Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रांत \(x\ge4\) है और (x=4) पर मान \(\sqrt{3}\) मिलता है। दोनों पद बढ़ते हैं इसलिए यही न्यूनतम है। / The domain is \(x\ge4\), and at (x=4) the value is \(\sqrt{3}\). Both terms increase, so this is the minimum.
हर ((x+1)2+4) का न्यूनतम (4) है। भिन्न का अधिकतम तब होता है जब धनात्मक हर न्यूनतम हो। / The denominator ((x+1)2+4) has minimum (4). The fraction is maximum when the positive denominator is minimum.
वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(2-|x-1|\ge 0\), अर्थात् \(|x-1|\le 2\)। इससे \(-2\le x-1\le 2\), और अतः \(-1\le x\le 3\) प्राप्त होता है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \([-1,3]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि दोनों सिरों पर वर्गमूल का मान शून्य, जो मान्य है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन के परिभाषा-क्षेत्र के लिए radicand को \(\ge 0\) रखें। / The expression inside a square root must be non-negative, so \(2-|x-1|\ge 0\), which gives \(|x-1|\le 2\). Thus \(-2\le x-1\le 2\), or \(-1\le x\le 3\). Therefore, the domain is \([-1,3]\). Option B is incorrect because the endpoints are included: at both endpoints, the radicand is zero, which is allowed. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
अंदर (2-|x-1|) का अधिकतम (2) और न्यूनतम (0) है। वर्गमूल से परिसर \( [0,\sqrt{2}] \) मिलता है। / The inside expression (2-|x-1|) has maximum (2) and minimum (0). Taking square root gives the range \([0,\sqrt{2}]\).
हर में वर्गमूल है इसलिए (|x+2|-5>0) चाहिए। अतः (|x+2|>5) से बाहरी खुले अंतराल मिलते हैं। / The square root is in the denominator, so (|x+2|-5>0) is required. Thus (|x+2|>5) gives the outside open intervals.
\(y=\frac{4x-1}{2x+5}\) से \(x=\frac{-1-5y}{2y-4}\) मिलता है इसलिए \(y\ne2\)। रैखिक भिन्नात्मक फलन में अनुपलब्ध मान अक्सर अग्र गुणांकों का अनुपात होता है। / From \(y=\frac{4x-1}{2x+5}\), we get \(x=\frac{-1-5y}{2y-4}\), so \(y\ne2\). For a linear fractional function, the missing value is often the ratio of leading coefficients.
वर्गमूल के लिए ((x-2)(7-x)\ge0) से \(x\in[2,7]\) मिलता है और हर से \(x\ne3\) हटेगा। संयुक्त प्रतिबंधों का प्रतिच्छेद लेना जरूरी है। / For the square root, ((x-2)(7-x)\ge0) gives \(x\in[2,7]\), and the denominator removes (x=3). Taking the intersection of all restrictions is essential.
हर (x-2-4x+8=(x-2)2+4) है इसलिए भिन्न का अधिकतम \(\frac{1}{2}\) है और न्यूनतम (0) प्राप्त नहीं होता। इसलिए कुल परिसर ( \(1,\frac{3}{2}] \) है। / The denominator is (x-2-4x+8=(x-2)2+4), so the fraction has maximum \(\frac{1}{2}\) and never attains (0). Hence the total range is (\(1,\frac{3}{2}]\).
वर्गमूल के अंदर \(3x-12\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(x\ge 4\)। परीक्षा में वर्गमूल के लिए अंदर का भाग हमेशा अशून्य या धनात्मक रखें। / The expression inside the square root must satisfy \(3x-12\ge 0\), so \(x\ge 4\). In exams, always keep the radicand non-negative.
यहां \(25-x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2\le 25\) और \(x\in[-5,5]\)। ऐसे प्रश्नों में असमानता को सावधानी से हल करें। / Here \(25-x^2\ge 0\), so \(x^2\le 25\) and \(x\in[-5,5]\). In such questions, solve the inequality carefully.
