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\(f(x)=x-7\) एक रैखिक (बहुपद) फलन है। इसमें न तो हर में कोई व्यंजक है जो शून्य हो सकता है और न ही कोई वर्गमूल या लघुगणक जैसी शर्त है। अतः प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(f(x)\) परिभाषित है, इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=7\) रखने पर \(f(7)=0\) मिलता है; 7 को प्रांत से हटाने का कोई कारण नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक बहुपद फलन का वास्तविक प्रांत \(\mathbb{R}\) होता है। / \(f(x)=x-7\) is a linear polynomial function. It has neither a denominator that could become zero nor a square root or logarithm that imposes a restriction. Hence, \(f(x)\) is defined for every real \(x\), so its domain is \(\mathbb{R}\). Option C is incorrect because \(f(7)=0\); there is no reason to exclude 7. Exam tip: Every polynomial function has real domain \(\mathbb{R}\).
(7-2x) एक अस्थिर रेखीय फलन है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / (7-2x) is a non-constant linear function and can take every real value. Therefore its range is \(\mathbb{R}\).
वर्गमूल के अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(x-5\ge 0\), जिससे \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। अतः फलन का डोमेन \([5,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=5\) पर भी \(f(5)=0\) वास्तविक है। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए मूलांक के अंदर की राशि को \(\ge 0\) रखें। / The expression under a real square root must be non-negative. Thus, \(x-5\ge 0\), which gives \(x\ge 5\). Therefore, the domain is \([5,\infty)\). Option B is incorrect because \(x=5\) is also allowed, giving \(f(5)=0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
\(x-5 \ge 0\) से \(x \ge 5\) मिलता है। सिरा (5) शामिल है क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / From \(x-5 \ge 0\), we get \(x \ge 5\). The endpoint (5) is included because the square root can be (0).
वर्गमूल के अंदर \(8-x \ge 0\) होना चाहिए। इससे \(x \le 8\) और प्रांत (\(-\infty,8]\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(8-x \ge 0\). This gives \(x \le 8\), so the domain is (\(-\infty,8]\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-6\) है, जो \(x=6\) पर शून्य हो जाता है; इसलिए \(x=6\) पर फलन परिभाषित नहीं है और 6 प्रांत में सम्मिलित नहीं होगा। इसके विपरीत 0, 3 और -6 रखने पर हर क्रमशः -6, -3 और -12 मिलता है, जो शून्य नहीं हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों के लिए हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here the denominator is \(x-6\), which becomes zero when \(x=6\). Therefore, the function is undefined at 6, so 6 is excluded from the domain. For comparison, substituting 0, 3, or -6 gives non-zero denominators. Exam tip: set the denominator equal to zero to find the excluded value.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x+5\) है, जो \(x=-5\) पर शून्य हो जाता है। इसलिए \(-5\) को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से हटाने पर प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-5\}\) मिलता है। विकल्प B में \(5\) को हटाया गया है, जबकि सही मान \(-5\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्नात्मक फलन का प्रांत निकालते समय हर को शून्य के बराबर करके निषिद्ध मान ज्ञात करें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, the denominator is \(x+5\), which becomes zero at \(x=-5\). Therefore, \(-5\) must be excluded from the set of real numbers, giving the domain \(\mathbb{R}\setminus\{-5\}\). Option B incorrectly excludes \(5\) instead of \(-5\). Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting value.
परास प्राप्त करने के लिए प्रांत के प्रत्येक अवयव को फलन में रखें: \(f(2)=1\), \(f(4)=2\) और \(f(6)=3\)। इसलिए परास \(\{1,2,3\}\) है। विकल्प A प्रांत है, परास नहीं; विकल्प C में प्रत्येक संख्या को 2 से गुणा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: सीमित प्रांत वाले फलन का परास निकालने के लिए सभी इनपुट के फलन-मान लिखें। / To find the range, evaluate the function for every element of the domain: \(f(2)=1\), \(f(4)=2\), and \(f(6)=3\). Hence, the range is \(\{1,2,3\}\). Option A is the domain, not the range, while option C results from multiplying each input by 2. Exam tip: For a finite domain, calculate the function value for every input to obtain the range.
\(2^x\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान सदैव \(0\) से बड़ा होता है, इसलिए परास \((0,\infty)\) है। \(x^2\) का परास धनात्मक के साथ 0 भी है। परीक्षा टिप: घातांकीय फलन कभी 0 नहीं होता। / \(2^x\) is defined for every real \(x\), and its value is always greater than 0; hence its range is \((0,\infty)\). In contrast, \(x^2\) also includes 0 in its range. Exam tip: an exponential function never attains 0.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=x^2+9\ge 9\), और यह मान \(x=0\) पर प्राप्त होता है। अतः फलन का न्यूनतम मान \(9\) है। \(-9\) न्यूनतम मान नहीं हो सकता, क्योंकि \(x^2+9\) सदैव धनात्मक या शून्य से बड़ा होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\) वाले फलन का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए पहले \(x^2\ge 0\) का प्रयोग करें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\). Hence, \(f(x)=x^2+9\ge 9\), and equality occurs at \(x=0\). Therefore, the minimum value of the function is \(9\). The value \(-9\) cannot be the minimum because \(x^2+9\) is always at least 9. Exam tip: For a function containing \(x^2\), use \(x^2\ge 0\) to find its minimum quickly.
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। अतः परिसर \([9,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2+9\) is (9). Thus the range is \([9,\infty\)).
क्योंकि किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(5-(x-2)^2\leq 5\)। जब \(x=2\), तब \((x-2)^2=0\) और \(f(2)=5\) प्राप्त होता है। अतः अधिकतम मान 5 है। विकल्प 7 गलत है, क्योंकि वर्ग पद घटाया जा रहा है। परीक्षा-युक्ति: \(a-(x-h)^2\) के रूप में लिखे फलन का अधिकतम मान \(a\) होता है। / For every real number \(x\), \((x-2)^2\geq 0\), so \(5-(x-2)^2\leq 5\). When \(x=2\), the squared term is zero and \(f(2)=5\). Therefore, the maximum value is 5. The distractor 7 is incorrect because the non-negative square is being subtracted. Exam tip: A function of the form \(a-(x-h)^2\) has maximum value \(a\).
((x-2)2\ge 0), इसलिए (5-(x-2)2\le 5) है। नीचे कोई सीमा नहीं है, इसलिए परिसर (\(-\infty,5]\) है। / Since ((x-2)2\ge 0), (5-(x-2)2\le 5). There is no lower bound, so the range is (\(-\infty,5]\).
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(|x-4|\geq 0\) होता है। इसका न्यूनतम मान \(0\) तब प्राप्त होता है जब \(x=4\)। इसलिए \(f(4)=0+1=1\), अतः सही उत्तर B है। ध्यान रखें कि \(4\) न्यूनतम मान नहीं, बल्कि वह \(x\)-मान है जिस पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है। / For every real \(x\), \(|x-4|\geq 0\). Its minimum value is \(0\), attained when \(x=4\). Therefore, \(f(4)=0+1=1\), so option B is correct. Remember that \(4\) is the value of \(x\) where the minimum occurs, not the minimum value itself.
किसी भी वास्तविक x के लिए |x-4|\ge 0 होता है। इसलिए f(x)=|x-4|+1\ge 1। जब x=4, तब f(4)=1, और |x-4| के सभी गैर-ऋणात्मक मान संभव हैं। अतः परास [1,\infty) है। परीक्षा-युक्ति: |x-a|+b का न्यूनतम मान b होता है। / For every real x, |x-4|\ge 0. Hence f(x)=|x-4|+1\ge 1. The minimum value 1 is attained at x=4, and |x-4| can take every non-negative value. Therefore, the range is [1,\infty). Exam tip: the minimum value of |x-a|+b is b.
किसी भी वास्तविक x के लिए \(|x+2|\ge 0 \)। इसलिए (f(x)=6-|x+2|\le 6 )। जब (x=-2 ), तब (|x+2|=0 ) और (f(-2)=6 ), अतः अधिकतम मान 6 है। 8 गलत है, क्योंकि मॉड्यूलस का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: (a-|g(x)| ) का अधिकतम मान सामान्यतः a होता है, यदि (g(x)=0 ) किसी वास्तविक x के लिए संभव हो। / For every real x, \(|x+2|\ge 0 \), so (f(x)=6-|x+2|\le 6 ). At (x=-2 ), (|x+2|=0 ) and hence (f(-2)=6 ). Therefore, the maximum value is 6. The option 8 is incorrect because an absolute value cannot be negative. Exam tip: For an expression of the form (a-|g(x)| ), the maximum is usually a when (g(x)=0 ) is attainable for a real x.
(|x+2|) बड़ा होने पर (6-|x+2|) छोटा होता जाता है। अधिकतम (6) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x+2|) becomes larger, (6-|x+2|) becomes smaller. The maximum is (6), and there is no lower bound.
दिए गए फलन में \(x=8\) रखने पर \(f(8)=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। विकल्प 9 अंदर का मान \(8+1\) है, वर्गमूल लेने के बाद का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले मूल के अंदर का व्यंजक हल करें, फिर वर्गमूल निकालें। / Substituting \(x=8\) into the function gives \(f(8)=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3\). Therefore, the correct value is 3. The value 9 is the radicand before taking the square root, not the function value. Exam tip: simplify the expression inside the square root first, and then evaluate the root.
वास्तविक वर्गमूल के लिए वर्गमूल के भीतर की राशि ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए \(x+10\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -10\)। अतः वास्तविक प्रांत \([-10,\infty)\) है। विकल्प C में \(-10\) को बाहर रखा गया है, जबकि \(x=-10\) पर \(f(x)=\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक को \(\ge 0\) रखकर असमिकता हल करें। / For a real square root, the expression inside the root cannot be negative. Hence, \(x+10\ge 0\), so \(x\ge -10\). Therefore, the real domain is \([-10,\infty)\). Option C excludes \(-10\), but at \(x=-10\), \(f(x)=\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand \(\ge 0\) before solving the inequality.
वास्तविक वर्गमूल के लिए वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। अतः \(12-3x\geq 0\)। हल करने पर \(-3x\geq -12\), इसलिए \(x\leq 4\) मिलता है। इसलिए वास्तविक प्रांत \(( -\infty,4]\) है। विकल्प C में \(4\) को छोड़ दिया गया है, जबकि \(x=4\) पर \(f(4)=\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में हमेशा मूलांक को \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the root must be non-negative. Thus, \(12-3x\geq 0\). Solving gives \(-3x\geq -12\), hence \(x\leq 4\). Therefore, the real domain is \(( -\infty,4]\). Option C incorrectly excludes 4, although \(f(4)=\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: for real square-root functions, set the radicand greater than or equal to zero.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ \(x^2-9=0\), इसलिए \(x^2=9\) और \(x=\pm3\) प्राप्त होता है। अतः \(-3\) और \(3\) प्रांत से बाहर होंगे। विकल्प A में \(9\) और \(-9\) लिए गए हैं, लेकिन उन पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए पहले हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here, \(x^2-9=0\), so \(x^2=9\) and \(x=\pm3\). Therefore, \(-3\) and \(3\) are excluded from the domain. Option A incorrectly uses \(-9\) and \(9\); the denominator is not zero at those values. Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
हर (0) नहीं होना चाहिए और \(x^2-9=0\) पर (x=-3,3) मिलते हैं। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}-{-3,3}\) है। / The denominator must not be (0), and \(x^2-9=0\) gives (x=-3,3). Hence the domain is \(\mathbb{R}-{-3,3}\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ \(x^2+6\geq 6>0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए है, इसलिए हर कभी शून्य नहीं होता और सभी वास्तविक संख्याएँ प्रांत में शामिल होती हैं। अतः प्रांत \(\mathbb{R}\) है। परीक्षा में प्रांत निकालते समय पहले हर को शून्य रखकर प्रतिबंधित मान जाँचें। / For a rational function, the denominator must not be zero. Here, \(x^2+6\geq 6>0\) for every real \(x\), so the denominator never vanishes and all real numbers belong to the domain. Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\). Exam tip: Set the denominator equal to zero first to identify any excluded values.
हर \(x^2+6\) सबसे छोटा (6) तब होता है जब (x=0)। इसलिए भिन्न का मान सबसे बड़ा तब मिलता है। / The denominator \(x^2+6\) is smallest at (6) when (x=0). Therefore the fraction is greatest then.
हर का न्यूनतम मान (6) है, इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{6}\) है। (0) कभी नहीं मिलता पर मान (0) के पास जा सकता है। / The minimum denominator is (6), so the maximum value is \(\frac{1}{6}\). The value (0) is never reached but can be approached.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(16-x^2\ge 0\)। अतः \(x^2\le16\), जिससे \(-4\le x\le4\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \([-4,4]\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें सिरों \(-4\) और \(4\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि इन दोनों पर फलन का मान \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय radicand को \(\ge0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative: \(16-x^2\ge0\). Thus, \(x^2\le16\), which gives \(-4\le x\le4\). Therefore, the domain is \([-4,4]\). Option A is incorrect because it excludes the endpoints \(-4\) and \(4\), where the function is defined and equals \(0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find its domain.
वास्तविक मान के लिए \(16-x^2\ge 0\), और \(x^2\) का न्यूनतम मान 0 होता है, जो \(x=0\) पर प्राप्त होता है। इसलिए \(f(0)=\sqrt{16}=4\), अतः अधिकतम मान 4 है। विकल्प 16 वर्गमूल के अंदर की अधिकतम मात्रा है, फलन का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का अधिकतम मान पाने के लिए पहले मूलांक के अधिकतम मान पर विचार करें। / For real values, \(16-x^2\ge 0\), and \(x^2\) is smallest when \(x=0\). Thus, \(f(0)=\sqrt{16}=4\), so the maximum value is 4. The value 16 is the maximum radicand, not the value of the function after taking the square root. Exam tip: For a square-root function, first maximize the expression inside the radical and then take its square root.
वर्गमूल का मान सदैव शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए \(f(x)\geq 0\)। जब \(x=0\), तब \(f(x)=4\), और जब \(x=\pm4\), तब \(f(x)=0\)। अतः परास \([0,4]\) है। विकल्प B फलन का परास नहीं, बल्कि इसका डोमेन है। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन के परास के लिए न्यूनतम और अधिकतम मान अवश्य जाँचें। / A square-root value is always non-negative, so \(f(x)\geq 0\). At \(x=0\), \(f(x)=4\), and at \(x=\pm4\), \(f(x)=0\). Therefore, the range is \([0,4]\). Option B represents the domain, not the range. In exams, check whether the minimum and maximum values are actually attained before choosing open or closed endpoints.
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \((x+5)^2\geq 0\) होता है। \(x=-5\) पर फलन का न्यूनतम मान \(0\) मिलता है और बड़े मान भी प्राप्त किए जा सकते हैं। अतः इसका परास \([0,\infty)\) है। \([5,\infty)\) गलत है, क्योंकि \(+5\) वर्ग के भीतर है; इससे केवल शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक बदलता है, न्यूनतम फलमान नहीं। परीक्षा टिप: वर्ग वाले व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए उसे शून्य के बराबर रखने वाला \(x\) देखें। / For every real \(x\), \((x+5)^2\geq 0\). The minimum value is \(0\), attained when \(x=-5\), and arbitrarily large values are possible. Hence the range is \([0,\infty)\). \([5,\infty)\) is incorrect because the \(+5\) is inside the square; it shifts the vertex horizontally and does not make the minimum function value 5. Exam tip: For a squared expression, find the input that makes the squared part zero to identify the minimum value.
क्योंकि \((x-3)^2\geq 0\), इसलिए \(f(x)=(x-3)^2+2\geq 2\)। जब \(x=3\), तब \(f(x)=2\), अतः फलन का परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में 3, शीर्ष-बिंदु का \(x\)-निर्देशांक है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((x-a)^2+b\) का परास हमेशा \([b,\infty)\) होता है। / Since \((x-3)^2\geq 0\), we have \(f(x)=(x-3)^2+2\geq 2\). At \(x=3\), the function attains the value 2, so its range is \([2,\infty)\). Option B gives 3, which is the x-coordinate of the vertex, not the minimum function value. Exam tip: the range of \((x-a)^2+b\) is \([b,\infty)\).
क्योंकि \((x+1)^2\ge 0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(f(x)=2-(x+1)^2\le 2\)। जब \(x=-1\), तब \(f(x)=2\), और \(x\) के \(-1\) से दूर जाने पर फलन के मान बिना सीमा के घटते जाते हैं। अतः परिसर \((- infty,2]\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है। परीक्षा-सुझाव: \(a<0\) वाले द्विघात फलन का शीर्ष अधिकतम मान देता है। / Since \((x+1)^2\ge 0\) for every real \(x\), we have \(f(x)=2-(x+1)^2\le 2\). At \(x=-1\), the function attains its maximum value \(2\), while its values decrease without bound as \(x\) moves away from \(-1\). Therefore, the range is \((- infty,2]\). Option A is incorrect because the parabola opens downward. Exam tip: for a quadratic with a negative leading coefficient, the vertex gives the maximum value.
A. इसके निर्गत मान \(\mathbb{R}\) में होते हैं/Its output values lie in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाले फलन में मान वास्तविक संख्याओं में होते हैं। प्रांत (A) कोई उपयुक्त समुच्चय हो सकता है। / In a real valued function, the values are real numbers. The domain (A) can be any suitable set.
B. सभी प्राप्त वास्तविक मान/All actually obtained real values
Explanation
Simple Explanation
परिसर उन मानों का समुच्चय है जो फलन वास्तव में देता है। इसे सहप्रांत से अलग समझना चाहिए। / The range is the set of values actually produced by the function. It should be understood separately from the codomain.
प्रांत वे मान हैं जिन्हें (x) के रूप में फलन में रखा जा सकता है। प्रांत निकालते समय हर और वर्गमूल की शर्त देखें। / The domain is the set of values that can be used as (x) in the function. While finding it, check denominator and square-root conditions.
वर्गमूल के अंदर की राशि वास्तविक होने के लिए \(x+2\ge 0\) होना चाहिए, लेकिन वही वर्गमूल हर में है, इसलिए उसका मान शून्य नहीं हो सकता। अतः \(x+2>0\), अर्थात् \(x>-2\), और प्रांत \((-2,\infty)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें \(x=-2\) शामिल है, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो मूल के अंदर की राशि को हमेशा सख्ती से धनात्मक रखें। / The radicand must be non-negative for a real value, so \(x+2\ge 0\). However, the square root is in the denominator and cannot be zero; therefore, \(x+2>0\), or \(x>-2\). Hence the domain is \((-2,\infty)\). Option A is incorrect because it includes \(x=-2\), which makes the denominator zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, its radicand must be strictly positive.
\(x^2\) हर वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और उसका मान भी वास्तविक होता है। \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\geq0\) चाहिए, जबकि \(1/x\) में \(x=0\) मान्य नहीं है। परीक्षा में मूल के अंदर की राशि और हर को पहले जाँचें। / \(x^2\) is defined and real for every real \(x\). In contrast, \(\sqrt{x}\) needs \(x\geq0\), and \(1/x\) is undefined at \(x=0\). Exam tip: first check the radicand and any denominator when identifying domains.
परिमेय फलन में हर को शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ हर \(x^2+1\) है, और किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq 0\), इसलिए \(x^2+1\geq 1\) तथा यह कभी शून्य नहीं होता। अतः फलन प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और उसका प्रांत \(\mathbb{R}\) है। निकटतम भटकाने वाला विकल्प B है, लेकिन \(x=0\) रखने पर हर \(1\) मिलता है, इसलिए शून्य को हटाने की आवश्यकता नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य करने वाले मानों को ही अस्वीकार करें। / For a rational function, the denominator must not be zero. Here the denominator is \(x^2+1\). Since \(x^2\geq 0\) for every real \(x\), we have \(x^2+1\geq 1\), so it can never be zero. Therefore, the function is defined for every real number and its domain is \(\mathbb{R}\). The closest distractor is B, but at \(x=0\) the denominator equals \(1\), so zero must not be excluded. Exam tip: To find the domain, reject only those values that make the denominator zero.
A के प्रत्येक अवयव के लिए f(x) का मान निकालते हैं: f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5 और f(3)=7। इसलिए फलन का परास {1,3,5,7} है। ध्यान रखें कि परास में फलन से प्राप्त मान लिखे जाते हैं, जबकि दिए गए समुच्चय A के अवयव प्रांत होते हैं। / Evaluate the function at every element of A: f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5, and f(3)=7. Therefore, the range is {1,3,5,7}. Remember that the range contains the output values, whereas the elements of A form the domain.
दिए गए क्रमशः इनपुट −2, −1, 0 और 1 के लिए फलन के मान 5, 2, 1 और 2 हैं। इसलिए अलग-अलग आउटपुट मानों का समुच्चय \(\{1,2,5\}\) है, यही परास है। विकल्प C परिभाषा-समुच्चय है, परास नहीं; जबकि विकल्प B में आउटपुट 1 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए हर डोमेन मान पर फलन का मान निकालकर दोहराए गए मानों को एक ही बार लिखें। / For the inputs −2, −1, 0 and 1, the function values are 5, 2, 1 and 2, respectively. Hence, the set of distinct output values is \(\{1,2,5\}\), which is the range. Option C is the domain, not the range, while option B omits the output 1. Exam tip: Evaluate the function for every domain element and list repeated outputs only once.
\(f(2)=|2-6|=|-4|=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। यहाँ \(-4\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि मॉड्यूलस किसी संख्या का निरपेक्ष मान देता है, जो ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए मान को फलन में रखें और अंत में मॉड्यूलस लगाएँ। / Substituting \(x=2\), we get \(f(2)=|2-6|=|-4|=4\). Therefore, 4 is correct. The closest distractor is \(-4\), but an absolute value represents a non-negative distance from zero. Exam tip: substitute the given input first, then evaluate the modulus.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=3x^2\ge 0\)। साथ ही, \(x=0\) पर \(f(0)=0\), इसलिए शून्य भी परास में शामिल है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल नहीं है, और विकल्प C में ऐसे ऋणात्मक मान भी हैं जो इस फलन से प्राप्त नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले फलन का न्यूनतम मान पहले निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(f(x)=3x^2\ge 0\). Also, when \(x=0\), \(f(0)=0\), so zero is included in the range. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option A is incorrect because it excludes zero, while option C includes negative values that the function cannot produce. Exam tip: For a squared function, first identify its minimum value.
\(x^2+1\) एक बहुपद फलन है, इसलिए यह हर वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित और वास्तविक होता है। \(\sqrt{x-3}\) के लिए \(x\ge3\) चाहिए। परीक्षा टिप: मूल, हर और लॉग की शर्तें पहले जाँचें। / \(x^2+1\) is a polynomial, so it is defined and real for every real \(x\). In contrast, \(\sqrt{x-3}\) needs \(x\ge3\). Exam tip: first check restrictions from roots, denominators, and logarithms.
क्योंकि प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(4x^2\ge 0\) और \(f(x)=4x^2-1\ge -1\)। \(x=0\) पर \(f(0)=-1\) प्राप्त होता है, तथा \(x\) का परिमाण बढ़ाने पर फलन का मान अनंत तक बढ़ सकता है। अतः परास \([-1,\infty)\) है। परीक्षा टिप: ऊपर खुले सिरे वाले द्विघात फलन का न्यूनतम मान उसके शीर्ष पर जाँचें। / For every real \(x\), \(x^2\ge 0\), so \(4x^2\ge 0\) and hence \(f(x)=4x^2-1\ge -1\). The value \(-1\) is attained at \(x=0\), and the function can increase without bound as the magnitude of \(x\) increases. Therefore, the range is \([-1,\infty)\). Exam tip: For an upward-opening quadratic, find the minimum value at its vertex to determine the range.
वास्तविक वर्गमूल तभी परिभाषित होता है जब उसके अंदर की राशि गैर-ऋणात्मक हो। इसलिए \(3x+12\ge 0\), जिससे \(x\ge -4\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \([-4,\infty)\) है। विकल्प B में असंबंधित दिशा की असमानता है, जबकि \(-4\) को शामिल करना आवश्यक है क्योंकि वहाँ वर्गमूल का मान शून्य होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के लिए मूलांक के अंदर की राशि को \(\ge 0\) रखें। / A real square root is defined only when its radicand is non-negative. Thus, \(3x+12\ge 0\), which gives \(x\ge -4\). Therefore, the domain is \([-4,\infty)\). Option B uses the wrong direction of the inequality, and \(-4\) must be included because the square root is zero there. Exam tip: For a square-root function, set the expression under the root greater than or equal to zero.
\(\frac{2x+1}{3}\) अस्थिर रेखीय फलन है। (x) वास्तविक होने पर इसका परिसर \(\mathbb{R}\) है। / \(\frac{2x+1}{3}\) is a non-constant linear function. When (x) is real, its range is \(\mathbb{R}\).
यह एक स्थिर फलन है, इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(f(x)=-4\) ही प्राप्त होता है। अतः फलन का परिसर केवल एक तत्व वाला समुच्चय \(\{-4\}\) है। विकल्प B और D अंतराल हैं, जबकि इस फलन का कोई भी मान \(-4\) से अलग नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: स्थिर फलन का परिसर हमेशा उसके एकमात्र स्थिर मान का समुच्चय होता है। / This is a constant function, so for every real \(x\), the output is always \(-4\). Therefore, its range is the singleton set \(\{-4\}\). Options B and D are intervals, but this function never produces any value other than \(-4\). Exam tip: the range of a constant function is the set containing its single constant value.
जब \(x\) का मान \([0,9]\) में है, तब \(\sqrt{x}\) का न्यूनतम मान \(\sqrt{0}=0\) और अधिकतम मान \(\sqrt{9}=3\) होता है। इसलिए परास \([0,3]\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि वह \(x\) का प्रांत है, \(f(x)\) का परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल फलन के परास के सिरों के लिए प्रांत के सिरों पर फलन का मान जाँचें। / For \(x\in[0,9]\), the minimum value of \(\sqrt{x}\) is \(\sqrt{0}=0\), and the maximum value is \(\sqrt{9}=3\). Therefore, the range is \([0,3]\). Option B is the domain of \(x\), not the range of \(f(x)\). Exam tip: For a square-root function on a closed interval, evaluate the function at the interval's endpoints to find the range.
अंतराल ([-2,3]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम मान (0) है। सबसे बड़ा वर्ग \(3^2=9\) है, इसलिए परिसर ([0,9]) है। / The interval ([-2,3]) includes (0), so the minimum value is (0). The largest square is \(3^2=9\), so the range is ([0,9]).
