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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Expert Level 32

यदि \(f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x}\), तो \(f\) का अधिकतम मान क्या है?

If \(f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x}\), what is the maximum value of \(f\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(2\sqrt{5}\)

Explanation

Simple Explanation

वास्तविक मान के लिए \(x+2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\), अतः \(-2\le x\le 8\)। अब कॉशी-श्वार्ज असमता से \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\)। इसलिए \(f(x)\le 2\sqrt{5}\)। समानता तब मिलती है जब \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), अर्थात् \(x=3\)। अतः अधिकतम मान \(2\sqrt{5}\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले मूलों के परिभाषित होने का अंतराल और फिर समानता की स्थिति जाँचें। / For real values, \(x+2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so the domain is \(-2\le x\le 8\). By the Cauchy–Schwarz inequality, \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\). Hence \(f(x)\le 2\sqrt{5}\). Equality occurs when \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), which gives \(x=3\). Therefore, the maximum value is \(2\sqrt{5}\). Exam tip: first determine the domain of radical expressions, then check the equality condition for the inequality used.

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Correct Answer: A. \(2\sqrt{5}\). Explanation: वास्तविक मान के लिए \(x+2\ge 0\) और \(8-x\ge 0\), अतः \(-2\le x\le 8\)। अब कॉशी-श्वार्ज असमता से \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\)। इसलिए \(f(x)\le 2\sqrt{5}\)। समानता तब मिलती है जब \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), अर्थात् \(x=3\)। अतः अधिकतम मान \(2\sqrt{5}\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले मूलों के परिभाषित होने का अंतराल और फिर समानता की स्थिति जाँचें। / For real values, \(x+2\ge 0\) and \(8-x\ge 0\), so the domain is \(-2\le x\le 8\). By the Cauchy–Schwarz inequality, \((\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x})^2\le 2[(x+2)+(8-x)]=20\). Hence \(f(x)\le 2\sqrt{5}\). Equality occurs when \(\sqrt{x+2}=\sqrt{8-x}\), which gives \(x=3\). Therefore, the maximum value is \(2\sqrt{5}\). Exam tip: first determine the domain of radical expressions, then check the equality condition for the inequality used.