Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सिरों पर मान \(\sqrt{5}\) और मध्य \(x=\frac{9}{2}\) पर अधिकतम \(\sqrt{10}\) है। सममिति वाले प्रश्नों में मध्य बिंदु जरूर जांचें। / At the endpoints the value is \(\sqrt{5}\), and at the midpoint \(x=\frac{9}{2}\), the maximum is \(\sqrt{10}\). In symmetric questions, always check the midpoint.
हर वाले वर्गमूल के लिए (x+2>0) और दूसरे वर्गमूल के लिए \(6-x\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(-2<x\le 6\)। / The denominator square root needs (x+2>0), and the second square root needs \(6-x\ge 0\). Therefore \(-2<x\le 6\).
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(25-x^2\ge 0\), जिससे \(-5\le x\le 5\) प्राप्त होता है। अतः \([-5,5]\) प्रारंभिक प्रांत है। साथ ही हर \(x-3\) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x=3\) को हटाना होगा। इस प्रकार प्रांत \([-5,5]\setminus\{3\}\) है। विकल्प B में सिरों \(-5\) और \(5\) को अनावश्यक रूप से हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल के लिए अंदर का भाग \(\ge 0\) और हर के लिए \(\ne 0\) शर्त लगाएँ। / The expression under the square root must be non-negative, so \(25-x^2\ge 0\), which gives \(-5\le x\le 5\). Thus the initial domain is \([-5,5]\). Also, the denominator \(x-3\) cannot be zero, so \(x=3\) must be excluded. Therefore, the domain is \([-5,5]\setminus\{3\}\). Option B is incorrect because the endpoints \(-5\) and \(5\) are allowed. Exam tip: impose \(\text{radicand}\ge 0\) and denominator \(\ne 0\).
दिए गए अंतराल में \(\sin x\) का अधिकतम (1) और न्यूनतम (-1) दोनों आते हैं। त्रिकोणमितीय परिसर के लिए प्रमुख कोणों की जांच करें। / In the given interval, \(\sin x\) attains both maximum (1) and minimum (-1). For trigonometric ranges, check key angles.
A. \( \mathbb{R}\setminus\left{\frac{3\pi}{2}+2n\pi:n\in\mathbb{Z}\right} \)
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(1+\sin x\ne 0\)। \(\sin x=-1\) पर \(x=\frac{3\pi}{2}+2n\pi\) हटेगा। / The denominator must not be zero, so \(1+\sin x\ne 0\). When \(\sin x=-1\), \(x=\frac{3\pi}{2}+2n\pi\) is excluded.
\(\sin x\in[-1,1]\), इसलिए \(2+\sin x\in[1,3]\)। ऊर्ध्व स्थानांतरण में परिसर भी उतना ही खिसकता है। / Since \(\sin x\in[-1,1]\), \(2+\sin x\in[1,3]\). Under vertical shift, the range shifts by the same amount.
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(\sin x\ge 0\) होना आवश्यक है। \([0,2\pi]\) में \(\sin x\) गैर-ऋणात्मक केवल \([0,\pi]\) पर होता है। दोनों सिरों पर \(\sin 0=\sin\pi=0\), इसलिए 0 और \(\pi\) शामिल होंगे। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत निकालते समय मूल के अंदर का व्यंजक पहले \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, we require \(\sin x\ge 0\). Within \([0,2\pi]\), sine is non-negative on \([0,\pi]\). The endpoints are included because \(\sin 0=\sin\pi=0\). Exam tip: for a square-root function, first impose that the expression inside the root is at least zero, then intersect the result with the given interval.
A. \( \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right] \)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल के लिए \(\cos x\ge 0\) चाहिए। \([0,2\pi]\) में यह पहले और चौथे चतुर्थांश में सत्य है। / The square root needs \(\cos x\ge 0\). In \([0,2\pi]\), this is true in the first and fourth quadrants.
\(x+2\in[1,5\)), इसलिए महत्तम पूर्णांक मान (1,2,3,4) होंगे। (5) नहीं आता क्योंकि ऊपरी सिरा खुला है। / Here \(x+2\in[1,5\)), so the greatest integer values are (1,2,3,4). The value (5) does not occur because the upper endpoint is open.
किसी भी वास्तविक संख्या का भिन्नांश भाग (0) से बड़ा या बराबर और (1) से छोटा होता है। (2x) पूर्णांक होने पर मान (0) मिलता है। / The fractional part of any real number is at least (0) and less than (1). When (2x) is an integer, the value is (0).
