Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वास्तविक मानों के लिए \(x-2\ge 0\) होना चाहिए, क्योंकि यह वर्गमूल के अंदर है। साथ ही, वर्गमूल हर में है, इसलिए उसका मान शून्य नहीं हो सकता; अतः \(x-2>0\), अर्थात् \(x>2\)। इसलिए प्रांत \((2,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=2\) पर हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: हर में उपस्थित वर्गमूल के लिए अंदर की राशि सदैव धनात्मक रखें। / For real-valued outputs, \(x-2\ge 0\) is required because it is under a square root. Since the square root is in the denominator, it cannot be zero; therefore \(x-2>0\), giving \(x>2\). Hence the domain is \((2,\infty)\). Option B is incorrect because at \(x=2\), the denominator becomes zero. Exam tip: when a square root occurs in the denominator, its radicand must be strictly positive.
हर \(x^2-9\ne 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x\ne -3,3\)। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाले मान हटाएं। / The denominator must satisfy \(x^2-9\ne 0\), so \(x\ne -3,3\). In exams, remove values that make the denominator zero.
वर्गमूल के लिए \(x+1\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \([-1,\infty\)-{4}) है। / For the square root \(x+1\ge 0\) and for the denominator \(x\ne 4\) are required. Thus the intersection is \([-1,\infty\)-{4}).
क्योंकि \((x-2)^2\ge 0\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(f(x)=(x-2)^2+5\ge 5\)। जब \(x=2\), तब \(f(2)=5\), इसलिए 5 परास में शामिल है और परास \([5,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: ऊपर की ओर खुलने वाले \((x-a)^2+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है। / Since \((x-2)^2\ge 0\) for every real \(x\), we have \(f(x)=(x-2)^2+5\ge 5\). At \(x=2\), \(f(2)=5\), so 5 is included in the range. Therefore, the range is \([5,\infty)\). Exam tip: an upward-opening expression of the form \((x-a)^2+b\) has minimum value \(b\).
प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \((x+3)^2\geq 0\) होता है। इसलिए \(f(x)=7-(x+3)^2\leq 7\)। जब \(x=-3\) होता है, तब वर्ग पद शून्य है और \(f(-3)=7\), अतः 7 अधिकतम मान है तथा यह परास में शामिल होगा। जैसे-जैसे \(|x+3|\) बढ़ता है, \(f(x)\) बिना सीमा के घटता जाता है। इसलिए परास \(( -\infty, 7]\) है। \([7,\infty)\) गलत है क्योंकि फलन 7 से बड़ा कोई मान नहीं ले सकता। परीक्षा-युक्ति: \(a-(x-h)^2\) के रूप के परवलय का अधिकतम मान \(a\) होता है। / For every real \(x\), \((x+3)^2\geq 0\). Hence \(f(x)=7-(x+3)^2\leq 7\). At \(x=-3\), the squared term is zero, so \(f(-3)=7\); thus 7 is the maximum value and is included in the range. As \(|x+3|\) increases, \(f(x)\) decreases without bound. Therefore, the range is \(( -\infty, 7]\). The interval \([7,\infty)\) is incorrect because the function cannot take a value greater than 7. Exam tip: a parabola of the form \(a-(x-h)^2\) has maximum value \(a\).
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ \(x-3\ne 0\), इसलिए \(x\ne 3\)। अतः 3 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ फलन के प्रांत में आती हैं, अर्थात् \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\)। विकल्प B में \(-3\) को हटाया गया है, जबकि निषिद्ध मान 3 है। परीक्षा-युक्ति: प्रांत ज्ञात करते समय सबसे पहले हर को शून्य के बराबर रखकर निषिद्ध मान निकालें। / For a rational function, the denominator cannot be zero. Here, \(x-3\ne 0\), so \(x\ne 3\). Therefore, every real number except 3 belongs to the domain, giving \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Option B incorrectly excludes \(-3\), and option D includes the undefined value 3. Exam tip: To find the domain of a rational function, first set its denominator equal to zero and exclude the resulting values.
यदि \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), तो \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), अतः \(y\ne 2\)। इसलिए परिसर \(\mathbb{R}-{2}\) है। / If \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), then \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), so \(y\ne 2\). Hence the range is \(\mathbb{R}-{2}\).
किसी भी वास्तविक x के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। अतः \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\)। अधिकतम मान \(\frac14\) तब मिलता है जब \(x=0\), जबकि 0 कभी प्राप्त नहीं होता; इसलिए परास \((0,\frac14]\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक हर के व्युत्क्रम का मान हर के न्यूनतम मान पर अधिकतम होता है। / For every real x, \(x^2\ge 0\), so \(x^2+4\ge 4\). Hence \(0<\frac{1}{x^2+4}\le\frac14\). The maximum value \(\frac14\) occurs at \(x=0\), while 0 is never attained; therefore, the range is \((0,\frac14]\). Exam tip: for a positive denominator, the reciprocal is largest when the denominator is smallest.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए मूलचिह्न के अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(9-(x-1)^2\ge 0\), इसलिए \((x-1)^2\le 9\)। इससे \(-3\le x-1\le 3\), अर्थात \(-2\le x\le 4\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रांत \([-2,4]\) है। विकल्प C उन मानों को दर्शाता है जिनके लिए मूलचिह्न के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक होगा। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए हमेशा मूलचिह्न के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression inside the radical must be non-negative. Hence \(9-(x-1)^2\ge 0\), so \((x-1)^2\le 9\). This gives \(-3\le x-1\le 3\), or \(-2\le x\le 4\). Therefore, the domain is \([-2,4]\). Option C contains values for which the expression inside the square root is negative. Exam tip: To find the domain of a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero.
वर्गमूल का मान ऋणात्मक नहीं होता और अंदर का अधिकतम मान (9) है। इसलिए परिसर ([0,3]) है। / A square root is never negative and the maximum inside value is (9). Hence the range is ([0,3]).
