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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Expert Level 32

यदि \(f(x)=\lfloor 2x\rfloor\) और \(x\in[0,2)\), तो \(f\) का परिसर (range) क्या है?

If \(f(x)=\lfloor 2x\rfloor\) for \(x\in[0,2)\), what is the range of \(f\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\{0,1,2,3\}\)

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि \(x\in[0,2)\), इसलिए \(2x\in[0,4)\)। अतः \(\lfloor 2x\rfloor\) के संभावित पूर्णांक मान \(0,1,2,3\) हैं। प्रत्येक मान प्राप्त होता है, जैसे \(x\in[0,\tfrac12)\) पर मान \(0\), \(x\in[\tfrac12,1)\) पर मान \(1\), और इसी प्रकार। \(x=2\) शामिल नहीं है, इसलिए \(2x=4\) और फलन का मान \(4\) प्राप्त नहीं हो सकता। अतः सही परिसर \(\{0,1,2,3\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में इनपुट अंतराल के खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since \(x\in[0,2)\), we have \(2x\in[0,4)\). Therefore, the possible integer values of \(\lfloor 2x\rfloor\) are \(0,1,2,3\), and each of them is attained. For example, the value is \(0\) when \(x\in[0,\tfrac12)\), \(1\) when \(x\in[\tfrac12,1)\), and so on. The endpoint \(x=2\) is excluded, so \(2x=4\) and the value \(4\) cannot occur; hence option B is incorrect. Thus, the range is \(\{0,1,2,3\}\). Exam tip: For the greatest-integer function, check carefully whether the endpoints of the input interval are included.

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Correct Answer: A. \(\{0,1,2,3\}\). Explanation: क्योंकि \(x\in[0,2)\), इसलिए \(2x\in[0,4)\)। अतः \(\lfloor 2x\rfloor\) के संभावित पूर्णांक मान \(0,1,2,3\) हैं। प्रत्येक मान प्राप्त होता है, जैसे \(x\in[0,\tfrac12)\) पर मान \(0\), \(x\in[\tfrac12,1)\) पर मान \(1\), और इसी प्रकार। \(x=2\) शामिल नहीं है, इसलिए \(2x=4\) और फलन का मान \(4\) प्राप्त नहीं हो सकता। अतः सही परिसर \(\{0,1,2,3\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में इनपुट अंतराल के खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since \(x\in[0,2)\), we have \(2x\in[0,4)\). Therefore, the possible integer values of \(\lfloor 2x\rfloor\) are \(0,1,2,3\), and each of them is attained. For example, the value is \(0\) when \(x\in[0,\tfrac12)\), \(1\) when \(x\in[\tfrac12,1)\), and so on. The endpoint \(x=2\) is excluded, so \(2x=4\) and the value \(4\) cannot occur; hence option B is incorrect. Thus, the range is \(\{0,1,2,3\}\). Exam tip: For the greatest-integer function, check carefully whether the endpoints of the input interval are included.