Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 571-580 of 712 questions.
What is the range of (f(x)=\sqrt{2x-x-2}+3)?
A. ( [3,4] )
(2x-x-2=1-(x-1)2), जिसका मान (0) से (1) तक है। वर्गमूल के बाद (3) जोड़ने से परिसर ([3,4]) है। / Since (2x-x-2=1-(x-1)2), its value lies from (0) to (1). After square root and adding (3), the range is ([3,4]).
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What is the maximum value of the function \(f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}\), where \(x\in\mathbb{R}\)?
A. \(1\)
हर को वर्ग पूर्ण करके लिखें: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\)। चूँकि \((x-3)^2\ge 0\), हर का न्यूनतम मान \(1\) है, जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है। अतः \(f(x)\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{1}=1\) है। उदाहरण के लिए, \(\frac{1}{10}\) अधिकतम मान नहीं है; यह केवल कुछ विशेष \(x\) मानों पर प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर वाली ऐसी भिन्न का अधिकतम मान हर के न्यूनतम मान पर मिलता है। / Complete the square in the denominator: \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\). Since \((x-3)^2\ge 0\), the denominator has minimum value \(1\), attained at \(x=3\). Therefore, the maximum value of \(f(x)\) is \(\frac{1}{1}=1\). For instance, \(\frac{1}{10}\) is not the maximum; it occurs only for particular values of \(x\). Exam tip: when the denominator is positive, the reciprocal is maximized when the denominator is minimized.
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If \(f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}\), what is the domain of \(f\)?
A. \([-4,4]\)
फलन के दोनों वर्गमूल वास्तविक होने के लिए उनके भीतर की राशियाँ गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। \(x+4\ge 0\) से \(x\ge -4\) और \(4-x\ge 0\) से \(x\le 4\) मिलता है। इन दोनों शर्तों का छेदन \([-4,4]\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में सिरों \(-4\) और \(4\) को हटाया गया है, जबकि इन दोनों पर एक वर्गमूल शून्य होता है और फलन परिभाषित रहता है। परीक्षा-युक्ति: अनेक वर्गमूलों वाले फलन में प्रत्येक मूलांक के लिए अलग शर्त लगाकर सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots to be real, each radicand must be non-negative. From \(x+4\ge 0\), we get \(x\ge -4\), and from \(4-x\ge 0\), we get \(x\le 4\). Their intersection is \([-4,4]\), so option A is correct. Option B wrongly excludes \(-4\) and \(4\); at each endpoint, one square root is zero and the function is still defined. Exam tip: For several square roots, write a non-negative condition for every radicand and intersect the resulting sets.
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If (f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}), what is the range of (f)?
A. \( [2\sqrt{2},4] \)
सिरों पर मान \(2\sqrt{2}\) और (x=0) पर अधिकतम (4) है। सममिति वाले वर्गमूल फलनों में मध्य बिंदु भी जांचें। / At the endpoints the value is \(2\sqrt{2}\), and at (x=0) the maximum is (4). For symmetric radical functions, also check the midpoint.
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What is the domain of the function 8f(x)=\log_{10}\(4-x^2\)9?
A. \((-2,2)\)
वास्तविक लघुगणक के लिए उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए: \(4-x^2>0\)। इससे \(x^2<4\), अर्थात् \(-2<x<2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-2,2)\) है। \(x=\pm2\) पर लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है, इसलिए endpoints शामिल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: \(\log_a(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लगाएँ। / For a real logarithm, its argument must be positive: \(4-x^2>0\). Hence \(x^2<4\), which gives \(-2<x<2\). Therefore, the domain is \((-2,2)\). The endpoints \(x=\pm2\) are excluded because the logarithm argument becomes zero there. Exam tip: For \(\log_a(g(x))\), always impose \(g(x)>0\).
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What is the domain of the function \(f(x)=\log_{3}(x-1)+\log_{3}(5-x)\)?
A. \((1,5)\)
लघुगणक का तर्क सदैव धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1>0\), अर्थात \(x>1\), और \(5-x>0\), अर्थात \(x<5\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1<x<5\) है, इसलिए प्रांत \((1,5)\) होगा। सिरों \(x=1\) और \(x=5\) पर किसी एक लघुगणक का तर्क शून्य हो जाता है, इसलिए वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: योग में प्रत्येक लघुगणक के तर्क के लिए अलग-अलग धनात्मकता की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / The argument of every logarithm must be positive. Thus, \(x-1>0\), giving \(x>1\), and \(5-x>0\), giving \(x<5\). The intersection of these conditions is \(1<x<5\), so the domain is \((1,5)\). The endpoints \(x=1\) and \(x=5\) are excluded because one logarithm would then have argument zero. Exam tip: For a sum of logarithms, impose positivity on the argument of each logarithm separately and take the intersection of the resulting intervals.
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What is the domain of (f(x)=\frac{1}{\log_{2}x})?
A. ( \(0,\infty\)\setminus{1} )
लघुगणक के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log_{2}x\ne 0\) चाहिए। \(\log_{2}x=0\) पर (x=1) हटेगा। / The logarithm needs (x>0), and the denominator needs \(\log_{2}x\ne 0\). Since \(\log_{2}x=0\) at (x=1), remove (1).
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If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by \(f(x)=|2x-1|+3\), what is the range of \(f\)?
A. \([3,\infty)\)
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|2x-1|\ge 0\), इसलिए \(f(x)=|2x-1|+3\ge 3\)। \(|2x-1|=0\) तब होता है जब \(x=\frac{1}{2}\), अतः न्यूनतम मान \(3\) वास्तव में प्राप्त होता है। इसलिए परास \([3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(3\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|g(x)|+c\) का न्यूनतम मान प्रायः \(c\) होता है, यदि \(g(x)=0\) का कोई वास्तविक हल हो। / For every real \(x\), \(|2x-1|\ge 0\), so \(f(x)=|2x-1|+3\ge 3\). The value \(|2x-1|=0\) occurs at \(x=\frac{1}{2}\), so the minimum value \(3\) is actually attained. Hence the range is \([3,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes \(3\). Exam tip: For an expression of the form \(|g(x)|+c\), check whether \(g(x)=0\) has a real solution; if it does, the minimum is \(c\).
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What is the range of (f(x)=5-\sqrt{x-2+1})?
A. ( \(-\infty,4] \)
\(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), इसलिए \(5-\sqrt{x^2+1}\le 4\)। (x) बड़ा होने पर मान असीम रूप से घटता है। / Since \(\sqrt{x^2+1}\ge 1\), \(5-\sqrt{x^2+1}\le 4\). As (x) grows, the value decreases without bound.
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If (f(x)=\frac{x}{|x|}), which are the domain and range of (f)?
A. प्रांत \( \mathbb{R}\setminus{0} \), परिसर ( {-1,1} )domain \( \mathbb{R}\setminus{0} \), range ( {-1,1} )
(x=0) पर हर (0) हो जाता है। धनात्मक (x) पर मान (1) और ऋणात्मक (x) पर (-1) है। / At (x=0), the denominator becomes (0). For positive (x), the value is (1), and for negative (x), it is (-1).
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