Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक \(6x-x^2-5=4-(x-3)^2\) है। इसके लिए \((x-3)^2\leq 4\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \([1,5]\) है। व्यंजक का मान \([0,4]\) में होता है और उसका वर्गमूल लेने पर \(f(x)\) का परास \([0,2]\) मिलता है। विकल्प C केवल अंदर के व्यंजक का परास है, फलन का नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात करें, फिर वर्गमूल लें। / The radicand can be rewritten as \(6x-x^2-5=4-(x-3)^2\). For the function to be real, \((x-3)^2\leq 4\), giving the domain \([1,5]\). The radicand varies from 0 to 4, so taking its square root gives \(f(x)\in[0,2]\). Option C is the range of the radicand, not of the function. Exam tip: for a square-root function, first find the range of the expression under the root and then apply the square root.
हर \(|x+3|+2\ge 2\), इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{2}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator \(|x+3|+2\ge 2\), so the maximum value is \(\frac{1}{2}\). As the denominator grows, the value approaches (0).
मूल प्रांत में \(x\ne 3\) है और सरलीकरण से (f(x)=x+3)। इसलिए (x=3) पर आने वाला मान (6) परिसर से हटेगा। / The original domain has \(x\ne 3\), and simplification gives (f(x)=x+3). Hence the value (6), which would occur at (x=3), is excluded from the range.
मूल हर (x-3) है, इसलिए (x=3) स्वीकार्य नहीं है। सरलीकरण के बाद भी हटे हुए बिंदु को प्रांत में न जोड़ें। / The original denominator is (x-3), so (x=3) is not allowed. Even after simplification, do not add the removed point to the domain.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक वर्गमूल के भीतर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। \(x+2\ge 0\) से \(x\ge -2\) और \(8-x\ge 0\) से \(x\le 8\) मिलता है। अतः दोनों शर्तों का छेदन \([-2,8]\) है। \(x=-2\) और \(x=8\) पर एक वर्गमूल शून्य होता है, इसलिए दोनों सिरे शामिल हैं; इसीलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में प्रत्येक radicand के लिए \(\ge 0\) की शर्त लगाकर सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots to be real, each radicand must be non-negative. From \(x+2\ge 0\), we get \(x\ge -2\), and from \(8-x\ge 0\), we get \(x\le 8\). Hence, the intersection is \([-2,8]\). At \(x=-2\) and \(x=8\), one square root becomes zero, so both endpoints are included; therefore, option B is incorrect. Exam tip: For radical functions, require every radicand to be \(\ge 0\) and intersect all resulting conditions.
वास्तविक मान के लिए \(x+2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\), अतः \(-2\le x\le 8\)। अब कॉशी-श्वार्ज असमता से \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\)। इसलिए \(f(x)\le 2\sqrt{5}\)। समानता तब मिलती है जब \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), अर्थात् \(x=3\)। अतः अधिकतम मान \(2\sqrt{5}\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले मूलों के परिभाषित होने का अंतराल और फिर समानता की स्थिति जाँचें। / For real values, \(x+2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so the domain is \(-2\le x\le 8\). By the Cauchy–Schwarz inequality, \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\). Hence \(f(x)\le 2\sqrt{5}\). Equality occurs when \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), which gives \(x=3\). Therefore, the maximum value is \(2\sqrt{5}\). Exam tip: first determine the domain of radical expressions, then check the equality condition for the inequality used.
बंद अंतराल ([-2,8]) में न्यूनतम सिरों पर आता है। दोनों सिरों पर मान \(\sqrt{10}\) है। / On the closed interval ([-2,8]), the minimum occurs at the endpoints. At both endpoints, the value is \(\sqrt{10}\).
\(|2x|\le x^2+1\) क्योंकि ((x-1)2\ge 0) और ((x+1)2\ge 0)। इसलिए मान (-1) से (1) तक हैं और दोनों मिलते हैं। / \(|2x|\le x^2+1\) because ((x-1)2\ge 0) and ((x+1)2\ge 0). Hence the values lie from (-1) to (1), and both occur.
\(|3x|\le \frac{x^2+9}{2}\), इसलिए \(\left|\frac{3x}{x^2+9}\right|\le \frac{1}{2}\)। समानता \(x=\pm 3\) पर मिलती है। / Since \(|3x|\le \frac{x^2+9}{2}\), \(\left|\frac{3x}{x^2+9}\right|\le \frac{1}{2}\). Equality occurs at \(x=\pm 3\).
हर में \(\sqrt{x^2-4}\) है, इसलिए उसके अंदर का व्यंजक केवल गैर-ऋणात्मक होना पर्याप्त नहीं है; हर शून्य भी नहीं हो सकता। अतः \(x^2-4>0\) आवश्यक है। इससे \(x^2>4\), यानी \(x<-2\) या \(x>2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\) है। विकल्प B में \(x=\pm2\) शामिल हैं, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: जब वर्गमूल हर में हो, तो मूलांक के अंदर का व्यंजक हमेशा सख्ती से धनात्मक रखें। / Since \(\sqrt{x^2-4}\) is in the denominator, its radicand must be non-negative and the denominator must also be nonzero. Hence, \(x^2-4>0\), so \(x^2>4\), giving \(x<-2\) or \(x>2\). Therefore, the domain is \((-\infty,-2)\cup(2,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(x=\pm2\), where the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, require the expression under the root to be strictly positive.
