Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x^2-1\ge 0\)। इससे \(x^2\ge 1\), अर्थात् \(|x|\ge 1\), इसलिए \(x\le -1\) या \(x\ge 1\)। अतः प्रांत \((- ,-1]\cup[1, )\) है। विकल्प B में \(|x|\le 1\) लिया गया है, जो इस असमिकता की विपरीत दिशा है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय मूलांक के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखें। / The expression under a square root must be non-negative, so \(x^2-1\ge 0\). Hence \(x^2\ge 1\), or \(|x|\ge 1\), which gives \(x\le -1\) or \(x\ge 1\). Therefore, the domain is \((- ,-1]\cup[1, )\). Option B incorrectly represents the opposite condition, \(|x|\le 1\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find its domain.
प्रांत में \(x^2-1\) का न्यूनतम (0) है। (x) बड़ा होने पर वर्गमूल सभी बड़े अनऋणात्मक मान लेता है। / On the domain, the minimum of \(x^2-1\) is (0). As (x) grows, the square root takes all larger non-negative values.
\(|4x|\le x^2+4\) क्योंकि ((x-2)2\ge 0) और ((x+2)2\ge 0)। इसलिए मान (-1) से (1) तक हैं और दोनों मिलते हैं। / \(|4x|\le x^2+4\) because ((x-2)2\ge 0) and ((x+2)2\ge 0). Hence values lie from (-1) to (1), and both endpoints occur.
वर्गमूल के लिए ((x-2)(6-x)\ge 0), इसलिए \(x\in[2,6]\) है। हर के कारण (x=4) हटेगा। / For the square root, ((x-2)(6-x)\ge 0), so \(x\in[2,6]\). Because of the denominator, (x=4) is removed.
मान \(t=x^2\ge 0\) रखें और \(t\ne 4\)। तब \(f=\frac{t}{t-4}\), जिससे \(t\in[0,4\)) पर (\(-\infty,0]\) और (t>4) पर (\(1,\infty\)) मिलता है। / Put \(t=x^2\ge 0\) and \(t\ne 4\). Then \(f=\frac{t}{t-4}\), giving (\(-\infty,0]\) for \(t\in[0,4\)) and (\(1,\infty\)) for (t>4).
प्राकृतिक लघुगणक के लिए उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{x-2}{7-x}>0\) हल करते हैं। \(x=2\) और \(x=7\) महत्वपूर्ण बिंदु हैं; संकेत-जाँच से धनात्मक अंतराल केवल \((2,7)\) मिलता है। दोनों सिरों को शामिल नहीं किया जा सकता—\(x=2\) पर लघुगणक का तर्क शून्य और \(x=7\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक असमिकाओं में अंश और हर के शून्य बिंदु चिह्न-तालिका में अवश्य लें। / For a natural logarithm, its argument must be positive, and the denominator must be nonzero. Thus, solve \(\frac{x-2}{7-x}>0\). The critical points are \(x=2\) and \(x=7\); a sign check shows that the expression is positive only on \((2,7)\). Neither endpoint is included: at \(x=2\) the logarithm argument is zero, while at \(x=7\) the denominator is zero. Exam tip: for a rational inequality, include both numerator and denominator zeros as critical points, then test the intervals.
\(t=\sqrt{x+1}\ge 0\) रखने पर \(f=\frac{t}{t+2}\)। (t=0) पर मान (0) और \(t\to\infty\) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। / Put \(t=\sqrt{x+1}\ge 0\), then \(f=\frac{t}{t+2}\). At (t=0), the value is (0), and as \(t\to\infty\), it approaches (1) but never equals (1).
हर (x-2+2x+2=(x+1)2+1\ge 1) है। इसलिए (\frac{1}{x-2+2x+2}\in(0,1]), अतः परिसर ((3,4]) है। / The denominator (x-2+2x+2=(x+1)2+1\ge 1). So (\frac{1}{x-2+2x+2}\in(0,1]), hence the range is ((3,4]).
वर्गमूल के भीतर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। इसलिए \(1-|x-2|\ge 0\), अर्थात् \(|x-2|\le 1\)। इससे \(-1\le x-2\le 1\), और इसलिए \(1\le x\le 3\) प्राप्त होता है। अतः प्रांत \([1,3]\) है। विकल्प C में सिरों को शामिल नहीं किया गया है, जबकि \(x=1\) और \(x=3\) पर वर्गमूल के भीतर का मान 0 होता है, इसलिए दोनों मान स्वीकार्य हैं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के प्रांत के लिए उसके भीतर के व्यंजक को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the root must be non-negative. Thus, \(1-|x-2|\ge 0\), so \(|x-2|\le 1\). This gives \(-1\le x-2\le 1\), hence \(1\le x\le 3\). Therefore, the domain is \([1,3]\). Option C excludes the endpoints, but at \(x=1\) and \(x=3\), the radicand is 0, so both values are allowed. Exam tip: For a square-root function, require the radicand to be \(\ge 0\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-3}{x+1}\ge 0\) और \(x\ne -1\) चाहिए। संकेत सारणी से (x<-1) या \(x\ge 3\) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-3}{x+1}\ge 0\) and \(x\ne -1\). A sign chart gives (x<-1) or \(x\ge 3\).
