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संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x(x+2)=483) से (x=21) मिलता है इसलिए बड़ी संख्या (23) है। / The integers are (x) and (x+2). From (x(x+2)=483), (x=21), so the larger integer is (23).
संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x(x+2)=360) से \(x^2+2x-360=0\) और (x=18) मिलता है। / Let the integers be (x) and (x+2). From (x(x+2)=360), \(x^2+2x-360=0\), so (x=18).
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=841), जिससे (x=20) मिलता है। लगातार संख्याओं को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=841), giving (x=20). Write consecutive numbers as (x) and (x+1).
यदि छोटा सम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=288)। (x=16) होने से बड़ा पूर्णांक (18) है। / If the smaller even integer is (x), then (x(x+2)=288). Since (x=16), the larger integer is (18).
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=399)। \(19\times21=399\), इसलिए छोटा पूर्णांक (19) है। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=399). Since \(19\times21=399\), the smaller integer is (19).
यदि छोटा पूर्णांक (x) है, तो (x(x+1)=306)। (x=17) होने पर बड़ा पूर्णांक (18) है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=306). When (x=17), the larger integer is (18).
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=365), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=365), giving (x=13). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
यदि छोटा सम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=168)। (x=12) होने से बड़ा पूर्णांक (14) है। / If the smaller even integer is (x), then (x(x+2)=168). Since (x=12), the larger integer is (14).
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=195)। (x=13) सही है क्योंकि \(13\times15=195\)। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=195). (x=13) is correct because \(13\times15=195\).
यदि छोटा पूर्णांक (x) है, तो (x(x+1)=156)। (x=12) मिलने पर बड़ा पूर्णांक (13) है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=156). When (x=12), the larger integer is (13).
संख्याएँ (x) और (x+1) होंगी। (x(x+1)=380) से (x=19), इसलिए बड़ा पूर्णांक (20) है। / The numbers are (x) and (x+1). From (x(x+1)=380), (x=19), so the larger integer is (20).
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=306), जिससे (x=17) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=306), giving (x=17). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
संख्याएँ (x) और (x+1) मानें, तब (x(x+1)=210) से (x=14) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (15) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=210) gives (x=14). So the larger integer is (15).
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=182), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखना सही तरीका है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=182), which gives (x=13). Writing consecutive integers as (x) and (x+1) is the correct method.
मान लें संख्याएँ (x) और (x+1) हैं, तब (x(x+1)=132) से (x=11) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (12) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=132) gives (x=11). So the larger integer is (12).
मान लें छोटा पूर्णांक (x) है, तब (x(x+1)=72) से (x=8) मिलता है। परीक्षा में लगातार संख्याओं को (x) और (x+1) लिखें। / Let the smaller integer be (x), then (x(x+1)=72) gives (x=8). In exams, write consecutive numbers as (x) and (x+1).
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=145)। सरल करने पर \(2x^2+2x-144=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=145). Simplifying gives \(2x^2+2x-144=0\).
लगातार अगला पूर्णांक (x+1) होगा। गुणनफल (30) है इसलिए (x(x+1)=30) बनेगा। / The next consecutive integer is (x+1). Since the product is (30), the equation is (x(x+1)=30).
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है/(m) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए अपरिमेय वर्गमूल के लिए (m) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
धनात्मक पूर्णांक (m) के लिए \(\sqrt{m}\) परिमेय तभी होगा जब (m) पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
A. (m) पूर्ण वर्ग होना चाहिए/(m) must be a perfect square
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। यह जड़ों की प्रकृति का मुख्य नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. This is the key rule for roots.
\(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\) है। गैर शून्य परिमेय से अपरिमेय को गुणा करने पर संख्या अपरिमेय रहती है। / \(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\). Multiplying an irrational number by a non zero rational keeps it irrational.
(123) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{123}\) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों की जड़ परिमेय होती है। / (123) is not a perfect square so \(\sqrt{123}\) is irrational. Roots of perfect squares are rational.
\(400=20^2\) पूर्ण वर्ग है इसलिए \(\sqrt{400}\) परिमेय है। बाकी विकल्प पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / \(400=20^2\) is a perfect square so \(\sqrt{400}\) is rational. The other options are not perfect squares.
A. यदि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है/If (a) is not a perfect square then \(\sqrt{a}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। इसलिए पूर्ण वर्ग न हो तो जड़ अपरिमेय होगी। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. So a non perfect square gives an irrational root.
A. (k) पूर्ण वर्ग नहीं है/(k) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक पूर्ण वर्ग न हो तो उसकी वर्गमूल अपरिमेय होती है। इसलिए (k) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। / If a positive integer is not a perfect square its square root is irrational. So (k) is not a perfect square.
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। इस नियम को सीधे लागू करें। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. Apply this rule directly.
(18) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है। बाकी विकल्पों की जड़ परिमेय है। / (18) is not a perfect square so \(\sqrt{18}\) is irrational. The roots of the other options are rational.
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। यह सीधा परीक्षा नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. This is a direct exam rule.
A. (n) पूर्ण वर्ग नहीं है/(n) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल अपरिमेय तब होती है जब वह पूर्ण वर्ग नहीं होता। यह सरल नियम याद रखें। / The square root of a positive integer is irrational when it is not a perfect square. Remember this simple rule.
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। यह MCQ में सीधा नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. This is a direct MCQ rule.
सरलतम हर से \(7^3\) और (11) हटने चाहिए इसलिए \(n=7^3\cdot 11=3773\) होगा। न्यूनतम मान में (2) और (5) को काटना जरूरी नहीं है। / The factors \(7^3\) and (11) must be removed from the reduced denominator, so \(n=7^3\cdot 11=3773\). For the least value, do not cancel (2) and (5).
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(17^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=2601) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें। / For termination, \(3^2\) and \(17^2\) must cancel completely, so (n=2601). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
सांत दशमलव के लिए \(3^2\) और \(7^2\) पूरी तरह कटने चाहिए इसलिए (n=441) होगा। न्यूनतम मान में केवल (2) और (5) के अलावा गुणनखंड काटें। / For termination, \(3^2\) and \(7^2\) must cancel completely, so (n=441). For the least value, cancel only the factors other than (2) and (5).
सांत दशमलव के लिए \(3^4\) और (13) पूरी तरह कटने चाहिए, इसलिए \(n=3^4\cdot 13=1053\)। न्यूनतम मान में केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटें। / For a terminating decimal, \(3^4\) and (13) must cancel completely, so \(n=3^4\cdot 13=1053\). For the least value, cancel only the unwanted prime factors.
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) रहने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
हर में \(3^3\) और (11) हटाने होंगे, इसलिए \(n=3^3\cdot 11=297\) न्यूनतम है। / The factors \(3^3\) and (11) must be cancelled, so the least (n) is \(3^3\cdot 11=297\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा मान पूछे तो केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंड काटिए। / For the smallest value, cancel only the unwanted prime factors.
सांत दशमलव के लिए सरलतम हर में केवल (2) और (5) बचने चाहिए। / For a terminating decimal, the reduced denominator must contain only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
हर में \(3^2\) और (7) अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए (n) में \(3^2\cdot 7=63\) अवश्य होना चाहिए। / The denominator has extra prime factors \(3^2\) and (7), so (n) must contain \(3^2\cdot 7=63\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा मान पूछे जाने पर केवल अनचाहे अभाज्य गुणनखंडों को काटिए। / When the smallest value is asked, cancel only the unwanted prime factors.
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example \(\sqrt{25}=5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या का वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The square root of a prime number is usually irrational.
(m) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{m}\) अपरिमेय है। / Since (m) is not a perfect square, \(\sqrt{m}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(4) परिमेय है, और अपरिमेय में परिमेय जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (4) is rational, and adding it to an irrational number gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग न होने की जानकारी को सीधे वर्गमूल की प्रकृति से जोड़ें। / Connect the non-perfect-square condition directly with the nature of the square root.
(2) परिमेय है। इसलिए \(2+\sqrt{n}\) अपरिमेय तभी होगा जब \(\sqrt{n}\) अपरिमेय हो। / (2) is rational. So \(2+\sqrt{n}\) is irrational when \(\sqrt{n}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
(40) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{40}\) अपरिमेय है। / (40) is not a perfect square, so \(\sqrt{40}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दिए गए पूर्णांकों में पूर्ण वर्गों को पहले हटाएँ। / First eliminate perfect squares from the given integers.
B. \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है क्योंकि (72) पूर्ण वर्ग नहीं है/\(\sqrt{72}\) is irrational because (72) is not a perfect square
Step 1
Concept
धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(72) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{72}\) अपरिमेय है। / (72) is not a perfect square, so \(\sqrt{72}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
सम संख्या होना वर्गमूल को परिमेय नहीं बनाता। / Being even does not make a square root rational.
यदि (k) पूर्ण वर्ग हो, तो \(\sqrt{k}\) परिमेय होगा और भिन्न परिमेय बन जाएगी। / If (k) is a perfect square, then \(\sqrt{k}\) is rational and the fraction becomes rational.
Step 2
Why this answer is correct
(18) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) भी अपरिमेय रहेगा। / (18) is not a perfect square, so \(\sqrt{18}\) is irrational and \(\frac{5}{\sqrt{18}}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले (k) के पूर्ण वर्ग होने की जाँच करें। / In such questions, first check whether (k) is a perfect square.
किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल परिमेय तभी होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे (25) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{25}=5\) परिमेय है। / For example, (25) is a perfect square and \(\sqrt{25}=5\) is rational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले प्रश्नों में पूर्ण वर्ग की पहचान सबसे पहले करें। / In square-root questions, identify perfect squares first.
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। / This theorem is connected with prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
1 से बड़ी हर धनात्मक पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। / Every positive integer greater than 1 can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में इस विचार को अभाज्य गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें। / In exams, remember it through prime factorisation.
4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 में से होगा। / When divided by 4, the remainder can be 0, 1, 2, or 3.
Step 2
Why this answer is correct
(4q+4) में शेषफल 4 है, जो भाजक के बराबर है, इसलिए यह मानक रूप नहीं है। / In (4q+4), the remainder is 4, equal to the divisor, so it is not a standard form.
Step 3
Exam Tip
शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता। / A remainder is never equal to the divisor.
2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। / When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। / An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है। / For even-odd questions, take 2 as the divisor.
शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। / A remainder can start from (0).
Step 2
Why this answer is correct
(10) से भाग देने पर शेषफल (10) से छोटा होना चाहिए, इसलिए (0) से (9) तक मान संभव हैं। / When dividing by (10), the remainder must be less than (10), so values from (0) to (9) are possible.
Step 3
Exam Tip
संभावित शेषफलों में भाजक को शामिल न करें। / Do not include the divisor among possible remainders.
शेषफल (0) से शुरू हो सकता है। / A remainder may start from (0).
Step 2
Why this answer is correct
शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है, इसलिए (6) से भाग में (0) से (5) तक शेषफल मिलते हैं। / The remainder is always less than the divisor, so division by (6) gives remainders from (0) to (5).
Step 3
Exam Tip
संभावित शेषफल लिखते समय भाजक को शामिल न करें। / Do not include the divisor itself while listing possible remainders.
\( \sqrt{156}\approx12.49 \), इसलिए यह (12) के थोड़ा अधिक निकट है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी जाँचें। / \( \sqrt{156}\approx12.49 \), so it is slightly closer to (12). Check distance for the nearest integer.
\( \sqrt{132}\approx11.49 \), इसलिए यह (11) के थोड़ा अधिक निकट है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी जाँचें। / \( \sqrt{132}\approx11.49 \), so it is slightly closer to (11). Check distance for the nearest integer.
क्योंकि (144<145<169), इसलिए \(12<\sqrt{145}<13\)। पूर्ण वर्गों से (m) तुरंत मिलता है। / Since (144<145<169), \(12<\sqrt{145}<13\). Perfect squares give (m) quickly.
\( \sqrt{98}\approx9.899 \), इसलिए यह (10) के सबसे निकट है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी देखें। / \( \sqrt{98}\approx9.899 \), so it is closest to (10). Check distance for the nearest integer.
\( \sqrt{90}\approx9.49 \) है जो (9) की तुलना में (10) के अधिक निकट है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी जाँचें। / \( \sqrt{90}\approx9.49 \), which is closer to (10) than to (9). Check distance for the nearest integer.
(99) संख्या (100) के बहुत निकट है, इसलिए \( \sqrt{99}\) लगभग (10) है। निकटतम पूर्ण वर्ग तेजी से उत्तर देता है। / (99) is very close to (100), so \( \sqrt{99}\) is about (10). The nearest perfect square gives a quick answer.
\(\sqrt{32}\approx5.66\) है इसलिए यह (6) के अधिक पास है। निकटतम पूर्णांक के लिए दूरी की तुलना करें। / \(\sqrt{32}\approx5.66\), so it is closer to (6). Compare distances for the nearest integer.
\(\sqrt{45}\) लगभग (6.7) है इसलिए यह (7) के अधिक पास है। अनुमान में पास के पूर्ण वर्ग (36) और (49) उपयोगी हैं। / \(\sqrt{45}\) is about (6.7), so it is closer to (7). Nearby perfect squares (36) and (49) help in estimation.
\(\sqrt{20}\) लगभग (4.47) है इसलिए यह (4) के अधिक पास है। \(\sqrt{20}\) को (4) और (5) के बीच रखकर दूरी सोचें। / \(\sqrt{20}\) is about (4.47), so it is closer to (4). Place \(\sqrt{20}\) between (4) and (5) and compare distances.
\(\sqrt{18}\) लगभग (4.24) है इसलिए यह (4) के अधिक पास है। अनुमान के लिए पास के पूर्ण वर्ग (16) और (25) देखें। / \(\sqrt{18}\) is about (4.24), so it is closer to (4). For estimation, check nearby perfect squares (16) and (25).
यदि संख्या (x) है, तो (x(x+1)=552)। \(23\times24=552\), इसलिए संख्या (23) है। / If the number is (x), then (x(x+1)=552). Since \(23\times24=552\), the number is (23).
यदि संख्या (x) है, तो (x(x+1)=210)। \(14\times15=210\), इसलिए संख्या (14) है। / If the number is (x), then (x(x+1)=210). Since \(14\times15=210\), the number is (14).
संख्या (x) हो तो (x(x+1)=56) बनता है, जिससे (x=7) मिलता है। प्रश्न में अगले पूर्णांक का अर्थ (x+1) है। / If the number is (x), then (x(x+1)=56), giving (x=7). In the question, next integer means (x+1).
गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों चिन्ह समान होते हैं। योग धनात्मक होने से दोनों मूल धनात्मक होंगे। / A positive product means both signs are same. A positive sum means both roots are positive.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=9\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=20\) है। इसलिए दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=9\) and the product is \(\frac{c}{a}=20\). So both are positive.
छोटा विषम पूर्णांक (x) हो, तो (x-2+(x+2)2=394)। इससे \(x^2+2x-195=0\), इसलिए (x=13)। / Let the smaller odd integer be (x), then (x-2+(x+2)2=394). This gives \(x^2+2x-195=0\), so (x=13).
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=1513), जिससे (x=27) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=1513), giving (x=27). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
