक्षा टिप: ऊपर खुले सिरे वाले द्विघात फलन का न्यूनतम मान उसके शीर्ष पर जाँचें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(4x^2\ge 0\) and hence \(f(x)=4x^2-1\ge -1\). The value \(-1\) is attained at \(x=0\), and the function can increase without bound as the magnitude of \(x\) increases. Therefore, the range is \([-1,\infty)\). Exam tip: For an upward-opening quadratic, find the minimum value at its vertex to determine the range.
वास्तविक वर्गमूल तभी परिभाषित होता है जब उसके अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक हो। इसलिए \(3x+12\ge 0\), जिससे \(x\ge -4\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \([-4,\infty)\) है। विकल्प B में असंबंधित दिशा की असमानता है, जबकि \(-4\) को शामिल करना आवश्यक है क्योंकि वहाँ वर्गमूल का मान शून्य होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के लिए मूलांक के अंदर की राशि को \(\ge 0\) रखें। / A real square root is defined only when its radicand is non-negative. Thus, \(3x+12\ge 0\), which gives \(x\ge -4\). Therefore, the domain is \([-4,\infty)\). Option B uses the wrong direction of the inequality, and \(-4\) must be included because the square root is zero there. Exam tip: For a square-root function, set the expression under the root greater than or equal to zero.
\(\frac{2x+1}{3}\) अस्थिर रेखीय फलन है। (x) वास्तविक होने पर इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / \(\frac{2x+1}{3}\) is a non-constant linear function. When (x) is real, its range is \(\mathbb{R}\).
यह एक स्थिर फलन है, इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(f(x)=-4\) ही प्राप्त होता है। अतः फलन का परिसर केवल एक तत्व वाला समुच्चय \(\{-4\}\) है। विकल्प B और D अंतराल हैं, जबकि इस फलन का कोई भी मान \(-4\) से अलग नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन का परिसर हमेशा उसके एकमात्र स्थिर मान का समुच्चय होता है। / This is a constant function, so for every real \(x\), the output is always \(-4\). Therefore, its range is the singleton set \(\{-4\}\). Options B and D are intervals, but this function never produces any value other than \(-4\). Exam tip: the range of a constant function is the set containing its single constant value.
जब \(x\) का मान \([0,9]\) में है, तब \(\sqrt{x}\) का न्यूनतम मान \(\sqrt{0}=0\) और अधिकतम मान \(\sqrt{9}=3\) होता है। इसलिए परास \([0,3]\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि वह \(x\) का प्रांत है, \(f(x)\) का परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल फलन के परास के सिरों के लिए प्रांत के सिरों पर फलन का मान जाँचें। / For \(x\in[0,9]\), the minimum value of \(\sqrt{x}\) is \(\sqrt{0}=0\), and the maximum value is \(\sqrt{9}=3\). Therefore, the range is \([0,3]\). Option B is the domain of \(x\), not the range of \(f(x)\). Exam tip: For a square-root function on a closed interval, evaluate the function at the interval's endpoints to find the range.
अंतराल ([-2,3]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम मान (0) है। सबसे बड़ा वर्ग \(3^2=9\) है, इसलिए परिसर ([0,9]) है। / The interval ([-2,3]) includes (0), so the minimum value is (0). The largest square is \(3^2=9\), so the range is ([0,9]).
रेखीय फलन (f(x)=x+5) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित है। परीक्षा में रेखीय फलन का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) याद रखें। / The linear function (f(x)=x+5) is defined for every real (x). In exams remember that a linear function usually has domain \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्ग फलन की न्यूनतम वैल्यू (0) याद रखें। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). In exams remember that the square function has minimum value (0).
वर्गमूल के लिए \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ge 2\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को \( \ge 0\) रखें। / For a square root, \(x-2 \ge 0\), so \(x \ge 2\). In exams keep the expression under the square root \( \ge 0\).
हर में \(x-3 \ne 0\) होना चाहिए इसलिए \(x \ne 3\)। परीक्षा में हर को कभी (0) न होने दें। / The denominator must satisfy \(x-3 \ne 0\), so \(x \ne 3\). In exams never allow the denominator to become (0).
वर्गमूल के लिए \(5-x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में असमानता हल करते समय चिन्ह ध्यान से बदलें। / For the square root, \(5-x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams handle the inequality sign carefully while solving.
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+1\geq 1\)। \(x=0\) रखने पर \(f(0)=1\) मिलता है, अतः 1 न्यूनतम मान है और इसके बाद सभी बड़े मान प्राप्त हो सकते हैं। इसलिए रेंज \([1,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि फलन का मान 0 कभी नहीं हो सकता। परीक्षा-टिप: \(x^2\) के न्यूनतम मान में स्थिर पद जोड़कर परवलय की रेंज ज्ञात करें। / For every real \(x\), \(x^2\geq 0\). Hence \(f(x)=x^2+1\geq 1\). At \(x=0\), \(f(0)=1\), so 1 is the minimum value, and every larger value is possible. Thus, the range is \([1,\infty)\). Option B is wrong because the function can never have the value 0. Exam tip: find the minimum of \(x^2\), then include any constant vertical shift.
मापांक फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित रहता है। परीक्षा में मापांक में डोमेन पर अलग रोक नहीं होती। / A modulus function is defined for every real (x). In exams modulus does not usually create a domain restriction.
अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन सभी वास्तविक आउटपुट दे सकता है। परीक्षा में (ax+b) के लिए \(a \ne 0\) हो तो रेंज \(\mathbb{R}\) होती है। / A linear function with non-zero slope can produce all real outputs. In exams (ax+b) has range \(\mathbb{R}\) when \(a \ne 0\).
स्थिर फलन हमेशा एक ही आउटपुट (7) देता है। परीक्षा में स्थिर फलन की रेंज एकल समुच्चय होती है। / A constant function always gives the same output (7). In exams the range of a constant function is a singleton set.
हर में \(x+4 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -4\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाली वैल्यू हटाएं। / The denominator needs \(x+4 \ne 0\), so \(x \ne -4\). In exams remove the value that makes the denominator zero.
वर्गमूल के लिए \(x+6 \ge 0\) इसलिए \(x \ge -6\)। परीक्षा में सीमा बिंदु शामिल होगा क्योंकि वर्गमूल (0) पर परिभाषित है। / For the square root, \(x+6 \ge 0\), so \(x \ge -6\). In exams the endpoint is included because square root is defined at (0).
क्योंकि \(\sqrt{x} \ge 0\) इसलिए \(\sqrt{x}+3 \ge 3\)। परीक्षा में ऊपर (3) जोड़ने से न्यूनतम वैल्यू (3) हो जाती है। / Since \(\sqrt{x} \ge 0\), \(\sqrt{x}+3 \ge 3\). In exams adding (3) shifts the minimum value to (3).
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता क्योंकि \(x^2 \ge 0\)। परीक्षा में हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें। / The denominator \(x^2+1\) is never (0) because \(x^2 \ge 0\). In exams check the minimum value of the denominator.
फलन के नियम में \(x=3\) रखने पर \(f(3)=2(3)-1=6-1=5\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प C में \(-1\) घटाना भूलकर \(2\times3\) किया गया है। परीक्षा में फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए \(x\) का मान सीधे नियम में रखें। / Substituting \(x=3\) into the function rule gives \(f(3)=2(3)-1=6-1=5\). Therefore, option B is correct. Option C results from forgetting to subtract 1 after calculating \(2\times3\). Exam tip: substitute the given input directly into the function rule and simplify carefully.
इनपुट (0,1,2) पर आउटपुट (2,3,6) मिलते हैं। परीक्षा में सीमित डोमेन हो तो हर इनपुट की वैल्यू निकालें। / For inputs (0,1,2), the outputs are (2,3,6). In exams, for a finite domain, calculate the value for each input.
हर (x-2) को (0) नहीं होना चाहिए इसलिए \(x \ne 2\)। परीक्षा में भिन्न वाले फलन में हर पहले जांचें। / The denominator (x-2) must not be (0), so \(x \ne 2\). In exams check the denominator first in fractional functions.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल फलन के लिए मूलचिह्न के भीतर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(2x+8\geq 0\), जिससे \(2x\geq -8\) और \(x\geq -4\) मिलता है। इसलिए डोमेन \([-4,\infty)\) है। विकल्प B में \(x<-4\) के मान भी शामिल हैं; जैसे \(x=-5\) पर \(2x+8=-2\) होता है, जिसका वास्तविक वर्गमूल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में हमेशा मूलचिह्न के अंदर के व्यंजक को \(\geq 0\) रखें। / For a real-valued square-root function, the expression inside the radical must be non-negative. Thus, \(2x+8\geq 0\), so \(2x\geq -8\) and \(x\geq -4\). Therefore, the domain is \([-4,\infty)\). Option B incorrectly includes values less than \(-4\); for example, at \(x=-5\), \(2x+8=-2\), which has no real square root. Exam tip: for a real square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
(5-x) एक अशून्य ढाल वाला रेखीय फलन है इसलिए सभी वास्तविक वैल्यू दे सकता है। परीक्षा में ऋणात्मक ढाल से भी रेंज \(\mathbb{R}\) रहती है। / (5-x) is a linear function with non-zero slope, so it can give all real values. In exams a negative slope still gives range \(\mathbb{R}\).
क्योंकि \(|x-2| \ge 0\) इसलिए \(|x-2|+1 \ge 1\)। परीक्षा में मापांक की न्यूनतम वैल्यू उसके शून्य पर देखें। / Since \(|x-2| \ge 0\), \(|x-2|+1 \ge 1\). In exams check the minimum of modulus where it becomes zero.
हर \(x^2-9 \ne 0\) इसलिए \(x \ne -3\) और \(x \ne 3\)। परीक्षा में \(a^2-b^2\) को गुणनखंड करके जांचें। / The denominator needs \(x^2-9 \ne 0\), so \(x \ne -3\) and \(x \ne 3\). In exams factor \(a^2-b^2\) to check.
वर्गमूल के लिए \(10-2x \ge 0\) इसलिए \(x \le 5\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता बदलती है। / For the square root, \(10-2x \ge 0\), so \(x \le 5\). In exams dividing by a negative coefficient reverses the inequality.
फलन \(f(x)=\frac{1}{x}\) का मान कभी \(0\) नहीं हो सकता, क्योंकि किसी भी वास्तविक \(x\neq 0\) के लिए \(\frac{1}{x}=0\) संभव नहीं है। साथ ही, प्रत्येक गैर-शून्य वास्तविक संख्या \(y\) के लिए \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(f(x)=y\) मिलता है। अतः परास \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) है। \(\mathbb{R}\) विकल्प गलत है क्योंकि उसमें \(0\) भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{1}{x}\) जैसे व्युत्क्रम फलन में डोमेन और परास दोनों में \(0\) शामिल नहीं होता। / The function \(f(x)=\frac{1}{x}\) can never have the value \(0\), since \(\frac{1}{x}=0\) has no real solution for \(x\neq 0\). Also, for every nonzero real number \(y\), taking \(x=\frac{1}{y}\) gives \(f(x)=y\). Hence, the range is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Option \(\mathbb{R}\) is incorrect because it includes \(0\). Exam tip: For the reciprocal function \(\frac{1}{x}\), both domain and range exclude \(0\).
इनपुट (-1,0,2) पर आउटपुट (-4,0,8) हैं। परीक्षा में डोमेन के हर सदस्य पर फलन लगाएं। / For inputs (-1,0,2), the outputs are (-4,0,8). In exams apply the function to every member of the domain.
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है इसलिए आउटपुट कभी ऋणात्मक नहीं होगा। परीक्षा में \(\sqrt{x^2}\) को (x) नहीं बल्कि (|x|) मानें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\), so the output is never negative. In exams treat \(\sqrt{x^2}\) as (|x|), not simply (x).
हर में वर्गमूल है इसलिए (4-x>0) चाहिए और (x<4)। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल में बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so (4-x>0), giving (x<4). In exams do not include equality for a denominator square root.
वर्गमूल के लिए \(x-7 \ge 0\) इसलिए \(x \ge 7\)। परीक्षा में बाहर का (+2) डोमेन नहीं बदलता। / For the square root, \(x-7 \ge 0\), so \(x \ge 7\). In exams the outside (+2) does not change the domain.
\(\sqrt{x-7}\) की न्यूनतम वैल्यू (0) है इसलिए (f(x)\ge 2)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) रेंज को ऊपर शिफ्ट करता है। / The minimum value of \(\sqrt{x-7}\) is (0), so (f(x)\ge 2). In exams the outside added (2) shifts the range upward.
मूल फलन में हर (x+1) है इसलिए (x=-1) हटेगा। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर की रोक याद रखें। / The original function has denominator (x+1), so (x=-1) is excluded. In exams remember the restriction from the original denominator before cancelling.
क्योंकि \(|x| \ge 0\) इसलिए \(2|x|+3 \ge 3\)। परीक्षा में धनात्मक गुणक और ऊपर शिफ्ट दोनों देखें। / Since \(|x| \ge 0\), \(2|x|+3 \ge 3\). In exams consider both the positive multiplier and the upward shift.
वर्गमूल के लिए \(3x-12 \ge 0\) इसलिए \(x \ge 4\)। परीक्षा में रैखिक असमानता को सावधानी से हल करें। / For the square root, \(3x-12 \ge 0\), so \(x \ge 4\). In exams solve the linear inequality carefully.
क्योंकि ((x-1)2 \ge 0) इसलिए (9-(x-1)2 \le 9)। परीक्षा में उल्टे परवलय की अधिकतम वैल्यू पहचानें। / Since ((x-1)2 \ge 0), (9-(x-1)2 \le 9). In exams identify the maximum value of a downward parabola.
जब \(x\in[0,3]\), तब \(x+2\in[2,5]\)। परीक्षा में अंतराल के दोनों सिरों पर फलन की वैल्यू देखें। / When \(x\in[0,3]\), \(x+2\in[2,5]\). In exams evaluate the function at both endpoints of the interval.
धनात्मक गुणक (2) खुले अंतराल ((-1,4)) को ((-2,8)) में बदलता है। परीक्षा में खुले सिरों को खुला ही रखें। / The positive multiplier (2) changes the open interval ((-1,4)) to ((-2,8)). In exams keep open endpoints open.
हर (x-5) शून्य नहीं हो सकता इसलिए \(x \ne 5\)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) डोमेन नहीं बदलता। / The denominator (x-5) cannot be zero, so \(x \ne 5\). In exams the outside added (2) does not change the domain.
\(\frac{1}{x-5}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए आउटपुट (2) नहीं बनेगा। परीक्षा में reciprocal के vertical shift से हटने वाली रेंज वैल्यू बदलती है। / \(\frac{1}{x-5}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams a vertical shift of a reciprocal changes the excluded range value.
क्योंकि \(x^2+4>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि हमेशा धनात्मक हो तो डोमेन \(\mathbb{R}\) होता है। / Because \(x^2+4>0\) for every real (x). In exams if the square root expression is always positive, the domain is \(\mathbb{R}\).
\(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है इसलिए \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\)। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू निकालें। / The minimum value of \(x^2+4\) is (4), so \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\). In exams first find the minimum value inside.
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) है इसलिए (x=0) नहीं चलेगा। परीक्षा में हर में आने वाली वैल्यू को शून्य न बनने दें। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator is (x), so (x=0) is not allowed. In exams do not let the denominator become zero.
\(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता और (0) से ऊपर सभी वैल्यू ले सकता है। परीक्षा में वर्ग फलन की रेंज \([0,\infty\)) याद रखें। / \(x^2\) is never negative and can take all values from (0) upward. In exams remember the range of the square function as \([0,\infty\)).
दिए गए फलन में \(x=16\) रखने पर \(f(16)=\sqrt{16}=4\) प्राप्त होता है। वर्गमूल का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है, इसलिए उत्तर 4 है। परीक्षा में पहले दिए गए फलन में संबंधित \(x\) का मान रखने की आदत रखें। / Substituting \(x=16\) in the given function gives \(f(16)=\sqrt{16}=4\). The principal square root is taken as the positive value, so the correct answer is 4. In such questions, first substitute the given input into the function and then simplify.
दिए गए फलन में \(x=-8\) रखने पर \(f(-8)=|-8+5|=|-3|=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी संख्या का मापांक कभी ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: पहले फलन में मान रखें और अंत में मापांक का धनात्मक मान लें। / Substituting \(x=-8\) in the function gives \(f(-8)=|-8+5|=|-3|=3\). Therefore, the correct answer is 3. Option B is incorrect because the modulus of a number cannot be negative. Exam tip: substitute the given value first, then evaluate the modulus as a non-negative quantity.
दोनों शर्तें \(x-1\ge 0\) और \(6-x\ge 0\) मिलकर \(1\le x\le 6\) देती हैं। परीक्षा में दो वर्गमूल हों तो शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The two conditions \(x-1\ge 0\) and \(6-x\ge 0\) together give \(1\le x\le 6\). In exams take the intersection of conditions for two square roots.
हर (0) तब होगा जब (x=1) या (x=-2)। परीक्षा में हर के हर गुणनखंड को अलग से शून्य रखें। / The denominator becomes (0) when (x=1) or (x=-2). In exams set each denominator factor separately equal to zero.
क्योंकि ((x+2)2\ge 0), इसलिए (3-(x+2)2\le 3)। परीक्षा में अधिकतम तब मिलता है जब वर्ग वाला भाग (0) हो। / Since ((x+2)2\ge 0), (3-(x+2)2\le 3). In exams the maximum occurs when the squared part is (0).
क्योंकि ((x-4)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम वैल्यू (6) है। परीक्षा में वर्ग वाला भाग (0) करके न्यूनतम वैल्यू पाएं। / Since ((x-4)2\ge 0), the minimum value is (6). In exams set the squared part to (0) to get the minimum value.
वर्गमूल के लिए \(1-x^2\ge 0\) इसलिए \(x^2\le 1\) और \(-1\le x\le 1\)। परीक्षा में \(x^2\le a^2\) से बंद अंतराल मिलता है। / For the square root, \(1-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 1\) and \(-1\le x\le 1\). In exams \(x^2\le a^2\) gives a closed interval.
क्योंकि \(0\le 9-x^2\le 9\), इसलिए \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\)। परीक्षा में पहले अंदर की अधिकतम और न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(0\le 9-x^2\le 9\), we get \(0\le \sqrt{9-x^2}\le 3\). In exams first check the maximum and minimum values inside.
हर \(x^2+4\) की न्यूनतम वैल्यू (4) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{4}\) है और (0) नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal की रेंज में (0) अक्सर शामिल नहीं होता। / The denominator \(x^2+4\) has minimum value (4), so the maximum output is \(\frac{1}{4}\) and (0) is not reached. In exams (0) is often not included in reciprocal ranges.
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(2\le x\le 8\)। परीक्षा में संयुक्त डोमेन के लिए शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Both square roots need \(x-2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so \(2\le x\le 8\). In exams take the intersection of conditions for the combined domain.
वर्गमूल के लिए \(x+2\ge 0\) और हर के लिए \(x-3\ne 0\) चाहिए। इसलिए \(x\ge -2\) और \(x\ne 3\); परीक्षा में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The square root needs \(x+2\ge 0\) and the denominator needs \(x-3\ne 0\). So \(x\ge -2\) and \(x\ne 3\); in exams take the intersection of all conditions.
दिए गए फलन में x=-2 रखने पर (f(-2)=(-2)3=-8) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर -8 है। विकल्प 8 में ऋण चिह्न की अनदेखी की गई है। परीक्षा-युक्ति: विषम घात में ऋणात्मक संख्या का परिणाम ऋणात्मक रहता है। / Substituting x=-2 into the function gives (f(-2)=(-2)3=-8). Therefore, the correct answer is -8. The option 8 results from ignoring the negative sign. Exam tip: an odd power of a negative number remains negative.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए फलन का न्यूनतम मान \(0\) है, जो \(x=0\) पर प्राप्त होता है, और इसके बाद सभी धनात्मक मान संभव हैं। अतः परिसर \([0, infty)\) है। ध्यान रखें कि \(0\) परिसर में शामिल है; इसलिए \((0, infty)\) सही नहीं है। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Thus, the function has a minimum value of \(0\), attained at \(x=0\), and every positive value is also possible. Hence, the range is \([0, infty)\). Remember that \(0\) is included, so \((0, infty)\) is not correct.
प्रत्येक वास्तविक संख्या \(y\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) एक वास्तविक संख्या है और \(f(x)=x^3=y\) देता है। अतः \(x^3\) सभी वास्तविक मान ले सकता है, इसलिए इसका परास \(( -\infty,\infty)\) है। विकल्प A में ऋणात्मक मान नहीं हैं और विकल्प C में धनात्मक मान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: विषम घात वाला \(x^3\) जैसे फलन का परास सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / For every real number \(y\), \(x=\sqrt[3]{y}\) is real and gives \(f(x)=x^3=y\). Hence, \(x^3\) can produce every real value, so its range is \(( -\infty,\infty)\). Option A excludes negative values, while option C excludes positive values. Exam tip: an odd-power function such as \(x^3\) has all real numbers as its range.
बहुपद \(x^2-3x+1\) हर वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है, इसलिए इसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। \(\sqrt{x-1}\) में \(x\ge1\) चाहिए। परीक्षा टिप: मूल, हर और लॉग की शर्तें पहले जाँचें। / The polynomial \(x^2-3x+1\) is defined for every real \(x\), so its domain is \(\mathbb{R}\). In contrast, \(\sqrt{x-1}\) requires \(x\ge1\). Exam tip: first check restrictions from roots, denominators and logs.
फलन \(f(x)=2\) एक अचर फलन है, इसलिए इसके परिभाषा-क्षेत्र में प्रत्येक \(x\) के लिए आउटपुट हमेशा 2 ही रहता है। अतः इसका परिसर केवल \(\{2\}\) है। विकल्प B परिभाषा-क्षेत्र हो सकता है, परिसर नहीं। परीक्षा में अचर फलन का ग्राफ क्षैतिज रेखा होता है और उसका परिसर एकल मान होता है। / The function \(f(x)=2\) is a constant function, so it produces the output 2 for every \(x\) in its domain. Hence, its range contains only \(\{2\}\). Option B may represent the domain, but it is not the range. Exam tip: the graph of a constant function is a horizontal line, and its range is the single constant value.
साइनम फलन में \(x<0\) के लिए \(\operatorname{sgn}(x)=-1\), \(x=0\) के लिए \(\operatorname{sgn}(x)=0\), तथा \(x>0\) के लिए \(\operatorname{sgn}(x)=1\) होता है। अतः फलन केवल \(-1,0,1\) तीन मान लेता है, इसलिए इसका परिसर \(\{-1,0,1\}\) है। विकल्प D में ऋणात्मक \(x\) के लिए मिलने वाला मान \(-1\) नहीं है। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन के प्रश्न में \(x<0\), \(x=0\) और \(x>0\) के तीनों मामलों को अलग-अलग जाँचें। / For the signum function, \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) for \(x<0\), \(\operatorname{sgn}(x)=0\) for \(x=0\), and \(\operatorname{sgn}(x)=1\) for \(x>0\). Hence, the function takes only the three values \(-1,0,1\), so its range is \(\{-1,0,1\}\). Option D omits \(-1\), which occurs for negative values of \(x\). Exam tip: evaluate the three cases \(x<0\), \(x=0\), and \(x>0\) for every signum-function question.
वास्तविक वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \(x+2\ge 0\) होना आवश्यक है। इससे \(x\ge -2\) प्राप्त होता है, अतः डोमेन \([-2,\infty)\) है। विकल्प B में \(x\ge 2\) लेना अनावश्यक रूप से अधिक प्रतिबंध लगाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के डोमेन के लिए radicand को \(\ge 0\) रखें। / The expression inside a real square root cannot be negative, so \(x+2\ge 0\) is required. Therefore, \(x\ge -2\), and the domain is \([-2,\infty)\). Option B incorrectly imposes the stronger condition \(x\ge 2\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
वर्गमूल का मान सदैव गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{x}\ge 0\)। अतः \(f(x)=\sqrt{x}+4\ge 4\)। जब \(x=0\), तब \(f(0)=4\), इसलिए न्यूनतम मान 4 है। विकल्प 0 केवल \(\sqrt{x}\) का न्यूनतम मान है, पूरे फलन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले \(\sqrt{x}\ge 0\) का उपयोग करें। / A square root is always non-negative, so \(\sqrt{x}\ge 0\). Therefore, \(f(x)=\sqrt{x}+4\ge 4\). At \(x=0\), \(f(0)=4\), so the minimum value is 4. The value 0 is the minimum of \(\sqrt{x}\) alone, not of the whole function. Exam tip: For a square-root function, first use the fact that the square-root term is at least zero.
भिन्न के हर का मान शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं होता। यहाँ हर \(x-2\) है। \(x-2=0\) रखने पर \(x=2\) मिलता है, इसलिए फलन \(x=2\) पर परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी परिमेय फलन का डोमेन निकालते समय उसके हर को शून्य के बराबर करके निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a fraction cannot be zero because division by zero is undefined. Here the denominator is \(x-2\). Setting \(x-2=0\) gives \(x=2\), so the function is not defined at \(x=2\). Exam tip: For a rational function, set its denominator equal to zero to find the excluded value from the domain.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x-5\ge 0\)। इससे \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। अतः डोमेन \([5,\infty)\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x<5\) पर वर्गमूल के अंदर ऋणात्मक संख्या आती है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative, so \(x-5\ge 0\). Solving this inequality gives \(x\ge 5\), hence the domain is \([5,\infty)\). Option B is incorrect because values with \(x<5\) make the radicand negative. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-3\) है। \(x-3=0\) रखने पर \(x=3\) मिलता है, इसलिए \(x=3\) पर फलन परिभाषित नहीं है। अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: किसी परिमेय फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए उसके हर को शून्य के बराबर करके उन मानों को हटा दें। / The denominator of a fraction cannot be zero. Here, the denominator is \(x-3\). Setting \(x-3=0\) gives \(x=3\), so the function is undefined at \(x=3\). The other given values do not make the denominator zero. Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting value.
\(x=5\) रखने पर \(x-2=5-2=3>0\) मिलता है। साइनम फलन में धनात्मक संख्या का मान \(1\) होता है, इसलिए \(f(5)=1\)। \(0\) केवल तब मिलता जब \(x=2\) होता, और \(-1\) तब जब \(x<2\) होता। परीक्षा में पहले साइनम के अंदर की अभिव्यक्ति का चिह्न जाँचें। / Substituting \(x=5\) gives \(x-2=5-2=3>0\). The signum function has value \(1\) for a positive number, so \(f(5)=1\). The value \(0\) would occur only at \(x=2\), while \(-1\) occurs when \(x<2\). Exam tip: first determine the sign of the expression inside the signum function.
जब \(x=-1\), तब \(x+1=0\)। साइनम फलन में \(\operatorname{sgn}(0)=0\), इसलिए \(f(-1)=0\)। परीक्षा में याद रखें: \(\operatorname{sgn}(t)\) का मान \(t>0\) पर 1, \(t=0\) पर 0 और \(t<0\) पर -1 होता है। इसलिए 1 और -1 इस स्थिति में गलत हैं, जबकि फलन \(x=-1\) पर परिभाषित है। / When \(x=-1\), we get \(x+1=0\). For the signum function, \(\operatorname{sgn}(0)=0\); hence, \(f(-1)=0\). Exam tip: \(\operatorname{sgn}(t)\) equals 1 for \(t>0\), 0 for \(t=0\), and -1 for \(t<0\). Therefore, 1 and -1 are incorrect here, and the function is defined at \(x=-1\).
\(e^x\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित और सदैव धनात्मक है। हर \(y>0\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर \(e^x=y\) मिलता है। \(x^2\) में 0 भी आता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल और भिन्न में प्रांत-प्रतिबंध जाँचें। / \(e^x\) is defined for every real \(x\) and is always positive. For each \(y>0\), taking \(x=\ln y\) gives \(e^x=y\). \(x^2\) also includes 0 in its range. Exam tip: check domain restrictions in roots and fractions.
किसी फलन का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए फलन का मान शून्य हो। इसलिए \(3x-9=0\), अर्थात \(3x=9\) और \(x=3\)। विकल्प \(x=9\) में 3 से भाग देना छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: रैखिक फलन का शून्यक निकालने के लिए \(f(x)=0\) रखें। / The zero of a function is the value of \(x\) for which the function equals zero. Thus, set \(3x-9=0\), giving \(3x=9\) and hence \(x=3\). The distractor \(x=9\) results from forgetting to divide by 3. Exam tip: To find the zero of a linear function, set \(f(x)=0\).
घन फलन \(f(x)=x^3\) में किसी भी वास्तविक संख्या का घन परिभाषित होता है; इसमें हर, वर्गमूल या लघुगणक जैसी कोई पाबंदी नहीं है। इसलिए इसका डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ है। विकल्प B और C अनावश्यक रूप से ऋणात्मक संख्याओं तथा शून्य को बाहर कर देते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद फलनों का डोमेन हमेशा सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / For the cubic function \(f(x)=x^3\), the cube of every real number is defined; there is no denominator, square root, or logarithm imposing a restriction. Hence, its domain is all real numbers. Options B and C unnecessarily exclude negative numbers or zero. Exam tip: the domain of every polynomial function is all real numbers.
