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यदि
f:
\(\{0,1,2,3,4\}\to\{0,1,2,3,4\}\) को \(f(x)\), \(3x\) को \(5\) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है, तो इसका मान-परास क्या है?
डोमेन के लिए \(x=0,1,2,3,4\) रखने पर \(f(x)\) के मान क्रमशः \(0,3,1,4,2\) मिलते हैं। इसलिए प्राप्त मानों का समुच्चय \(\{0,1,2,3,4\}\) है, जो विकल्प A है। विकल्प D केवल कुछ सम मानों को दर्शाता है और \(1\) तथा \(3\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान-परास निकालने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव का वास्तविक प्रतिचित्रण लिखें; केवल सह-डोमेन देखकर उत्तर न दें। / Substituting \(x=0,1,2,3,4\) gives the remainders \(0,3,1,4,2\), respectively. Hence the set of attained values is \(\{0,1,2,3,4\}\), so option A is correct. Option D includes only some even remainders and omits \(1\) and \(3\). Exam tip: To find the range, evaluate the function for every element of the domain; do not simply copy the codomain.
यदि फलन \(f:\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(f(n)=1\) जब \(n\), \(4\) से विभाज्य हो, और अन्यथा \(f(n)=0\) हो, तो \(f^{-1}(\{1\})\) क्या है?
\(f^{-1}(\{1\})\) का अर्थ उन सभी परिभाषा-समुच्चय के अवयवों का समुच्चय है जिनका प्रतिबिंब \(1\) है। दिए गए समुच्चय में \(4\) और \(8\) ही \(4\) से विभाज्य हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{1\})=\{4,8\}\)। विकल्प D में \(0\) शामिल है, लेकिन \(0\) फलन के परिभाषा-समुच्चय में है ही नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूर्वप्रतिबिंब निकालते समय सहपरिभाषा के दिए गए मान तक पहुँचने वाले इनपुट चुनें। / The preimage \(f^{-1}(\{1\})\) consists of all elements of the domain whose image is \(1\). Among the domain elements, only \(4\) and \(8\) are divisible by \(4\), so \(f^{-1}(\{1\})=\{4,8\}\). Option D is incorrect because \(0\) is not in the domain. Exam tip: To find a preimage, select the inputs that map to the specified output value.
डोमेन के लिए फलन के मान क्रमशः \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\) और \(f(5)=1\) हैं। इसलिए प्राप्त भिन्न-भिन्न मानों का समुच्चय, अर्थात् परास, \(\{1,2,3\}\) है। विकल्प D केवल बार-बार आने वाले मान \(1\) को ध्यान में रखता है और 2 तथा 3 को छोड़ देता है। परीक्षा में याद रखें कि परास, सहपरास का केवल एक उपसमुच्चय हो सकता है; दोनों हमेशा समान नहीं होते। / For the domain values, the function gives \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\), and \(f(5)=1\). Thus, the set of distinct output values, or the range, is \(\{1,2,3\}\). Option D includes only the repeated output 1 and omits 2 and 3. Exam tip: the range is the set of actual outputs, whereas the codomain may contain values that are not attained.
भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए। अतः \(|x+1|-3\ne0\), यानी \(|x+1|=3\) के मानों को छोड़ना होगा। इससे \(x+1=3\) या \(x+1=-3\) मिलता है, इसलिए \(x=2\) या \(x=-4\)। अतः अधिकतम प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\) है। विकल्प C में \(x=-1\) को हटाया गया है, जबकि उस पर हर \(-3\) होता है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन के प्रांत के लिए हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a fraction must be non-zero. Thus, \(|x+1|-3\ne0\), so we find the values satisfying \(|x+1|=3\). Hence, \(x+1=3\) or \(x+1=-3\), giving \(x=2\) or \(x=-4\). Therefore, the largest real domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\). Option C incorrectly excludes \(x=-1\); at that value the denominator is \(-3\), so the function is defined. Exam tip: for a rational function, set the denominator equal to zero to identify the excluded domain values.
\((x-a)^2\ge 0\) होने के कारण \(f(x)=(x-a)^2+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है, जो \(x=a\) पर प्राप्त होता है। इसलिए परास \([b,\infty)\) है। दिए गए परास \([-2,\infty)\) से \(b=-2\) आवश्यक है, जबकि \(a\) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। अतः \((5,-2)\) संभव युग्म है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे द्विघात फलन में परास का निचला सिरा स्थिरांक \(b\) होता है। / Since \((x-a)^2\ge 0\), the function \(f(x)=(x-a)^2+b\) has minimum value \(b\), attained at \(x=a\). Hence its range is \([b,\infty)\). The given range \([-2,\infty)\) requires \(b=-2\), while \(a\) may be any real number. Therefore, \((5,-2)\) is a possible pair. Exam tip: In this form of a quadratic function, the lower endpoint of the range is the constant term \(b\).
वर्ग पूरा करने पर \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\) मिलता है। चूँकि \\((x-2)^2\\ge 0\\), इसलिए \\(f(x)\\ge 3\\), और \\(x=2\\) पर न्यूनतम मान \\(3\\) प्राप्त होता है। अतः परिसर \\([3,\infty)\\) है। विकल्प B में \\(f(0)=11\\) को न्यूनतम मान मान लिया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक अग्रणी गुणांक वाले द्विघात फलन का न्यूनतम मान शीर्ष (vertex) पर मिलता है। / Completing the square gives \\(f(x)=2x^2-8x+11=2(x-2)^2+3\\). Since \\((x-2)^2\\ge 0\\), we have \\(f(x)\\ge 3\\), with the minimum value \\(3\\) attained at \\(x=2\\). Therefore, the range is \\([3,\infty)\\). Option B incorrectly treats \\(f(0)=11\\) as the minimum value. Exam tip: For a quadratic with a positive leading coefficient, the minimum occurs at its vertex.
x = 0,1,2,3,4,5 के लिए 4x को 6 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 0, 4, 2, 0, 4, 2 मिलते हैं। इसलिए f के सभी भिन्न प्राप्त मान {0,2,4} हैं, जो इसका परास है। विकल्प B सह-परिसर है, परंतु f के सभी मान उसमें प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए फलन के सभी इनपुट मानों पर आउटपुट निकालकर केवल अलग-अलग मान लिखें। / For x = 0,1,2,3,4,5, the remainders obtained on dividing 4x by 6 are 0, 4, 2, 0, 4, 2, respectively. Thus, the distinct output values are {0,2,4}, which is the range of f. Option B is the codomain, not the set of values actually attained by the function. Exam tip: To find the range of a finite function, evaluate every domain element and list the distinct outputs.
यदि फलन \(f:\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(f(n)=1\) जब \(n\), \(3\) से विभाज्य हो और अन्यथा \(f(n)=0\), तो \(f^{-1}(\{1\})\) क्या है?
किसी समुच्चय की पूर्वछवि उन सभी डोमेन अवयवों का समुच्चय होती है जिनकी छवि उस समुच्चय में आती है। यहाँ \(f(n)=1\) ठीक उन्हीं मानों के लिए है जो \(3\) से विभाज्य हैं। दिए गए डोमेन में ऐसे मान \(3,6,9\) हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{1\})=\{3,6,9\}\)। विकल्प A में \(3\) से अविभाज्य संख्याएँ हैं, जबकि विकल्प D में \(0\) शामिल है, जो डोमेन का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूर्वछवि निकालते समय पहले लक्ष्य समुच्चय के मान की जाँच करें और केवल डोमेन के अवयव चुनें। / The preimage of a set consists of all elements of the domain whose images belong to that set. Here, \(f(n)=1\) exactly when \(n\) is divisible by \(3\). Among the given domain elements, these are \(3,6,9\), so \(f^{-1}(\{1\})=\{3,6,9\}\). Option A contains numbers not divisible by \(3\), while option D incorrectly includes \(0\), which is not in the domain. Exam tip: To find a preimage, check which domain elements map to the specified target value or set.
क्योंकि (a>0), परवलय ऊपर की ओर खुलता है और (x=2) पर इसका न्यूनतम मान (b) होता है। इसलिए परास ([5,infty)) होने के लिए (b=5) तथा (a>0) आवश्यक हैं। विकल्प A में (a=3) और (b=5) हैं, इसलिए यह संभव है। विकल्प B में न्यूनतम मान 3 होगा, जबकि C में (a<0) होने से परास ऊपर से सीमित होगा और D में फलन नियत होगा। परीक्षा-युक्ति: (a(x-h)2+b) के लिए (a>0) होने पर परास ([b,infty)) होता है। / Since (a>0), the parabola opens upward, and its minimum value is (b) at (x=2). Therefore, for the range to be ([5,infty)), we must have (b=5) and (a>0). Option A satisfies these conditions with (a=3) and (b=5). In option B, the minimum value is 3; option C has (a<0), so its range is bounded above; and option D gives a constant function. Exam tip: For (a(x-h)2+b), the range is ([b,infty)) when (a>0).
दोनों वर्गमूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\) होना चाहिए। परीक्षा में सभी शर्तों का छेदन लें। / For both square roots, \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\) must hold. In exams, take the intersection of all conditions.
