Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(y=\frac{7x+4}{2x-3}\) से \(x=\frac{3y+4}{2y-7}\), इसलिए \(y\ne \frac{7}{2}\)। रैखिक भिन्न फलन में असंभव (y) को हटाएं। / From \(y=\frac{7x+4}{2x-3}\), \(x=\frac{3y+4}{2y-7}\), so \(y\ne \frac{7}{2}\). In a linear fractional function, remove the impossible (y).
वर्गमूल के लिए \(12-x-x^2\ge 0\) चाहिए। इसे (-(x+4)(x-3)\ge 0) लिखकर \(-4\le x\le 3\) मिलता है। / The square root needs \(12-x-x^2\ge 0\). Writing it as (-(x+4)(x-3)\ge 0) gives \(-4\le x\le 3\).
\(12-x-x^2=\frac{49}{4}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\), इसलिए अंदर का अधिकतम \(\frac{49}{4}\) है। वर्गमूल से अधिकतम \(\frac{7}{2}\) मिलता है। / Since \(12-x-x^2=\frac{49}{4}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\), the inside maximum is \(\frac{49}{4}\). Taking square root gives maximum \(\frac{7}{2}\).
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(x^2-2x-8>0\) चाहिए। ((x-4)(x+2)>0) से बाहरी खुले अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so \(x^2-2x-8>0\) is required. From ((x-4)(x+2)>0), the outer open intervals are obtained.
\(t=x^2\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t+5}{t+2}=1+\frac{3}{t+2}\)। अधिकतम \(\frac{5}{2}\) है और (1) केवल सीमा मान है। / Put \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+5}{t+2}=1+\frac{3}{t+2}\). The maximum is \(\frac{5}{2}\), and (1) is only a limiting value.
लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x^2-9>0\)। अर्थात् \((x-3)(x+3)>0\), जिससे \(x<-3\) या \(x>3\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \(\,(-\infty,-3)\cup(3,\infty)\,\) है। सिरों \(x=-3\) और \(x=3\) को शामिल नहीं किया जा सकता, क्योंकि वहाँ लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है। परीक्षा में लॉगरिदम के तर्क के लिए हमेशा ‘धनात्मक’ शर्त लगाएँ, केवल ‘अशून्य’ नहीं। / The argument of a logarithm must be positive, so \(x^2-9>0\). Factoring gives \((x-3)(x+3)>0\), which holds when \(x<-3\) or \(x>3\). Therefore, the domain is \( (-\infty,-3)\cup(3,\infty) \). The endpoints \(x=-3\) and \(x=3\) are excluded because the logarithm’s argument becomes zero there; option C incorrectly excludes only these two points and includes values between them. Exam tip: for a logarithm, require its argument to be strictly positive, not merely nonzero.
लघुगणकीय फलन का परिसर सभी वास्तविक संख्याएं होता है जब उसका आर्गुमेंट सभी धनात्मक मान ले सकता है। आधार \(\frac{1}{3}\) केवल दिशा बदलता है, परिसर नहीं। / A logarithmic function has all real numbers as range when its argument can take all positive values. The base \(\frac{1}{3}\) only changes direction, not the range.
\(t=\sqrt{x-1}\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+4}\)। (t=0) पर (0) मिलता है और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है। / Put \(t=\sqrt{x-1}\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+4}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1).
वर्गमूल के लिए \(|x+2|-5\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(|x+2|\ge 5\), जिससे \(x\le -7\) या \(x\ge 3\) मिलता है। / The square root needs \(|x+2|-5\ge 0\). Hence \(|x+2|\ge 5\), giving \(x\le -7\) or \(x\ge 3\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(|x-4|-1\ne0\), अर्थात \(|x-4|\ne1\)। इससे \(x-4=1\) या \(x-4=-1\), अतः \(x=5\) या \(x=3\)। इसलिए वास्तविक संख्याओं में से केवल 3 और 5 को हटाने पर प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{3,5\}\) मिलता है। विकल्प B में 4 को हटाया गया है, जबकि \(x=4\) पर हर \(-1\) होता है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: हर को शून्य करने वाले सभी मानों को डोमेन से हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Thus, \(|x-4|-1\ne0\), or \(|x-4|\ne1\). Hence, \(x-4=1\) or \(x-4=-1\), giving \(x=5\) or \(x=3\). Therefore, the domain is all real numbers except 3 and 5: \(\mathbb{R}\setminus\{3,5\}\). Option B incorrectly excludes 4; at \(x=4\), the denominator is \(-1\), so the function is defined. Exam tip: for a rational function, exclude every input that makes the denominator zero.
