Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(y=\frac{5x-1}{x+2}\) से \(x=\frac{-1-2y}{y-5}\), इसलिए \(y\ne 5\)। रैखिक भिन्न फलन में हर शून्य करने वाला (y) परिसर से हटता है। / From \(y=\frac{5x-1}{x+2}\), \(x=\frac{-1-2y}{y-5}\), so \(y\ne 5\). In a linear fractional function, the (y) making the denominator zero is excluded.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक वास्तविक होने के लिए \(2-|x+1|\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(|x+1|\le 2\), जिससे \(-2\le x+1\le 2\) और इसलिए \(-3\le x\le 1\)। इस कारण प्रांत \([-3,1]\) है। सिरों \(x=-3\) और \(x=1\) को शामिल करना न भूलें, क्योंकि वहाँ वर्गमूल के अंदर का मान शून्य है। / For the square root to be real, its radicand must satisfy \(2-|x+1|\ge 0\). Thus, \(|x+1|\le 2\), which gives \(-2
ayle x+1\le 2\), and hence \(-3\le x\le 1\). Therefore, the domain is \([-3,1]\). The endpoints are included because the radicand is zero there. Exam tip: for a square-root function, set the expression under the radical greater than or equal to zero.
क्योंकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(\\sqrt{(x-2)^2+9}\\ge 3\\)। अतः \\(f(x)=7-\\sqrt{(x-2)^2+9}\\le 7-3=4\\)। अधिकतम मान 4 तब प्राप्त होता है जब \\(x=2\\)। जब \\(|x|\\to\\infty\\), तब वर्गमूल का मान अनंत की ओर बढ़ता है और \\(f(x)\\to-\\infty\\)। इसलिए परिसर \\((-\\infty,4]\\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले व्यंजक का न्यूनतम मान पहले ज्ञात करें; ऋणात्मक चिह्न होने पर वही अधिकतम फलन-मूल्य निर्धारित करता है। / Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(\\sqrt{(x-2)^2+9}\\ge 3\\). Therefore, \\(f(x)=7-\\sqrt{(x-2)^2+9}\\le 7-3=4\\). The maximum value 4 is attained at \\(x=2\\). As \\(|x|\\to\\infty\\), the square-root term tends to infinity, so \\(f(x)\\to-\\infty\\). Hence the range is \\((-\\infty,4]\\). Exam tip: first find the minimum of the radical expression; because it is subtracted, that minimum gives the maximum value of the function.
लघुगणकीय फलन के लिए उसका तर्क सदैव धनात्मक होना चाहिए। अतः \(\frac{x+4}{x-1}>0\) होना आवश्यक है। इसके महत्वपूर्ण बिंदु \(x=-4\) और \(x=1\) हैं। संकेत-जाँच करने पर यह भिन्न \(x<-4\) तथा \(x>1\) के लिए धनात्मक है। \(x=-4\) पर तर्क 0 हो जाता है, जो लघुगणक के लिए स्वीकार्य नहीं है, जबकि \(x=1\) पर भिन्न अपरिभाषित है। इसलिए सही प्रांत \(( -\infty,-4)\cup(1,\infty)\) है। परीक्षा टिप: लघुगणक वाले प्रश्नों में तर्क को हमेशा \(>0\) रखकर हल करें। / For a logarithmic function, its argument must be strictly positive. Hence, \(\frac{x+4}{x-1}>0\) is required. The critical values are \(x=-4\) and \(x=1\). A sign check shows that the fraction is positive for \(x<-4\) and for \(x>1\). At \(x=-4\), the argument becomes 0, which is not allowed for a logarithm, and at \(x=1\), the fraction is undefined. Therefore, the domain is \(( -\infty,-4)\cup(1,\infty)\). Exam tip: In logarithmic questions, first impose that the complete argument is greater than zero.
हर ((x+3)2+4\ge 4) है, इसलिए अधिकतम \(\frac{1}{2}\) है। हर असीम होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता। / The denominator ((x+3)2+4\ge 4), so the maximum is \(\frac{1}{2}\). As the denominator grows, the value approaches (0) but never becomes (0).
वर्गमूल के लिए ((x+2)(5-x)\ge 0) चाहिए। यह गुणनफल \(-2\le x\le 5\) पर अनऋणात्मक है। / For the square root, ((x+2)(5-x)\ge 0) is required. This product is non-negative for \(-2\le x\le 5\).
\((x+2)(5-x)=\frac{49}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\) का अधिकतम \(\frac{49}{4}\) है। वर्गमूल से अधिकतम \(\frac{7}{2}\) और न्यूनतम (0) मिलता है। / \((x+2)(5-x)=\frac{49}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\) has maximum \(\frac{49}{4}\). The square root gives maximum \(\frac{7}{2}\) and minimum (0).
\(t=|x-1|\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+3}\)। (t=0) पर (0) मिलता है और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है। / Put \(t=|x-1|\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+3}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1).
हर में वर्गमूल है, इसलिए \(x^2-10x+24>0\) चाहिए। ((x-4)(x-6)>0) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so \(x^2-10x+24>0\) is required. From ((x-4)(x-6)>0), the outer intervals are obtained.
(f(x)=(x-2)2+4), इसलिए न्यूनतम (4) है। सिरों पर (f(0)=8) और (f(5)=13), इसलिए अधिकतम (13) है। / Since (f(x)=(x-2)2+4), the minimum is (4). At the endpoints, (f(0)=8) and (f(5)=13), so the maximum is (13).
