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Mathematics Real valued functions, domain and range of these functions MCQ Questions for Class 11

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Real valued functions, domain and range of these functions Practice Questions

Showing 621-630 of 712 questions.

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Question 621/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

दिए गए फलन (f(x)=\frac{\sqrt{9-x-2}}{x+1}) का प्रांत (domain) क्या है?

What is the domain of the function (f(x)=\frac{\sqrt{9-x-2}}{x+1})?

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Correct Answer

A. \([-3,3]\setminus\{-1\}\)

Explanation

Simple Explanation

वर्गमूल के अंदर की राशि के लिए \(9-x^2\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(-3\le x\le 3\)। साथ ही, हर \(x+1\neq 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x=-1\) को हटाना होगा। अतः प्रांत \([-3,3]\setminus\{-1\}\) है। विकल्प C में \(-1\) को नहीं हटाया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल के लिए असमता और हर के लिए शून्य से भिन्न होने की शर्त दोनों जाँचें। / For the square root to be defined, \(9-x^2\ge 0\), which gives \(-3\le x\le 3\). Also, the denominator must be non-zero, so \(x+1\neq 0\), excluding \(x=-1\). Therefore, the domain is \([-3,3]\setminus\{-1\}\). Option C is incorrect because it includes \(-1\), where the denominator becomes zero. Exam tip: for such functions, impose both the radicand condition and the non-zero denominator condition.

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Question 622/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

फलन (f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}) का परिसर क्या है?

What is the range of (f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}})?

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Correct Answer

A. ( (0,1] )

Explanation

Simple Explanation

\(\sqrt{x}\ge 0\), इसलिए हर कम से कम (1) है। (x=0) पर (1) मिलता है और \(x\to\infty\) पर मान (0) के पास जाता है। / Since \(\sqrt{x}\ge 0\), the denominator is at least (1). At (x=0), the value is (1), and as \(x\to\infty\), it approaches (0).

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Question 623/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

फलन (f(x)=\sqrt{x-2+2x+2}) का परिसर क्या है?

What is the range of (f(x)=\sqrt{x-2+2x+2})?

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Correct Answer

A. \( [1,\infty\) )

Explanation

Simple Explanation

(x-2+2x+2=(x+1)2+1), इसलिए अंदर का न्यूनतम (1) है। वर्गमूल के बाद परिसर \([1,\infty\)) होगा। / Since (x-2+2x+2=(x+1)2+1), the inside minimum is (1). After square root, the range is \([1,\infty\)).

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Question 624/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

फलन (f(x)=\log_{2}\(x^2+2x+2\)) का परास क्या है?

What is the range of the function (f(x)=\log_{2}\(x^2+2x+2\))?

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Correct Answer

A. \([0,\infty)\)

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), इसलिए लघुगणक का तर्क सदैव \(1\) या उससे अधिक है। इसका न्यूनतम मान \(1\) तब मिलता है जब \(x=-1\), और \(\log_2 1=0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बढ़ता है, तर्क तथा फलन का मान बिना सीमा के बढ़ता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि न्यूनतम फलन मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करके उस पर लघुगणक लगाएँ। / Since \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), the logarithm's argument is always at least \(1\). Its minimum value is \(1\) at \(x=-1\), giving \(\log_2 1=0\). As \(|x|\) increases, the argument and hence the function value grow without bound. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because the minimum function value is \(0\), not \(1\). Exam tip: find the minimum value of the quadratic expression first, then apply the logarithm.

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Question 625/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

यदि \(f(x)=\lfloor 2x\rfloor\) और \(x\in[0,2)\), तो \(f\) का परिसर (range) क्या है?

If \(f(x)=\lfloor 2x\rfloor\) for \(x\in[0,2)\), what is the range of \(f\)?

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Correct Answer

A. \(\{0,1,2,3\}\)

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि \(x\in[0,2)\), इसलिए \(2x\in[0,4)\)। अतः \(\lfloor 2x\rfloor\) के संभावित पूर्णांक मान \(0,1,2,3\) हैं। प्रत्येक मान प्राप्त होता है, जैसे \(x\in[0,\tfrac12)\) पर मान \(0\), \(x\in[\tfrac12,1)\) पर मान \(1\), और इसी प्रकार। \(x=2\) शामिल नहीं है, इसलिए \(2x=4\) और फलन का मान \(4\) प्राप्त नहीं हो सकता। अतः सही परिसर \(\{0,1,2,3\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में इनपुट अंतराल के खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since \(x\in[0,2)\), we have \(2x\in[0,4)\). Therefore, the possible integer values of \(\lfloor 2x\rfloor\) are \(0,1,2,3\), and each of them is attained. For example, the value is \(0\) when \(x\in[0,\tfrac12)\), \(1\) when \(x\in[\tfrac12,1)\), and so on. The endpoint \(x=2\) is excluded, so \(2x=4\) and the value \(4\) cannot occur; hence option B is incorrect. Thus, the range is \(\{0,1,2,3\}\). Exam tip: For the greatest-integer function, check carefully whether the endpoints of the input interval are included.

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Question 626/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

यदि (f(x)=\lceil x\rceil) और (x\in(-2,2]), तो (f) का परिसर क्या है?

If (f(x)=\lceil x\rceil) and (x\in(-2,2]), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. ( {-1,0,1,2} )

Explanation

Simple Explanation

छत फलन (x) से छोटा नहीं सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (x>-2) है, इसलिए (-2) मान नहीं आएगा। / The ceiling function gives the smallest integer not less than (x). Since (x>-2), the value (-2) will not occur.

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Question 627/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

फलन \(f(x)=\frac{x^2+4x+8}{x^2+4x+5}\) का परास क्या है?

What is the range of the function \(f(x)=\frac{x^2+4x+8}{x^2+4x+5}\)?

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Correct Answer

A. \((1,4]\)

Explanation

Simple Explanation

हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), अतः फलन का परिभाषा-क्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। \(t=(x+2)^2\ge0\) रखने पर \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\) मिलता है। \(t=0\) पर \(f(x)=4\) प्राप्त होता है, जबकि \(t\to\infty\) होने पर मान \(1\) के निकट जाता है, पर \(1\) कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परास \((1,4]\) है। विकल्प B में \(1\) को शामिल किया गया है और विकल्प C में प्राप्त होने वाले मान \(4\) को हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलनों में वर्ग पूर्ण करके नए चर की सीमा निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\), so the domain is \(\mathbb{R}\). Put \(t=(x+2)^2\ge0\). Then \(f(x)=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). At \(t=0\), the value \(4\) is attained. As \(t\to\infty\), the function approaches \(1\), but it never equals \(1\). Hence the range is \((1,4]\). Option B incorrectly includes \(1\), while option C excludes the attained value \(4\). Exam tip: For such rational functions, complete the square and determine the allowed range of the substituted variable.

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Question 628/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

फलन (f(x)=\frac{x-2-2x+5}{x-2-2x+2}) का परिसर क्या है?

What is the range of (f(x)=\frac{x-2-2x+5}{x-2-2x+2})?

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Correct Answer

A. ( (1,4] )

Explanation

Simple Explanation

(t=(x-1)2\ge 0) रखने पर \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\)। अधिकतम (4) है और (1) केवल सीमा मान है। / Put (t=(x-1)2\ge 0), then \(f=\frac{t+4}{t+1}=1+\frac{3}{t+1}\). The maximum is (4), and (1) is only a limiting value.

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Question 629/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

यदि \(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}\) है, तो \(f\) का प्रांत क्या है?

If \(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}\), what is the domain of \(f\)?

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Correct Answer

A. \([1,9]\)

Explanation

Simple Explanation

वास्तविक मान के लिए दोनों वर्गमूलों के अंदर के व्यंजक गैर-ऋणात्मक होने चाहिए: \(x-1\ge 0\) से \(x\ge 1\), और \(9-x\ge 0\) से \(x\le 9\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([1,9]\) है। 1 और 9 दोनों शामिल हैं, क्योंकि इन बिंदुओं पर एक वर्गमूल का मान 0 होता है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक radicand को \(\ge 0\) रखें और शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For real values, the expressions under both square roots must be non-negative: \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), while \(9-x\ge 0\) gives \(x e 9\). Their intersection is \([1,9]\). Both endpoints are included because one square-root term becomes 0 at each endpoint. Exam tip: For a function containing square roots, set every radicand to \(\ge 0\) and take the intersection of the resulting conditions.

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Question 630/712 Expert Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Class 11 Level 32

यदि (f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}), तो (f) का परिसर क्या है?

If (f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. \( [2\sqrt{2},4] \)

Explanation

Simple Explanation

सिरों पर मान \(2\sqrt{2}\) और मध्य (x=5) पर अधिकतम (4) है। सममित वर्गमूलों में सिरों और मध्य दोनों जांचें। / At the endpoints the value is \(2\sqrt{2}\), and at the midpoint (x=5), the maximum is (4). For symmetric radicals, check both endpoints and the midpoint.

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