Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वर्गमूल के लिए \(1-\frac{1}{x^2}\ge 0\) और \(x\ne 0\) चाहिए। इससे \(x^2\ge 1\), यानी \(|x|\ge 1\) मिलता है। / The square root needs \(1-\frac{1}{x^2}\ge 0\) and \(x\ne 0\). This gives \(x^2\ge 1\), so \(|x|\ge 1\).
प्रांत में \(\frac{1}{x^2}\in(0,1]), इसलिए अंदर का मान ([0,1)\) में है। वर्गमूल के बाद भी परिसर ([0,1)) रहता है। / On the domain, \(\frac{1}{x^2}\in(0,1]), so the inside value lies in ([0,1)\). After square root, the range remains ([0,1)).
\(x^2\ge0\) से \(x^2+1\ge1\), इसलिए हर कभी शून्य नहीं होता और प्रांत \(\mathbb R\) है। इसका व्युत्क्रम धनात्मक तथा अधिकतम 1 है, अतः परास \((0,1]\) है। परीक्षा में पहले हर की शून्यता जाँचें। / Since \(x^2+1\ge1\), the denominator never becomes zero, so the domain is \(\mathbb R\). Its reciprocal is positive and at most 1, giving range \((0,1]\). Exam tip: check denominator zeros first.
वर्गमूल के लिए (\log_{\frac{1}{4}}(9-x)\ge 0) और (9-x>0) चाहिए। आधार \(\frac{1}{4}<1\) होने से \(0<9-x\le 1\), इसलिए प्रांत ([8,9)) है। / The square root needs (\log_{\frac{1}{4}}(9-x)\ge 0) and (9-x>0). Since the base \(\frac{1}{4}<1\), \(0<9-x\le 1\), so the domain is ([8,9)).
\(\sqrt{x^2+4}\ge 2\), इसलिए हर कम से कम (5) है और अधिकतम मान \(\frac{2}{5}\) है। \(|x|\to\infty\) पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / Since \(\sqrt{x^2+4}\ge 2\), the denominator is at least (5), so the maximum value is \(\frac{2}{5}\). As \(|x|\to\infty\), the value approaches (0) but never becomes (0).
\(x^2\ge 0\) होने से \(x^2+1>0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए है, इसलिए वर्गमूल वास्तविक रहता है। विकल्प B में \(|x|>1\) पर मूल के भीतर मान ऋणात्मक होगा। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर का व्यंजक सदैव \(\ge0\) जाँचें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1>0\) for every real \(x\), so its square root is always real. In option B, the radicand becomes negative when \(|x|>1\). Exam tip: for square-root functions, check that the radicand is always \(\ge0\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। इसलिए \(x+5\geq 0\), अतः \(x\geq -5\)। इसलिए डोमेन \([-5,\infty)\) है। विकल्प B में \(-5\) शामिल नहीं है, जबकि \(f(-5)=\sqrt{0}=0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए मूल के अंदर के व्यंजक को \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the radical cannot be negative. Hence \(x+5\geq 0\), so \(x\geq -5\). Therefore, the domain is \([-5,\infty)\). Option B excludes \(-5\), but \(f(-5)=\sqrt{0}=0\) is defined. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to determine its domain.
\(e^x\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित और सदैव धनात्मक है। \(x\to-\infty\) पर \(e^x\to0\), पर 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए न्यूनतम नहीं है। \(x^2\) और \(|x|\) का न्यूनतम 0 है। परीक्षा टिप: सीमा और प्राप्त मान में अंतर पहचानें। / \(e^x\) is defined for every real \(x\) and is always positive. As \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\), but it never equals 0, so no minimum is attained. In contrast, \(x^2\) and \(|x|\) attain 0. Exam tip: distinguish a limit from an attained value.
यह शीर्ष-रूप \(y=-(x+4)^2+9\) में दिया गया परवलय है। ऋणात्मक गुणांक के कारण यह नीचे की ओर खुलता है और इसका शीर्ष \((-4,9)\) है। इसलिए अधिकतम \(y\)-मान 9 है, जबकि नीचे की ओर मान अनंत तक जा सकते हैं; अतः रेंज \((- infty,9]\) है। विकल्प B ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय की रेंज जैसा है। परीक्षा-युक्ति: \(y=a(x-h)^2+k\) में \(a<0\) होने पर रेंज \((- infty,k]\) होती है। / The equation is in vertex form, \(y=-(x+4)^2+9\). Since the coefficient of the squared term is negative, the parabola opens downward and has vertex \((-4,9)\). Thus, 9 is the maximum value of \(y\), while the values extend indefinitely downward, so the range is \((- infty,9]\). Option B would describe the range of an upward-opening parabola. Exam tip: for \(y=a(x-h)^2+k\), if \(a<0\), the range is \((- infty,k]\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(4-x\ge 0\)। इससे \(x\le 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,4]\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C अनावश्यक रूप से \(x\ge 0\) भी मानता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the radicand must be non-negative: \(4-x\ge 0\). Thus \(x\le 4\), so the domain is \((- infty,4]\). Option B reverses the inequality, while option C incorrectly adds the unnecessary restriction \(x\ge 0\). Exam tip: For a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero to find the domain.
