Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 551-560 of 712 questions.
What is the range of (f(x)=|x-2|-|x+2|)?
A. ( [-4,4] )
बिंदुओं (2) और (-2) से दूरी के अंतर का मान (-4) से (4) तक रहता है। अंतरालों पर चिह्न हटाकर जांचना सुरक्षित तरीका है। / The difference of distances from (2) and (-2) stays between (-4) and (4). Removing signs interval-wise is the safe method.
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What is the range of (f(x)=\frac{1}{x-2+4x+5})?
A. ( (0,1] )
हर ((x+2)2+1\ge 1) है, इसलिए अधिकतम मान (1) है। हर बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है। / The denominator ((x+2)2+1\ge 1), so the maximum value is (1). As the denominator grows, the value approaches (0).
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What is the domain of (f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{4-x}})?
A. ( [0,4) )
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर वाले वर्गमूल के लिए (4-x>0) चाहिए। दोनों मिलाकर \(0\le x<4\) मिलता है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\), and for the denominator square root, (4-x>0) is needed. Together, \(0\le x<4\).
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What is the domain of (f(x)=\frac{x-2-4}{x-2})?
A. \( \mathbb{R}\setminus{2} \)
सरलीकरण के बाद भी मूल हर में \(x-2\ne 0\) रहना चाहिए। हटे हुए बिंदु को प्रांत में वापस न जोड़ें। / Even after simplification, the original denominator requires \(x-2\ne 0\). Do not add the cancelled point back into the domain.
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What is the range of (f(x)=\frac{x-2-4}{x-2})?
A. \( \mathbb{R}\setminus{4} \)
\(x\ne 2\) पर फलन (x+2) के बराबर है। इसलिए (x=2) से मिलने वाला मान (4) परिसर में नहीं आता। / For \(x\ne 2\), the function equals (x+2). Thus the value (4), which would occur at (x=2), is not in the range.
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What is the domain of the real-valued function \(f(x)=\sqrt{|x|-3}\)?
A. \(( -\infty,-3]\cup[3,\infty)\)
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलचिह्न के भीतर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(|x|-3\ge 0\), यानी \(|x|\ge 3\)। इसलिए \(x\le -3\) या \(x\ge 3\), जिससे प्रांत \(( -\infty,-3]\cup[3,\infty)\) मिलता है। विकल्प B में \(-3\) और \(3\) के बीच के मान भी आते हैं, जहाँ \(|x|-3<0\) होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में पहले रेडिकैंड को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative. Hence \(|x|-3\ge 0\), so \(|x|\ge 3\). Therefore, \(x\le -3\) or \(x\ge 3\), giving the domain \(( -\infty,-3]\cup[3,\infty)\). Option B wrongly includes values between \(-3\) and \(3\), where \(|x|-3<0\). Exam tip: For real functions involving a square root, first set the radicand greater than or equal to zero.
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If (f(x)=\frac{3}{2-\sqrt{x}}), what is the domain?
A. \( [0,\infty\)\setminus{4} )
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(2-\sqrt{x}\ne 0\) चाहिए। इसलिए (x=4) हटाया जाएगा। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\), and for the denominator, \(2-\sqrt{x}\ne 0\) is needed. Hence (x=4) is removed.
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What is the domain of the function \(f(x)=\frac{1}{|x|-2}\)?
A. \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\)
भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। अतः \(|x|-2\ne 0\), जिससे \(|x|\ne 2\) और \(x\ne -2,2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\) है। विकल्प B में \(x=-2\) को गलत रूप से शामिल किया गया है, जबकि विकल्प C बीच के कई मान, जैसे \(x=0\), छोड़ देता है। परीक्षा टिप: परिमेय फलन का प्रांत ज्ञात करते समय हर को शून्य करने वाले सभी मानों को हटाएँ। / The denominator of a fraction cannot be zero. Thus, \(|x|-2\ne 0\), so \(|x|\ne 2\), which gives \(x\ne -2,2\). Therefore, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). Option B incorrectly includes \(x=-2\), while option C excludes valid values such as \(x=0\). Exam tip: To find the domain of a rational function, exclude every value that makes its denominator zero.
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What is the range of the function \(f(x)=\frac{|x|}{1+|x|}\)?
A. \([0,1)\)
मान लें \(t=|x|\), तब \(t\ge 0\) और \(f(x)=\frac{t}{1+t}\)। \(x=0\) पर \(t=0\), इसलिए \(f(x)=0\) प्राप्त होता है। दूसरी ओर, किसी सीमित \(t\) के लिए \(\frac{t}{1+t}<1\), अतः 1 कभी प्राप्त नहीं होता, केवल उसके निकट पहुँचा जा सकता है। इसलिए परिसर \([0,1)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि 0 शामिल है, और विकल्प C गलत है क्योंकि 1 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में सीमा-बिंदु जाँचने के साथ यह भी देखें कि वे वास्तव में प्राप्त होते हैं या नहीं। / Let \(t=|x|\). Then \(t\ge 0\) and \(f(x)=\frac{t}{1+t}\). At \(x=0\), we get \(t=0\) and hence \(f(x)=0\). For every finite \(t\), \(\frac{t}{1+t}<1\), so the value 1 is never attained, although the function approaches 1 as \(|x|\) increases. Therefore, the range is \([0,1)\). Option B is incorrect because 0 is included, while option C is incorrect because 1 is excluded. Exam tip: for rational functions, check both limiting values and whether each endpoint is actually attained.
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If (f(x)=x+\frac{1}{x}) and \(x\ne 0\), what is the range of (f)?
A. ( \(-\infty,-2]\cup[2,\infty\) )
धनात्मक (x) पर मान कम से कम (2) और ऋणात्मक (x) पर अधिक से अधिक (-2) होता है। दोनों स्थितियों को अलग जांचें। / For positive (x), the value is at least (2), and for negative (x), it is at most (-2). Check both cases separately.
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