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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Expert Level 32

फलन (f(x)=\log_{2}\(x^2+2x+2\)) का परास क्या है?

What is the range of the function (f(x)=\log_{2}\(x^2+2x+2\))?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \([0,\infty)\)

Explanation

Simple Explanation

क्योंकि \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), इसलिए लघुगणक का तर्क सदैव \(1\) या उससे अधिक है। इसका न्यूनतम मान \(1\) तब मिलता है जब \(x=-1\), और \(\log_2 1=0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बढ़ता है, तर्क तथा फलन का मान बिना सीमा के बढ़ता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि न्यूनतम फलन मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करके उस पर लघुगणक लगाएँ। / Since \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), the logarithm's argument is always at least \(1\). Its minimum value is \(1\) at \(x=-1\), giving \(\log_2 1=0\). As \(|x|\) increases, the argument and hence the function value grow without bound. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because the minimum function value is \(0\), not \(1\). Exam tip: find the minimum value of the quadratic expression first, then apply the logarithm.

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Correct Answer: A. \([0,\infty)\). Explanation: क्योंकि \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), इसलिए लघुगणक का तर्क सदैव \(1\) या उससे अधिक है। इसका न्यूनतम मान \(1\) तब मिलता है जब \(x=-1\), और \(\log_2 1=0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बढ़ता है, तर्क तथा फलन का मान बिना सीमा के बढ़ता है। अतः परास \([0,\infty)\) है। विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि न्यूनतम फलन मान \(1\) नहीं, बल्कि \(0\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले द्विघात व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करके उस पर लघुगणक लगाएँ। / Since \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\), the logarithm's argument is always at least \(1\). Its minimum value is \(1\) at \(x=-1\), giving \(\log_2 1=0\). As \(|x|\) increases, the argument and hence the function value grow without bound. Therefore, the range is \([0,\infty)\). Option D is incorrect because the minimum function value is \(0\), not \(1\). Exam tip: find the minimum value of the quadratic expression first, then apply the logarithm.