Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
गुणनफल फलन \\((fg)(x)=\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{4-x}}\\) के लिए \\(f(x)\\) से \\(x\\ge0\\) आवश्यक है। साथ ही, हर में स्थित वर्गमूल शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \\(4-x>0\\), अर्थात् \\(x<4\\)। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \\(0\\le x<4\\) है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \\(x<4\\) की आवश्यक शर्त छूट जाती है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल या भागफल फलन का प्रांत सभी संबंधित शर्तों के प्रतिच्छेद से प्राप्त करें। / The product is \\((fg)(x)=\\frac{\\sqrt{x}}{\\sqrt{4-x}}\\). The function \\(f(x)\\) requires \\(x\\ge0\\). Since \\(\\sqrt{4-x}\\) is in the denominator, it must be strictly positive, so \\(4-x>0\\), or \\(x<4\\). The intersection of these conditions is \\(0\\le x<4\\), making option A correct. Option C misses the necessary restriction \\(x<4\\). Exam tip: For a product or quotient of functions, find the domain by intersecting all individual domain restrictions and excluding zero denominators.
\((f-g)(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों वर्गमूल वास्तविक हों। इसलिए \(x-1\ge0\) से \(x\ge1\) और \(3-x\ge0\) से \(x\le3\) प्राप्त होता है। इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(1\le x\le3\) है, इसलिए विकल्प A सही है। केवल एक वर्गमूल की शर्त लेने से मिलने वाले विकल्प B और C अधूरे हैं। परीक्षा-युक्ति: योग या अंतर वाले फलन का प्रांत संबंधित सभी फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद होता है। / \((f-g)(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{3-x}\) is defined only when both square roots are real. Thus, \(x-1\ge0\) gives \(x\ge1\), and \(3-x\ge0\) gives \(x\le3\). Their intersection is \(1\le x\le3\), so option A is correct. Options B and C use the condition from only one square root and are therefore incomplete. Exam tip: for the sum or difference of functions, the domain is the intersection of the domains of all component functions.
A. हर वास्तविक \(x\) के लिए, जहाँ \(x\ne -1\)/For every real \(x\) such that \(x\ne -1\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-1=(x-1)(x+1)\), इसलिए \(x\ne -1\) पर \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\)। लेकिन मूल फलन \(f\) में \(x=-1\) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए वहाँ \(f\) अपरिभाषित है। अतः दोनों फलन प्रत्येक वास्तविक \(x\ne -1\) पर समान मान देते हैं। परीक्षा-युक्ति: बीजीय सरलीकरण के बाद मूल व्यंजक का प्रतिबंधित प्रांत अवश्य जाँचें। / Since \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), for \(x\ne -1\) we get \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\). However, the original function \(f\) is undefined at \(x=-1\) because its denominator becomes zero. Therefore, the functions have equal values for every real \(x\ne -1\). Exam tip: after simplifying a rational expression, always retain the domain restriction from the original expression.
\(x^3-x\) एक घन बहुपद है, इसलिए इसका प्रांत और परिसर दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। यह एक-एक नहीं है क्योंकि \(f(-1)=f(0)=0\)। परीक्षा में समान फलन-मूल्य पाने वाले दो अलग इनपुट जाँचें। / \(x^3-x\) is a cubic polynomial, so both its domain and range are \(\mathbb{R}\). It is not one-one because \(f(-1)=f(0)=0\). Exam tip: find two distinct inputs with the same output.
परास ठीक \(\{1,2\}\) होने के लिए प्रत्येक फलन का मान केवल 1 या 2 होना चाहिए और 1 तथा 2 दोनों कम-से-कम एक बार आने चाहिए। 4 अवयवों वाले \(A\) से \(\{1,2\}\) में कुल \(2^4=16\) फलन बनते हैं। इनमें दो स्थिर फलन—सभी अवयवों का मान 1 या सभी का मान 2—वांछित नहीं हैं। अतः फलनों की संख्या \(2^4-2=14\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी दो-तत्वीय समुच्चय पर onto फलनों की संख्या \(2^n-2\) होती है। / For the range to be exactly \(\{1,2\}\), every element of \(A\) must map to either 1 or 2, and both values must occur at least once. There are \(2^4=16\) functions from the four-element set \(A\) to \(\{1,2\}\). The two constant functions, mapping every element to 1 or every element to 2, must be excluded. Therefore, the required number is \(2^4-2=14\). Exam tip: the number of onto functions from an \(n\)-element set to a two-element set is \(2^n-2\).
यदि \(f:\{0,1,2,3\}\to\{0,1,2,3\}\) को \(f(x)\), \(2x\) को 4 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है, तो \(f\) का परास (range) क्या है?
डोमेन के मानों के लिए \(f(0)=0\), \(f(1)=2\), \(f(2)=0\) और \(f(3)=2\) मिलते हैं, क्योंकि \(2x\) को 4 से भाग देने पर ये शेषफल प्राप्त होते हैं। अतः प्राप्त मानों का समुच्चय, अर्थात् परास, \(\{0,2\}\) है। \(\{0,1,2,3\}\) सह-डोमेन है, परास नहीं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक तत्व का वास्तविक प्रतिचित्र निकालकर दोहराए गए मानों को एक बार ही लिखें। / For the domain values, \(f(0)=0\), \(f(1)=2\), \(f(2)=0\), and \(f(3)=2\), since these are the remainders when \(2x\) is divided by 4. Therefore, the set of attained values, or the range, is \(\{0,2\}\). The set \(\{0,1,2,3\}\) is the codomain, not the range. Exam tip: To find the range, evaluate the function for every domain element and list repeated outputs only once.
यदि \(f:\{1,2,3,4,5,6\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(3\) से विभाज्य \(n\) के लिए \(f(n)=0\) और अन्यथा \(f(n)=1\), तो \(f^{-1}(\{0\})\) क्या है?
\(f^{-1}(\{0\})\) उन सभी डोमेन अवयवों का समुच्चय है जिनका प्रतिचित्र \(0\) है। दिए गए डोमेन में \(3\) से विभाज्य संख्याएँ केवल \(3\) और \(6\) हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{0\})=\{3,6\}\)। विकल्प A उन संख्याओं का समुच्चय है जो \(3\) से विभाज्य नहीं हैं, जबकि विकल्प C और D में सह-डोमेन के अवयवों को इनपुट के साथ मिला दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पूर्वप्रतिबिम्ब \(f^{-1}(\{a\})\) निकालने के लिए डोमेन के उन सभी अवयवों को चुनें जिनके फलन-मान \(a\) हों। / \(f^{-1}(\{0\})\) is the set of all elements in the domain whose image is \(0\). Among the given domain elements, only \(3\) and \(6\) are divisible by \(3\), so \(f^{-1}(\{0\})=\{3,6\}\). Option A contains the inputs that are not divisible by \(3\), while options C and D incorrectly mix codomain and domain elements. Exam tip: To find \(f^{-1}(\{a\})\), select every domain element whose function value is \(a\).
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\\x^2,&x>0\end{cases}\) से परिभाषित किया गया है, तो यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) का फलन क्यों नहीं है?
A. क्योंकि \(x=0\) पर कोई मान निर्धारित नहीं है/Because no value is assigned at \(x=0\)
Explanation
Simple Explanation
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) के फलन में प्रत्येक वास्तविक इनपुट के लिए ठीक एक वास्तविक आउटपुट होना चाहिए। दिए गए नियम में केवल \(x<0\) और \(x>0\) के लिए मान दिए गए हैं; \(x=0\) के लिए कोई मान नहीं है। इसलिए इसका परिभाषा-क्षेत्र पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं है। ध्यान दें कि \(x=1\) पर केवल \(1^2=1\) और \(x=-1\) पर \((-1)+2=1\) मिलता है; अतः विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय देखें कि परिभाषा-क्षेत्र के हर इनपुट को ठीक एक आउटपुट मिल रहा है या नहीं। / A function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) must assign exactly one real output to every real input. The given rule covers only \(x<0\) and \(x>0\), so no value is assigned when \(x=0\). Hence its domain is not all of \(\mathbb{R}\). At \(x=1\), only \(1^2=1\) is applicable, and at \(x=-1\), the value is \((-1)+2=1\); therefore options B and C are incorrect. Exam tip: To test whether a relation is a function, check that every input in the stated domain has exactly one output.
डोमेन के प्रत्येक मान के लिए \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\) और \(f(4)=3\) मिलता है। अतः फलन से वास्तव में प्राप्त अलग-अलग मानों का समुच्चय \(\{1,2,3\}\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B डोमेन है, परास नहीं। परीक्षा टिप: परास ज्ञात करने के लिए फलन के सभी आउटपुट लिखकर केवल अलग-अलग मान लें। / For the domain values, \(f(1)=1\), \(f(2)=2\), \(f(3)=3\), and \(f(4)=3\). Hence, the set of distinct values actually attained by the function is \(\{1,2,3\}\), so option A is correct. Option B is the domain, not the range. Exam tip: To find the range, list all outputs and retain only the distinct values.
यदि \(f:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4\}\) को \(f(x)=x\) द्वारा तब परिभाषित किया गया है जब \(x\) विषम हो, और \(f(x)=5-x\) द्वारा तब जब \(x\) सम हो, तो इसका परास (range) क्या है?
विषम मानों के लिए \(f(1)=1\) और \(f(3)=3\) मिलते हैं। सम मानों के लिए \(f(2)=5-2=3\) तथा \(f(4)=5-4=1\) मिलते हैं। इसलिए फलन के सभी विशिष्ट आउटपुट \(1\) और \(3\) हैं, अतः परास \(\{1,3\}\) है। ध्यान रखें कि परास में फलन के प्राप्त होने वाले विशिष्ट मान लिखे जाते हैं, पूरे सहपरिसर के सभी मान नहीं। / For the odd inputs, \(f(1)=1\) and \(f(3)=3\). For the even inputs, \(f(2)=5-2=3\) and \(f(4)=5-4=1\). Thus, the distinct output values are only \(1\) and \(3\), so the range is \(\{1,3\}\). Exam tip: the range contains the actual distinct outputs, not necessarily every element of the codomain.
