Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+1\ge1\) हर वास्तविक \(x\) के लिए है; अतः प्रांत \(\mathbb R\) और परास \([1,\infty)\) है। विकल्प B में न्यूनतम मान 0 मानना गलत है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का मुख्य मान अऋणात्मक होता है। / Since \(x^2\ge0\), we get \(x^2+1\ge1\) for every real \(x\). Hence the domain is \(\mathbb R\) and the range is \([1,\infty)\). Option B wrongly includes 0. Exam tip: a square root always denotes the non-negative principal value.
यदि \(y=\frac{x}{x^2+1}\), तो \(yx^2-x+y=0\) में विविक्तकर \(1-4y^2\ge 0\) चाहिए। अतः \(-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}\)। / If \(y=\frac{x}{x^2+1}\), then the discriminant of \(yx^2-x+y=0\) must satisfy \(1-4y^2\ge 0\). Thus \(-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}\).
क्योंकि \(x>0\), \(f(x)-2=x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\)। अतः \(f(x)\ge 2\), और बराबरी \(x=1\) पर होती है; इसलिए 2 मान-परास में शामिल है। साथ ही \(x\to0^+\) या \(x\to\infty\) पर \(f(x)\to\infty\), इसलिए प्रत्येक \(y\ge2\) प्राप्त होता है। अतः मान-परास \([2,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(x+\frac1x\) में \(x>0\) हो तो न्यूनतम मान 2 तुरंत AM-GM से भी निकाला जा सकता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\) पर मान ठीक 2 मिलता है। / Since \(x>0\), \(f(x)-2=x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0\). Thus \(f(x)\ge 2\), with equality at \(x=1\), so 2 is included in the range. Also, \(f(x)\to\infty\) as \(x\to0^+\) or \(x\to\infty\), and every value \(y\ge2\) is attained. Therefore, the range is \([2,\infty)\). Exam tip: for \(x+\frac1x\) with \(x>0\), the minimum 2 can also be found directly using AM-GM. Option B is incorrect because the value 2 is attained at \(x=1\).
ऋणात्मक (x) के लिए (x=-t), (t>0), तब (f=-\(t+\frac{4}{t}\)\le -4)। इसलिए परिसर (\(-\infty,-4]\) है। / For negative (x), put (x=-t), (t>0), then (f=-\(t+\frac{4}{t}\)\le -4). Hence the range is (\(-\infty,-4]\).
यदि \(y=\frac{x-2}{x+5}\), तो \(x=\frac{-5y-2}{y-1}\), इसलिए \(y\ne 1\)। अतः परिसर \(\mathbb{R}-{1}\) है। / If \(y=\frac{x-2}{x+5}\), then \(x=\frac{-5y-2}{y-1}\), so \(y\ne 1\). Hence the range is \(\mathbb{R}-{1}\).
वास्तविक मानों के लिए प्रत्येक वर्गमूल के भीतर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए। \(x+2\ge 0\) से \(x\ge -2\) तथा \(6-x\ge 0\) से \(x\le 6\) मिलता है। अतः दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([-2,6]\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(-2\) और \(6\) को अनावश्यक रूप से हटाया गया है, जबकि इन पर एक वर्गमूल शून्य होता है, जो मान्य है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में हर मूल के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखकर सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For real values, the expression inside each square root must be non-negative. From \(x+2\ge 0\), we get \(x\ge -2\), and from \(6-x\ge 0\), we get \(x\le 6\). Hence, the intersection of the two conditions is \([-2,6]\), so option A is correct. Option C wrongly excludes \(-2\) and \(6\); at these endpoints, one square root is zero, which is valid. Exam tip: for a function involving square roots, require every radicand to be \(\ge 0\) and intersect the resulting conditions.
प्रांत ([-2,6]) पर योग सममित है और अधिकतम (x=2) पर मिलता है। तब मान \(\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\) है। / On ([-2,6]), the sum is symmetric and maximum occurs at (x=2). Then the value is \(\sqrt{4}+\sqrt{4}=4\).
क्योंकि वर्गमूल हर में है, इसलिए उसके अंदर की राशि धनात्मक होनी चाहिए: \(4-x^2>0\)। अतः \(x^2<4\), जिससे \(-2<x<2\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \((-2,2)\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(x=\pm2\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: जब वर्गमूल हर में हो, तो radicand के लिए सख्त असमानता \(>0\) लगाएँ। / Because the square root is in the denominator, its radicand must be strictly positive: \(4-x^2>0\). Thus \(x^2<4\), which gives \(-2<x<2\). Therefore, the domain is \((-2,2)\). Option B is incorrect because at \(x=\pm2\), the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root appears in the denominator, impose the strict condition radicand \(>0\).
\(\sqrt{4-x^2}\) का अधिकतम मान (2) है, इसलिए (f) का न्यूनतम मान \(\frac{1}{2}\) है। किनारों के पास मान असीमित बढ़ता है। / The maximum value of \(\sqrt{4-x^2}\) is (2), so the minimum value of (f) is \(\frac{1}{2}\). Near the endpoints, the value grows without bound.
वर्गमूल के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([1,\infty\)-{5}) है। / For the square root \(x\ge 1\), and for the denominator \(x\ne 5\) are needed. Hence the domain is \([1,\infty\)-{5}).
