A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
Identifying perfect squares is the first task in such questions. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है।
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying conjugates helps remove radicals quickly. चरण 1: पहला विकल्प संयुग्मी पदों का गुणनफल है। चरण 2: (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)=6-2=4), जो परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी पद पहचानने से वर्गमूल जल्दी हट जाते हैं।
A simple way to get a rational difference is to use square roots of perfect squares. चरण 1: \(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{9}=3\) हैं। चरण 2: अंतर (5-3=2) परिमेय है। चरण 3: परिमेय अंतर पाने का सरल तरीका पूर्ण वर्गों के वर्गमूल लेना है।
A. तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं/All three are irrational numbers
Step 1
Concept
(2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common factor in the coprime numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are all irrational. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आता है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों अपरिमेय हैं।
(4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, identify perfect squares first. चरण 1: (4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें।
A. वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता/Taking square roots does not directly give (3q)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q).
Step 3
Exam Tip
Be careful when removing squares in a proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं। चरण 3: प्रमाण में वर्ग हटाते समय सावधानी रखें।
A. ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है/The square root of a prime number that is not a perfect square
Step 1
Concept
(2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates the same prime as a common factor of numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between a perfect square and a prime number. चरण 1: (2,3,5) अभाज्य हैं और पूर्ण वर्ग नहीं हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने से अंश और हर में वही अभाज्य साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और अभाज्य संख्या का फर्क जरूर समझें।
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना/Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
In the correct proof, the square root is assumed as a fraction and then squared.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse the square root with the number inside it. चरण 1: \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। चरण 2: सही प्रमाण में वर्गमूल को भिन्न के रूप में मानकर वर्ग किया जाता है। चरण 3: वर्गमूल और अंदर की संख्या को समान न समझें।
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं/Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), and (5) are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
Therefore their square roots are proved irrational. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। चरण 2: (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। चरण 3: इसलिए इनके वर्गमूलों की अपरिमेयता सिद्ध की जाती है।
Square roots of perfect squares are rational. चरण 1: (4) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं।
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं/Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
Step 1
Concept
Square roots of perfect squares are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), and (5) are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
That is why irrationality proofs are studied for their square roots. चरण 1: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। चरण 2: (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। चरण 3: इसलिए इनके वर्गमूलों के लिए अपरिमेयता का प्रमाण पढ़ाया जाता है।
A. वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/They cannot be coprime
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), both have (5) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
Thus the initial rational assumption becomes false. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: इसी से आरंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. (x) पूर्ण वर्ग नहीं है/(x) is not a perfect square
Step 1
Concept
The square root of a perfect square is an integer and rational.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\sqrt{x}\) is irrational then (x) cannot be a perfect square.
Step 3
Exam Tip
For irrational square roots first check perfect-square status. चरण 1: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है और परिमेय होता है। चरण 2: \(\sqrt{x}\) अपरिमेय है तो (x) पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता। चरण 3: अपरिमेय वर्गमूल के लिए पूर्ण वर्ग की जांच सबसे पहले करें।
Therefore \(2<\sqrt{5}<3\) and since (5) is not a perfect square \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use squares to locate irrational square roots between integers. चरण 1: (4<5<9) है। चरण 2: इसलिए \(2<\sqrt{5}<3\) और (5) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: बीच की संख्या खोजते समय वर्गों से सीमा बनाएं।
The product of two identical irrational square roots becomes the number inside. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5\) परिमेय है। चरण 3: दो समान अपरिमेय वर्गमूलों का गुणनफल भीतर की संख्या बन जाता है।
B. अपरिमेय क्योंकि उत्तर \(\sqrt{2}\) है/Irrational because the answer is \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The difference is \(\sqrt{2}\) which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not subtract the numbers inside square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: अंतर \(\sqrt{2}\) है जो अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल घटाते समय भीतर की संख्याओं को सीधे न घटाएं।
Multiplying it by \(\sqrt{13}\) gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
In products check first whether square roots combine to a perfect square. चरण 1: \(\frac{3}{5}\) शून्य रहित परिमेय है। चरण 2: शून्य रहित परिमेय संख्या से \(\sqrt{13}\) को गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: गुणनफल में पहले देखें कि वर्गमूल मिलकर पूर्ण वर्ग तो नहीं बना रहे।
\(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not choose the answer before simplifying square roots. चरण 1: सरल करें \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को सरल किए बिना उत्तर जल्दी न चुनें।
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। चरण 2: इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। चरण 3: ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें।
\(\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
For a rational sum, check both square roots separately. चरण 1: (25) और (49) दोनों पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: \(\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\), जो परिमेय है। चरण 3: परिमेय योग के लिए दोनों वर्गमूलों को अलग-अलग जाँचें।
\(\frac{18}{5}\) is not a perfect square of a rational number, so the result is irrational.
Step 3
Exam Tip
In quotients of radicals, check whether the fraction inside is a perfect square. चरण 1: \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{18}{5}}\) है। चरण 2: \(\frac{18}{5}\) किसी परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए परिणाम अपरिमेय है। चरण 3: भाग वाले मूलों में अंदर के भिन्न को पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह देखें।
The right side is \(\sqrt{13}\), which is not (5).
Step 3
Exam Tip
When adding square roots, the numbers inside the roots are not added directly. चरण 1: (a=4,b=9) रखने पर बायाँ पक्ष (2+3=5) है। चरण 2: दायाँ पक्ष \(\sqrt{13}\) है, जो (5) नहीं है। चरण 3: वर्गमूलों को जोड़ते समय अंदर की संख्याएँ सीधे नहीं जोड़ी जातीं।
\(\sqrt{3}\) is about (1.732), so it lies between (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3>2), \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
For positive square roots, compare the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{3}\) लगभग (1.732) है, इसलिए यह (1) और (2) के बीच है। चरण 2: (3>2), इसलिए \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\)। चरण 3: धनात्मक वर्गमूलों की तुलना में अंदर की संख्याओं की तुलना कर सकते हैं।
QuestionExpertMathematicsChapter 1: Real Numbers5: Irrational numbersClass 10Level 13
यदि (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) परिमेय है, जबकि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो (b) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही हो सकता है?
Since (a) is not a perfect square, \(\sqrt{a}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
A sum of two positive square roots could become rational only if irrational parts cancel, but both terms are positive here.
Step 3
Exam Tip
Without opposite signs, irrational surd parts remain in the sum. चरण 1: (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है। चरण 2: दो धनात्मक वर्गमूलों का योग परिमेय तभी हो सकता है जब अपरिमेय भाग कटे, पर यहाँ दोनों पद धनात्मक हैं इसलिए कटना संभव नहीं है। चरण 3: धनात्मक मूलों के योग में विपरीत चिह्न न होने पर अपरिमेय भाग बचता है।
(17), (20), and (24) lie between (16) and (25), but (26) is greater than (25).
Step 3
Exam Tip
For positive square roots, comparing squares is easier. चरण 1: \(4=\sqrt{16}\) और \(5=\sqrt{25}\) हैं। चरण 2: (17), (20) और (24) (16) और (25) के बीच हैं, पर (26) (25) से बड़ा है। चरण 3: धनात्मक वर्गमूलों की तुलना में वर्गों की तुलना आसान होती है।
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Do not combine separate square roots directly into one root. चरण 1: \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)। चरण 2: योग \(5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}\) है। चरण 3: अलग-अलग मूलों को सीधे जोड़कर एक मूल न बनाएं।
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not combine separate square roots as \(\sqrt{39}\). चरण 1: \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। चरण 2: योग \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: अलग-अलग मूलों को सीधे जोड़कर \(\sqrt{39}\) न लिखें।
\(\frac{7}{8}\) and (4.25) are terminating decimals.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{3}\) is non-terminating recurring. \(\sqrt{17}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
Quickly identify square roots of non-perfect squares. चरण 1: \(\frac{7}{8}\) और (4.25) सांत दशमलव देते हैं। चरण 2: \(\frac{2}{3}\) असांत आवर्ती दशमलव देता है। \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है, इसलिए उसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। चरण 3: अपूर्ण वर्ग के वर्गमूल को तुरंत पहचानें।
Rationalisation is not always needed; first evaluate square roots of perfect squares. चरण 1: पहले \(\sqrt{9}=3\) लिखें। चरण 2: \(\frac{9}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3\)। चरण 3: हर बार परिमेयकरण जरूरी नहीं, पूर्ण वर्ग का वर्गमूल सीधे निकालें।
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify both square roots before subtracting. चरण 1: \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: घटाने से पहले दोनों वर्गमूलों को सरल करना जरूरी है।
Nearby perfect squares give the best clues for comparing square roots. चरण 1: (36<39<49) है। चरण 2: इसलिए \(6<\sqrt{39}<7\)। चरण 3: वर्गमूल की तुलना के लिए पास के पूर्ण वर्ग सबसे अच्छे संकेत देते हैं।
When multiplying square roots, multiply the numbers inside. चरण 1: \(\sqrt{7}\times\sqrt{28}=\sqrt{196}\)। चरण 2: \(\sqrt{196}=14\), इसलिए मान परिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा करें।
C. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है/The square root of a perfect square is rational
Step 1
Concept
Square roots of perfect squares are integers.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{49}=7\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In statement-based questions, using an example helps check the truth. चरण 1: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। चरण 2: जैसे \(\sqrt{49}=7\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: कथन वाले प्रश्नों में उदाहरण लगाकर सत्यता जांचना आसान होता है।
In multiplication of square roots, multiply the numbers inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10\).
Step 3
Exam Tip
The product of two irrational numbers can sometimes be rational. चरण 1: वर्गमूलों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा करें। चरण 2: \(\sqrt{2}\times\sqrt{50}=\sqrt{100}=10\)। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
\(\sqrt{121}=11\), and (11) can be written as \(\frac{11}{1}\).
Step 3
Exam Tip
Square roots of perfect squares are rational. चरण 1: (121) एक पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{121}=11\), और (11) को \(\frac{11}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं।
Nearby perfect squares are very useful for comparing square roots. चरण 1: (9<13<16) है। चरण 2: इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\)। चरण 3: वर्गमूल की तुलना के लिए पास के पूर्ण वर्ग बहुत उपयोगी होते हैं।
In multiplication, multiply the numbers inside the square roots. चरण 1: \(\sqrt{2}\times\sqrt{32}=\sqrt{64}\)। चरण 2: \(\sqrt{64}=8\), इसलिए परिणाम परिमेय है। चरण 3: गुणन में वर्गमूलों के अंदर की संख्याएँ गुणा करें।
When multiplying square roots, multiply the numbers inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\).
Step 3
Exam Tip
The product of two irrational numbers can sometimes be rational. चरण 1: वर्गमूलों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा होती हैं। चरण 2: \(\sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\)। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
Square roots of larger perfect squares can also be rational. चरण 1: (64) पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{64}=8\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्गों के वर्गमूल भी परिमेय हो सकते हैं।
\(\sqrt{2}\approx 1.414\) and \(\sqrt{3}\approx 1.732\).
Step 2
Why this answer is correct
(1.5) lies between these two values.
Step 3
Exam Tip
Approximate values help in comparing square roots. चरण 1: \(\sqrt{2}\approx 1.414\) और \(\sqrt{3}\approx 1.732\)। चरण 2: (1.5) इन दोनों के बीच आता है। चरण 3: वर्गमूलों के बीच संख्या चुनने में लगभग मान मदद करते हैं।
The decimal value of \(\sqrt{2}\) is about (1.414).
Step 2
Why this answer is correct
Among the given options, (1.41) is the closest.
Step 3
Exam Tip
Remembering approximate values of common square roots helps in estimation. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का दशमलव मान लगभग (1.414) होता है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में (1.41) सबसे निकट है। चरण 3: कुछ सामान्य वर्गमूलों के लगभग मान याद रखने से अनुमान आसान होता है।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate square roots. चरण 1: (9<10<16), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: दो पूर्ण वर्गों के बीच की संख्या का वर्गमूल अंतराल बताता है।
While multiplying square roots, multiply the numbers inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, multiply the inside numbers; do not add them. चरण 1: वर्गमूलों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा होती हैं। चरण 2: \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: गुणा में अंदर की संख्याएँ गुणा करें, जोड़ नहीं।
Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is not \(\sqrt{5}\); \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not add the numbers inside different square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(\sqrt{5}\) नहीं होता; \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों को सीधे अंदर की संख्याएँ जोड़कर न लिखें।
Identifying the perfect square factor is the key to simplifying square roots. चरण 1: \(45=9 \times 5\) है। चरण 2: \(\sqrt{45}=\sqrt{9 \times 5}=3\sqrt{5}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानना वर्गमूल सरलीकरण की कुंजी है।
First find the square roots of perfect squares separately. चरण 1: \(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{9}=3\)। चरण 2: दोनों को जोड़ने पर (2+3=5) मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें।
While multiplying square roots, multiply the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}\)। चरण 2: \(\sqrt{16}=4\), इसलिए मान परिमेय है। चरण 3: वर्गमूलों को गुणा करते समय अंदर की संख्याएँ गुणा करें।
C. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है/The square root of a perfect square is rational
Step 1
Concept
Square roots of perfect squares are integers.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{36}=6\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not assume every square root is irrational. चरण 1: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। चरण 2: जैसे \(\sqrt{36}=6\), इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: हर वर्गमूल को अपरिमेय मान लेना गलत है।
While simplifying square roots, take the perfect square factor outside. चरण 1: \(12=4 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{12}=\sqrt{4 \times 3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: वर्गमूल सरल करते समय पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें।
So \(\sqrt{10}\) cannot be written exactly as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Be careful while identifying square roots of non-perfect squares. चरण 1: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{10}\) को ठीक-ठीक \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 3: बिना पूर्ण वर्ग वाली संख्या का वर्गमूल पहचानने में सावधानी रखें।
When taking a square root, halve the prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^6\) becomes \(2^3\), and \(5^2\) becomes (5).
Step 3
Exam Tip
In square roots, the base does not change; the exponent is halved. चरण 1: वर्गमूल लेते समय अभाज्य घातों को आधा करते हैं। चरण 2: \(2^6\) से \(2^3\) और \(5^2\) से (5) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल में आधार नहीं बदलता, घात आधी होती है।
When taking a square root, halve all prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) becomes \(2^2\) and \(3^2\) becomes (3).
Step 3
Exam Tip
In square roots, halve the exponent, not the base. चरण 1: वर्गमूल लेते समय सभी अभाज्य घातों को आधा करते हैं। चरण 2: \(2^4\) से \(2^2\) और \(3^2\) से (3) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल में आधार को नहीं, घात को आधा करें।
When taking a square root, halve the prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) becomes \(2^2\) and \(3^2\) becomes (3), so \(\sqrt{N}=2^2 \times 3\).
Step 3
Exam Tip
In square roots, halve exponents, not bases. चरण 1: वर्गमूल लेते समय अभाज्य घातों को आधा किया जाता है। चरण 2: \(2^4\) से \(2^2\) और \(3^2\) से (3) मिलेगा, इसलिए \(\sqrt{N}=2^2 \times 3\)। चरण 3: वर्गमूल में केवल घातों को आधा करें, आधार नहीं बदलें।
