Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इस अंतराल में (|x|) का न्यूनतम (2) और अधिकतम (5) है। ऋणात्मक प्रांत में \(x^2\) घटता दिख सकता है पर मान धनात्मक रहते हैं। / On this interval, the minimum of (|x|) is (2) and the maximum is (5). On a negative domain \(x^2\) may decrease, but values remain positive.
\(y=\frac{x}{x^2+1}\) से \(yx^2-x+y=0\) मिलता है और विविक्तकर \(\ge0\) देने पर \(|y|\le\frac{1}{2}\)। परिसर के लिए विविक्तकर विधि उपयोगी है। / From \(y=\frac{x}{x^2+1}\), we get \(yx^2-x+y=0\), and discriminant \(\ge0\) gives \(|y|\le\frac{1}{2}\). The discriminant method is useful for range.
हर ((x+1)2+1) और (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}) है। इसलिए मान (1) से बड़े और \(\frac{5}{2}\) तक हैं। / The denominator is ((x+1)2+1), and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). Hence values are greater than (1) and up to \(\frac{5}{2}\).
\(|x|+1\ge1\) इसलिए अधिकतम (1) है और (0) प्राप्त नहीं होता। हर के अनंत होने पर भिन्न (0) के पास जाती है। / Since \(|x|+1\ge1\), the maximum is (1), and (0) is not attained. As the denominator grows without bound, the fraction approaches (0).
वर्गमूल के लिए \(|x|-3\ge0\) यानी \(|x|\ge3\) चाहिए। निरपेक्ष असमानता में बाहरी भाग चुने जाते हैं। / The square root requires \(|x|-3\ge0\), so \(|x|\ge3\). For this absolute inequality, the outside intervals are selected.
दो स्थिर बिंदुओं से दूरी के अंतर का मान उनकी दूरी (3) से अधिक नहीं होता। इसलिए परिसर ( [-3,3] ) है। / The difference of distances from two fixed points cannot exceed their distance (3). Therefore the range is ([-3,3]).
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x>2), और \(\sqrt{8-x}\) से \(x\le8\) है। हर के कारण (2) हटेगा पर (8) रहेगा। / Since \(\sqrt{x-2}\) is in the denominator, (x>2), and \(\sqrt{8-x}\) gives \(x\le8\). Because of the denominator (2) is excluded but (8) remains.
वास्तविक मान वाले फलन \(f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}\) के प्रांत और परास का सही वर्गीकरण कौन-सा है? प्रत्येक क्रमित युग्म में पहला भाग प्रांत और दूसरा भाग परास दर्शाता है।
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(1+x^2>0\), इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\) है। \(t=x^2\ge0\) रखने पर \(f=\frac{t}{1+t}\): 0 मिलता है, पर 1 कभी नहीं। अतः परास \([0,1)\) है। परीक्षा टिप: हर के शून्य होने की जाँच करें। / For every real \(x\), \(1+x^2>0\), so the domain is \(\mathbb{R}\). Put \(t=x^2\ge0\); then \(f=\frac{t}{1+t}\). It can be 0 but can never equal 1, so the range is \([0,1)\). Exam tip: first check where the denominator is zero.
(f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}) है इसलिए न्यूनतम (-1) और ऊपरी सीमा (1) अप्राप्त है। रूप बदलकर परिसर जल्दी मिलता है। / Here (f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}), so the minimum is (-1), and the upper bound (1) is not attained. Rewriting the expression quickly gives the range.
वास्तविक वर्गमूल के लिए प्रत्येक मूलांक के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। इसलिए \(x-1\ge 0\) से \(x\ge 1\) और \(x-4\ge 0\) से \(x\ge 4\) प्राप्त होता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ हल \(x\ge 4\) है, अतः प्रांत \([4,\infty)\) है। विकल्प B केवल पहली शर्त को दर्शाता है, जबकि विकल्प D में \(x=4\) को अनावश्यक रूप से शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: कई वर्गमूलों वाले फलन में सभी मूलांकों की शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / For a square root to be real, each radicand must be non-negative. Thus, \(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\), and \(x-4\ge 0\) gives \(x\ge 4\). The common solution is \(x\ge 4\), so the domain is \([4,\infty)\). Option B considers only the first square root, while option D incorrectly excludes \(x=4\), where both square roots are defined. Exam tip: for multiple square roots, take the intersection of all radicand conditions.
