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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Expert Level 32

यदि वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित फलन \(f(x)=x^2+2x+3\) का मान-समुच्चय \([m,\infty)\) है, तो \(m\) का मान क्या है?

If the range of the function \(f(x)=x^2+2x+3\), defined on the real numbers, is \([m,\infty)\), what is the value of \(m\)?

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B. 2

Explanation

Simple Explanation

पूर्ण वर्ग बनाने पर \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\) मिलता है। चूँकि \((x+1)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(2\) है, जो \(x=-1\) पर प्राप्त होता है। इसलिए मान-समुच्चय \([2,\infty)\) और \(m=2\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को \(a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखने पर, यदि \(a>0\) हो, तो न्यूनतम मान \(k\) होता है। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\). Since \((x+1)^2\geq 0\), the function has minimum value \(2\), attained at \(x=-1\). Hence its range is \([2,\\infty)\), so \(m=2\). Exam tip: For a quadratic written as \(a(x-h)^2+k\) with \(a>0\), the minimum value is \(k\). The constant term \(3\) is not the minimum value.

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Correct Answer: B. 2. Explanation: पूर्ण वर्ग बनाने पर \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\) मिलता है। चूँकि \((x+1)^2\geq 0\), फलन का न्यूनतम मान \(2\) है, जो \(x=-1\) पर प्राप्त होता है। इसलिए मान-समुच्चय \([2,\infty)\) और \(m=2\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को \(a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखने पर, यदि \(a>0\) हो, तो न्यूनतम मान \(k\) होता है। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2+2\). Since \((x+1)^2\geq 0\), the function has minimum value \(2\), attained at \(x=-1\). Hence its range is \([2,\\infty)\), so \(m=2\). Exam tip: For a quadratic written as \(a(x-h)^2+k\) with \(a>0\), the minimum value is \(k\). The constant term \(3\) is not the minimum value.