Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर के अंदर का व्यंजक \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) है, इसलिए इसका न्यूनतम मान 1 है। अतः \(\sqrt{x^2+6x+10}\ge 1\), जिससे \(0<f(x)\le 1\)। x=-3 पर f(x)=1 प्राप्त होता है, जबकि f(x) कभी 0 नहीं हो सकता; इसलिए परास \((0,1]\) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे व्युत्क्रम वर्गमूल फलनों में पहले अंदर के व्यंजक का न्यूनतम मान ज्ञात करें। / The expression inside the square root is \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\), whose minimum value is 1. Hence \(\sqrt{x^2+6x+10}\ge 1\), so \(0<f(x)\le 1\). The value 1 is attained at x=-3, but f(x) can never be 0; therefore, the range is \((0,1]\). Exam tip: For reciprocal square-root functions, first find the minimum value of the expression under the radical.
हर हमेशा (|x|) से बड़ा होता है, इसलिए (-1<f(x)<1)। (-1) और (1) केवल सीमा मान हैं। / The denominator is always greater than (|x|), so (-1<f(x)<1). The values (-1) and (1) are only limiting values.
वास्तविक मान के लिए दोनों वर्गमूलों के अंदर के व्यंजक अशून्य या धनात्मक होने चाहिए: \(x\ge 0\) तथा \(1-x\ge 0\), अर्थात \(x\le 1\)। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([0,1]\) है। सिरों \(x=0\) और \(x=1\) पर एक वर्गमूल का मान 0 होता है, इसलिए वे भी प्रांत में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करते समय प्रत्येक मूलांक के लिए \(\ge 0\) की शर्त लगाकर उनका प्रतिच्छेद लें। / For the function to have real values, each radicand must be non-negative: \(x\ge 0\) and \(1-x\ge 0\), which gives \(x\le 1\). The intersection of these conditions is \([0,1]\). The endpoints \(x=0\) and \(x=1\) are included because one square-root term is 0 at each endpoint. Exam tip: For a function containing square roots, set every radicand \(\ge 0\) and take the intersection of the resulting conditions.
प्रांत ([0,1]) में न्यूनतम मान किनारों पर (1) और अधिकतम \(x=\frac{1}{2}\) पर \(\sqrt{2}\) है। इसलिए परिसर \([1,\sqrt{2}]\) है। / On ([0,1]), the minimum at endpoints is (1) and the maximum at \(x=\frac{1}{2}\) is \(\sqrt{2}\). Hence the range is \([1,\sqrt{2}]\).
हर (x-2+2x+2=(x+1)2+1) का न्यूनतम मान (1) है। इसलिए फलन का अधिकतम मान (1) है। / The denominator (x-2+2x+2=(x+1)2+1) has minimum value (1). Hence the maximum value of the function is (1).
वर्गमूल के लिए \(x\ge 2\) और हर के लिए \(x\ne -3,3\) चाहिए। लेकिन (-3) पहले ही \(x\ge 2\) में नहीं है, इसलिए केवल (3) हटेगा। / For the square root \(x\ge 2\), and for the denominator \(x\ne -3,3\) are required. But (-3) is already outside \(x\ge 2\), so only (3) is removed.
शर्त \(\frac{x^2-4}{9-x^2}\ge 0\) और \(x\ne -3,3\) है। साइन चार्ट से (\(-3,-2]\cup[2,3\)) मिलता है। / The condition is \(\frac{x^2-4}{9-x^2}\ge 0\) and \(x\ne -3,3\). A sign chart gives (\(-3,-2]\cup[2,3\)).
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{2t+3}{t+1}\) घटता है। (t=0) पर (3) मिलता है और (2) प्राप्त नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{2t+3}{t+1}\) is decreasing. At (t=0), (3) is obtained and (2) is not attained.
जब \(x=0\), तब \(|x|=0\) और फलन का हर शून्य हो जाता है। इसलिए \(\frac{x}{|x|}\) इस बिंदु पर अपरिभाषित है। \(x=1,-1\) और \(2\) पर हर शून्य नहीं है, इसलिए फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: किसी भी परिमेय फलन का डोमेन निर्धारित करते समय हर को शून्य करने वाले मानों को अवश्य हटाएँ। / When \(x=0\), \(|x|=0\), so the denominator of \(\frac{x}{|x|}\) is zero. Hence, the function is undefined at this point. For \(x=1,-1\), and \(2\), the denominator is non-zero, so the function is defined. Exam tip: While finding the domain of a rational expression, exclude every value that makes its denominator zero.
\(f(x)=x^2+1\) में हर वास्तविक \(x\) रखने पर मान परिभाषित है, इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। क्योंकि \(x^2\ge 0\), अतः \(f(x)\ge1\); इसका परास \([1,\infty)\) है। \(x^3\) का परास भी \(\mathbb{R}\) होता है। परीक्षा टिप: वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान पहले जाँचें। / For \(f(x)=x^2+1\), every real \(x\) is allowed, so the domain is \(\mathbb{R}\). Since \(x^2\ge0\), \(f(x)\ge1\), giving range \([1,\infty)\). Unlike this, \(x^3\) has range \(\mathbb{R}\). Exam tip: first locate the minimum of a squared term.
