Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि \(|x-4|\ge 0\), इसलिए \(f(x)=|x-4|+2\ge 2\)। \(x=4\) पर \(|x-4|=0\) और \(f(4)=2\), इसलिए 2 वास्तव में प्राप्त होता है। जैसे-जैसे \(|x-4|\) बढ़ता है, \(f(x)\) के सभी मान 2 या उससे अधिक प्राप्त होते हैं; अतः परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें न्यूनतम मान 2 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है और परास \([b,\infty)\) होती है। / Since \(|x-4|\ge 0\), we have \(f(x)=|x-4|+2\ge 2\). At \(x=4\), \(|x-4|=0\), so \(f(4)=2\); therefore, the value 2 is attained. As \(|x-4|\) increases, all values greater than 2 are also obtained, giving the range \([2,\infty)\). Option B is incorrect because it excludes the attained minimum value 2. Exam tip: For a function of the form \(|x-a|+b\), the range is \([b,\infty)\).
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\ge 0\), इसलिए \(|x|+1\ge 1\) और \(0<f(x)\le 1\)। जब \(x=0\), तब \(f(x)=1\), जबकि \(|x|\) बढ़ने पर फलन का मान 0 के निकट पहुँचता है, परन्तु 0 कभी प्राप्त नहीं होता। इसलिए परास \((0,1]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 0 शामिल है। परीक्षा-युक्ति: भिन्नात्मक फलन में हर के न्यूनतम और अधिकतम सम्भव मान से परास निर्धारित करें। / For every real \(x\), \(|x|\ge 0\), so \(|x|+1\ge 1\), which gives \(0<f(x)\le 1\). At \(x=0\), the function equals 1. As \(|x|\) increases, the function approaches 0 but never becomes 0. Hence, the range is \((0,1]\). Option B is incorrect because 0 is not attained. Exam tip: For a reciprocal function, identify the minimum and possible limiting values of the denominator to determine the range.
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{t-1}{t+1}\)। (t=0) पर (-1) मिलता है और (1) प्राप्त नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t-1}{t+1}\). At (t=0), (-1) occurs and (1) is not attained.
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलचिह्न के भीतर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए। अतः \(x^2-16\geq 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\geq 0\)। यह असमता \(x\leq -4\) या \(x\geq 4\) के लिए सत्य है। इसलिए परिभाषा-क्षेत्र \(( -\infty,-4]\cup[4,\infty)\) है। विकल्प B और C में बीच के वे मान शामिल हैं जिनके लिए \(x^2-16<0\) होता है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=-4\) और \(x=4\) पर वर्गमूल का मान 0 होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले वास्तविक फलन में radicand को हमेशा \(\geq 0\) रखें। / For a real square root, the expression inside the radical must be non-negative. Hence, \(x^2-16\geq 0\), or \((x-4)(x+4)\geq 0\). This inequality holds when \(x\leq -4\) or \(x\geq 4\). Therefore, the domain is \(( -\infty,-4]\cup[4,\infty)\). Options B and C contain values between the roots, for which \(x^2-16<0\). Option D is incorrect because at \(x=-4\) and \(x=4\), the square root is 0. Exam tip: For a real square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
प्रांत में \(x^2-16\ge 0\) और वर्गमूल का न्यूनतम मान (0) है। बड़े (|x|) पर मान असीमित बढ़ता है। / On the domain, \(x^2-16\ge 0\) and the minimum square-root value is (0). For large (|x|), the value grows without bound.
लघुगणक का परिभाषित होना सुनिश्चित करने के लिए उसका तर्क strictly धनात्मक होना चाहिए: \(x^2-5x+6>0\)। गुणनखंड करने पर \((x-2)(x-3)>0\) मिलता है, जो \(x<2\) या \(x>3\) के लिए सत्य है। अतः प्रांत \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((2,3)\) में लघुगणक का तर्क ऋणात्मक होता है; 2 और 3 भी शामिल नहीं हो सकते क्योंकि वहाँ तर्क शून्य है। परीक्षा-युक्ति: \(\log_a(g(x))\) के लिए हमेशा \(g(x)>0\) लगाएँ, केवल \(g(x)\ne0\) नहीं। / The argument of a logarithm must be strictly positive, so \(x^2-5x+6>0\). Factoring gives \((x-2)(x-3)>0\), which holds when \(x<2\) or \(x>3\). Therefore, the domain is \((-\infty,2)\cup(3,\infty)\). Option B is incorrect because the logarithm's argument is negative between 2 and 3; the endpoints are also excluded because the argument becomes zero there. Exam tip: For \(\log_a(g(x))\), always impose \(g(x)>0\), not merely \(g(x)\ne0\).
लघुगणकीय फलन के लिए उसका आर्गुमेंट धनात्मक होना आवश्यक है। अतः \(4-x>0\), जिससे \(x<4\) मिलता है। इसलिए प्रांत \(( -\infty,4)\) है। विकल्प C में \(4\) शामिल है, पर \(x=4\) पर आर्गुमेंट \(0\) होता है और \(\log 0\) अपरिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: लॉग वाले प्रश्नों में पहले उसके अंदर के व्यंजक को \(>0\) रखें। / For a logarithmic function, its argument must be positive. Thus, \(4-x>0\), which gives \(x<4\). Therefore, the domain is \(( -\infty,4)\). Option C wrongly includes \(4\); at \(x=4\), the argument is \(0\), and \(\log 0\) is undefined. Exam tip: In logarithmic domain questions, first set the expression inside the log greater than zero.
लघुगणक के लिए (x>0) और हर के लिए \(\log_3 x\ne 0\), यानी \(x\ne 1\)। दोनों शर्तें साथ रखें। / For the logarithm (x>0), and for the denominator \(\log_3 x\ne 0\), so \(x\ne 1\). Keep both conditions together.
शर्त \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) और \(x\ne -2\) है। साइन चार्ट से (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty)) मिलता है। / The condition is \(\frac{x-1}{x+2}\ge 0\) and \(x\ne -2\). A sign chart gives (\(-\infty,-2\)\cup[1,\infty)).
वर्गमूल के अंदर की मात्रा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए और हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) तथा \(x\ne -1\)। महत्त्वपूर्ण बिंदु \(-1\) और \(5\) हैं। अंतरालों में चिह्न जाँचने पर \((-1,5]\) प्राप्त होता है; \(5\) शामिल है क्योंकि वहाँ भिन्न का मान 0 है, जबकि \(-1\) शामिल नहीं है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले परिमेय व्यंजक में पहले हर के शून्य होने वाले बिंदु को अलग करें, फिर चिह्न-आरेख बनाकर जाँच करें। / The expression under the square root must be non-negative, and the denominator cannot be zero. Thus, \(\frac{5-x}{x+1}\ge 0\) with \(x\ne -1\). The critical points are \(-1\) and \(5\). Sign testing across the intervals gives \((-1,5]\). The endpoint \(5\) is included because the fraction becomes 0, whereas \(-1\) is excluded because it makes the denominator zero. Exam tip: for a rational expression under a square root, first mark the denominator’s zero and the numerator’s zero, then perform an interval sign test.
