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शेष योग \(26^2-14^2=480\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का प्रयोग करें। / The remaining sum is \(26^2-14^2=480\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
शेष योग \(18^2-10^2=224\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का उपयोग करें। / The remaining sum is \(18^2-10^2=224\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
विषम घातों \(x^5\), \(x^3\) और (x) के गुणांक (-5), (4) और (1) हैं। उनका योग (0) है। / The coefficients of odd powers \(x^5\), \(x^3\), and (x) are (-5), (4), and (1). Their sum is (0).
विषम घातों \(x^5\), \(x^3\) और (x) के गुणांक (5), (2) और (-1) हैं। उनका योग (6) है। / The coefficients of odd powers \(x^5\), \(x^3\), and (x) are (5), (2), and (-1). Their sum is (6).
विषम घात वाला केवल (2x) पद है, इसलिए योग (2) है। \(x^0\) को विषम घात न मानें। / The only odd-power term is (2x), so the sum is (2). Do not treat \(x^0\) as an odd power.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए \(60^2=3600\)। परीक्षा में यह परिणाम सीधे याद रखें। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(60^2=3600\). Exam tip: remember this result directly.
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है इसलिए (n=24)। परीक्षा में इसे समान्तर श्रेणी \(1,3,5,\ldots\) भी मान सकते हैं। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so (n=24). Exam tip: you can also treat it as the AP \(1,3,5,\ldots\).
संख्याएँ \(117,135,\ldots,999\) हैं और (50) पदों का योग (27900) है। विषम गुणजों में अंतर (18) होगा। / The numbers are \(117,135,\ldots,999\), and the sum of (50) terms is (27900). For odd multiples, the common difference is (18).
पहली (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(25^2=625\)। यह परिणाम तेज गणना में उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(25^2=625\). This result is useful for quick calculation.
संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x(x+2)=483) से (x=21) मिलता है इसलिए बड़ी संख्या (23) है। / The integers are (x) and (x+2). From (x(x+2)=483), (x=21), so the larger integer is (23).
छोटा विषम पूर्णांक (x) हो, तो (x-2+(x+2)2=394)। इससे \(x^2+2x-195=0\), इसलिए (x=13)। / Let the smaller odd integer be (x), then (x-2+(x+2)2=394). This gives \(x^2+2x-195=0\), so (x=13).
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=1570) से (x=27) मिलता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=1570), (x=27).
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=399)। \(19\times21=399\), इसलिए छोटा पूर्णांक (19) है। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=399). Since \(19\times21=399\), the smaller integer is (19).
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=650) से (x=17) मिलता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=650), (x=17).
यदि छोटा विषम पूर्णांक (x) है, तो (x(x+2)=195)। (x=13) सही है क्योंकि \(13\times15=195\)। / If the smaller odd integer is (x), then (x(x+2)=195). (x=13) is correct because \(13\times15=195\).
(x(x+2)=399) से (x=19), इसलिए बड़ी संख्या (21) है। ऐसे प्रश्नों में (x+2) का प्रयोग करें। / (x(x+2)=399) gives (x=19), so the larger number is (21). In such questions, use (x+2).
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं, इसलिए (x(x+2)=255) से (x=15) है। विषम लगातार संख्याओं में अंतर (2) होता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2), so (x(x+2)=255) gives (x=15). Consecutive odd numbers differ by (2).
(x(x+2)=195) से (x=13), इसलिए बड़ी संख्या (15) है। विषम संख्याओं के लिए (x) और (x+2) सही रूप है। / (x(x+2)=195) gives (x=13), so the larger number is (15). For odd numbers, (x) and (x+2) is the correct form.
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) होंगी, इसलिए (x(x+2)=143) से (x=11) मिलता है। विषम लगातार संख्याओं में अंतर (2) होता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2), so (x(x+2)=143) gives (x=11). Consecutive odd numbers differ by (2).
विषम पूर्णांक को (2k+1) लिखा जा सकता है। / An odd integer can be written as (2k+1).
Step 2
Why this answer is correct
उसका वर्ग \(4k^2+4k+1\) बनता है, जो विषम है। / Its square becomes \(4k^2+4k+1\), which is odd.
Step 3
Exam Tip
यह तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम बताने में मदद करता है। / This fact helps prove that if \(p^2\) is even, then (p) is even in the \(\sqrt{2}\) proof.
विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain the prime (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। / Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें। / When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero.
2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। / When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। / An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है। / For even-odd questions, take 2 as the divisor.
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
किसी भी संख्या a के लिए वह शून्यक तभी होगी जब \(p(a)=0\)। यहाँ हम a=0 पर देखते हैं: दिया है \(p(0)=4\), जो कि शून्य नहीं है; इसलिए 0 शून्यक नहीं है। विकल्प C सामान्य शर्त सही बताता है (यदि स्थायी पद = \(p(0)\) शून्य हो तो 0 शून्यक होगा), पर दिया हुआ मान इसका उल्टा दर्शाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी भी डिग्री के बहुपद के लिए शून्यक की परिभाषा एक समान रहती है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रत्याशित शून्यक a के लिए सीधे बहुपद में a रखकर \(p(a)\) की गणना करें — यदि परिणाम 0 आया तभी वह शून्यक है। / A number a is a root of a polynomial exactly when \(p(a)=0\). Here for a=0 we have \(p(0)=4\), which is not zero, so 0 is not a root. Option C describes the correct general condition (the constant term equals \(p(0)\) must be zero), but given \(p(0)=4\) that condition is not met. Option D is incorrect because root-criterion does not depend on the polynomial being linear. Exam tip: To test if x=a is a root, substitute a into \(p(x)\) and check whether the value equals 0.
\(p(6)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=6\) होगा तो फलन का मान \(y=p(6)\) शून्य होगा। इसलिए ग्राफ x-अक्ष (जहाँ \(y=0\)) को उस बिंदु पर काटेगा जहाँ \(x=6\), यानी \((6,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \((-6,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें संकेत का परिवर्तन दिखता है — वहाँ तक पहुँचने के लिए हमें \(p(-6)=0\) दिया होना चाहिए, जो नहीं दिया है। परीक्षा सुझाव: किसी भी raíz के लिए यदि \(p(a)=0\) दिया हो तो तुरंत x-अक्ष पर काटाव \((a,0)\) लिखें। / \(p(6)=0\) means the function value is zero at \(x=6\), so the graph meets the x-axis (where \(y=0\)) at the point \((6,0)\). The closest distractor \((-6,0)\) is a sign error — nothing in the given information implies \(p(-6)=0\). Exam tip: whenever you are given \(p(a)=0\), the corresponding x-intercept is always \((a,0)\).
x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का निर्देशांक (x,y) में y = 0 होता है। यदि ग्राफ x-अक्ष को (0,0) पर काटता है तो उस बिंदु का x‑निर्देशांक 0 है, अर्थात् बहुपद का मान P(0)=0 होगा और 0 एक शून्यक है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे x = 1 या x = −1 को दर्शाते हैं — ऐसा कोई संकेत नहीं दिया गया। विकल्प D गलत है क्योंकि बिंदु (0,0) से x‑निर्देशांक स्पष्ट रूप से ज्ञात है। परीक्षा टिप: गुणनखण्ड या ग्राफ से शून्यक निकालते समय हमेशा क्रम (x,y) को सही ढंग से पढ़ें; x‑अक्ष पर y = 0 होता है। / A point on the x-axis has coordinates (x,y) with y = 0. If the graph meets the x-axis at (0,0), the x‑coordinate is 0, so the polynomial satisfies P(0)=0 and 0 is a root. Options B and C would mean x = 1 or x = −1 respectively, which are not indicated by the given point. Option D is incorrect because the x‑value is directly given by (0,0). Exam tip: remember coordinates are (x,y) and any x‑intercept has y = 0, so the x‑value at that point is a root of the polynomial.
\(4x^3-7x\) में (x=0) रखने पर (0) मिलता है और यह शून्य बहुपद नहीं है। (x=0) के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
शून्यक (2) और (5) होने पर बहुपद ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10) है। मोनिक बहुपद में \(x^2\) का गुणांक (1) होता है। / With zeroes (2) and (5), the polynomial is ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10). A monic polynomial has leading coefficient (1).
योग (10) और गुणनफल (25-2=23) है। इसलिए बहुपद \(x^2-10x+23\) होगा। / The sum is (10) and the product is (25-2=23). Therefore the polynomial is \(x^2-10x+23\).
रेखा (y=5) (x)-अक्ष के समानांतर है और उससे नहीं मिलती। इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / The line (y=5) is parallel to the (x)-axis and does not meet it. So it has no real zero.
A. डिग्री कम से कम (4) होगी/The degree is at least (4)
Explanation
Simple Explanation
चार अलग वास्तविक शून्यक के लिए डिग्री कम से कम चार चाहिए। शून्यकों की संख्या डिग्री से अधिक नहीं होती। / Four distinct real zeroes need degree at least four. The number of zeroes cannot exceed the degree.
A. यह (x)-अक्ष को नहीं काटता/It does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4\) हमेशा धनात्मक है इसलिए (y=0) नहीं होता। ग्राफ से शून्यक तभी मानें जब अक्ष से मिलन हो। / \(x^2+4\) is always positive so (y=0) never occurs. Count a zero only when the graph meets the axis.
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
तीन अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (3) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
B. हर वास्तविक (x) शून्यक है/Every real (x) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद हर (x) पर (0) देता है। टिप: इसे सामान्य स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The zero polynomial gives (0) for every (x). Tip: treat it differently from a usual constant polynomial.
पाँच अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (5) होनी चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For five distinct real zeroes the degree must be at least (5). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
A. यह (x)-अक्ष के समांतर है और उसे नहीं काटता/It is parallel to the (x)-axis and does not cut it
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=5) कभी (0) नहीं होता इसलिए शून्यक नहीं है। टिप: अशून्य स्थिर बहुपद का शून्यक नहीं होता। / The value (p(x)=5) is never (0) so it has no zero. Tip: a non-zero constant polynomial has no zero.
शून्य बहुपद में हर (x) पर मान (0) होता है। टिप: यह विशेष स्थिति है। / For the zero polynomial the value is (0) for every (x). Tip: this is a special case.
बहुपद का शून्यक वह x मान है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(x)=x\) दिया है, अतः \(p(0)=0\)। इसलिए \(x=0\) इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि \(p(1)=1\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा शून्यक खोजने के लिये \(p(x)=0\) लगाकर हल करें; ग्राफ़ के लिये शून्यक वह x-निर्देश है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। / A root (zero) is a value a for which \(p(a)=0\). With \(p(x)=x\), substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0\), so \(x=0\) is the root. Option B (1) is incorrect because \(p(1)=1\), not zero. Exam tip: to find zeros set \(p(x)=0\) and solve; graphically zeros are x-values where the curve meets the x-axis (here the origin).
बिंदु (-8, 0) का अर्थ है कि जब x = -8 होगा तो y का मान 0 है। बहुपद का मान y ही होता है, इसलिए बहुपद x = -8 पर शून्य होगा (अर्थात् f(-8)=0)। विकल्प B (x = 8) सिर्फ साइन के विपरीत है और गलत है; विकल्प C (x = 0) केवल तब सही होता यदि बिंदु (0,0) दिया होता; विकल्प D कोई संबंधित कारण नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-कोऑर्डिनेट तुरंत उस बिंदु के लिए बहुपद का शून्य बताता है। / The point (-8, 0) means y = 0 when x = -8. Since the polynomial's value is y, the polynomial is zero at x = -8 (i.e. f(-8)=0). Option B (x = 8) has the wrong sign; option C (x = 0) would be correct only for the point (0,0); option D is unrelated. Exam tip: an x-intercept (y=0) gives the root directly as the x-coordinate shown.
A. क्योंकि (y) हमेशा (-3) रहता है/Because (y) always remains (-3)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=-3) का (y)-मान कभी (0) नहीं होता। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और कोई शून्यक नहीं है। / For (p(x)=-3), the (y)-value is never (0). So the graph does not cut the (x)-axis and has no zero.
x-अक्ष पर कटान बिंदुओं के शून्यक उनके x-निर्देशांक होते हैं। दिए हुए बिंदु (-7,0), (0,0) और (4,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -7, 0 और 4 हैं, इसलिए शून्यक (-7), (0) और (4) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह संकेत उल्टा कर देता है (–7 को 7 और 4 को –4 कर दिया गया है), जबकि संकेत महत्वपूर्ण होता है। विकल्प D में 0 को दो बार दिखाया गया है — यह तब सही हो सकता है जब शून्यक की बहुगुणकता 2 हो, पर यहाँ दिए बिंदु अलग-अलग हैं इसलिए ऐसा नहीं है। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर किसी भी इंटरसेप्ट का x-कोऑर्डिनेट सीधे शून्यक देता है; बिंदु के आदेश (x,0) में x ही शून्यक है। / The zeroes of a polynomial are the x-coordinates of its x-axis intercepts. From the points (-7,0), (0,0) and (4,0) the x-values are -7, 0 and 4, so the zeroes are (-7), (0) and (4). Option B is incorrect because it reverses signs (turning -7 into 7 and 4 into -4) — sign matters for zeros. Option D shows 0 twice, which would indicate multiplicity 2 at x=0, but the given intercepts are distinct so that is not the case. Exam tip: read the x-coordinate of an intercept (x,0) to get the corresponding zero directly; watch the sign carefully.
एक बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिस पर \(p(x)=0\) होता है. यहाँ दिया है कि \(p(-3)=0\), अतः \(-3\) पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(-3\) शून्यक (root) है. निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) गलत है क्योंकि केवल \(-3\) के लिए ही मूल्य शून्य होने का दावा किया गया है; \(3\) के लिए ऐसा होना आवश्यक नहीं है। परिक्षा-सुझाव: किसी दिए हुए मान के लिए \(p(मान)\) निकालकर चेक करें — यदि परिणाम शून्य हो तो वही शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x-value for which \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) is given, \(-3\) is a root of the polynomial. The closest distractor, 3, is incorrect because the condition is satisfied only at \(-3\) as stated; there is no information that \(p(3)=0\). Exam tip: To identify a root, substitute the candidate value into \(p(x)\) — if the result is zero, it is a root.
x-अक्ष के साथ जो बिंदु साझा किया गया है वह (6,0) है; यहाँ y = 0 और x का मान 6 है। बहुपद के वास्तविक शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य होता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 6 है। सबसे पास का भ्रामक विकल्प −6 है — यह गलत है क्योंकि दिया गया बिंदु x = −6 नहीं बल्कि x = 6 है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु (a,0) को देखकर तुरंत लिखें कि a बहुपद का एक शून्यक है। / The given intersection point is (6,0); here y = 0 and the x‑coordinate is 6. Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis (y = 0). Hence the distinct real zero is 6. The closest distractor −6 is incorrect because the x‑coordinate is positive 6, not −6; 0 is incorrect because that would mean the intersection is (0,0), which is not given; “कोई नहीं” (none) is wrong since an intersection at (6,0) is explicitly given. Exam tip: From any x‑intercept (a,0) immediately read off the root a — don’t confuse sign.
A. बहुपद का मान \(P(x)\)/Value of the polynomial \(P(x)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि किसी बहुपद के लिए कोई मान \(x=a\) शून्यक है तो बहुपद का मान वहाँ पर \(P(a)=0\) होगा। इसलिए शून्यक पहचानने के लिए बहुपद का मान शून्य होना आवश्यक है। स्थिर पद (option D) कभी-कभी शून्य हो सकता है पर यह आवश्यक शर्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(P(x)=x-1\) का स्थिर पद \(-1\) है पर शून्यक \(x=1\) है। चर के गुणांक या घातांक का शून्य होना शून्यक की परिभाषा नहीं बताता। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ \(y=0\) अर्थात x-अक्ष से मिलान होता है; सीधे x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु खोजें। / For a number \(x=a\) to be a root of a polynomial we must have \(P(a)=0\). Thus the value of the polynomial at that x must be zero, so option A is correct. The constant term (option D) may be zero in some polynomials but it is not a necessary condition (e.g. \(P(x)=x-1\) has constant term \(-1\) yet root at \(x=1\)). Coefficients or exponents being zero do not by themselves indicate a root. Exam tip: on the graph, roots are the x-intercepts where \(y=0\); read off x-coordinates of those intercepts.
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष पर तभी कटेगा जब उस बिंदु पर बहुपद का मान (y) शून्य हो। x=0 पर कटने का अर्थ है कि x में 0 डालने पर p(0)=0 होना चाहिए। विकल्प B में p(0)=5 है — y शून्य नहीं है इसलिए ग्राफ x-अक्ष पर नहीं कटेगा। विकल्प C में p(1)=0 है, पर वह x=1 पर कटता है, न कि x=0 पर। विकल्प D में p(-1)=1 है, जो न तो शून्य है और न ही x=0 का स्थान है। परीक्षा-सूत्र: किसी दिए x-वस्तु के लिए बहुपद में वह मान डालकर तुरंत जाँच करें कि मान शून्य है या नहीं। / A polynomial intersects the x-axis at a point only if its value (y) at that x is zero. To intersect at x = 0 we must have p(0) = 0. Option B gives p(0)=5 so the value is not zero and the graph does not meet the x-axis at x=0. Option C has a zero at x=1, so the intersection is at x=1, not x=0. Option D yields p(-1)=1, which is not zero. Exam tip: substitute the specified x into the polynomial — if the result is 0, the graph crosses the x-axis at that x-coordinate.
x-अक्ष पर काटने का बिंदु (-4,0) बताता है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान 0 है। इसका मतलब है कि \\(x=-4\\) पर बहुपद शून्य होगा, अर्थात् \\(-4\\) जड़ (root) है। विकल्प B (4) गलत है क्योंकि वह विपरीत संकेत वाला मान है; विकल्प C (0) और D (1) तभी सही होते यदि वे भी x-अक्ष पर कटाव बिंदु होते, जो दिए हुए नहीं हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष के कटाव बिंदु का x-निर्देशांक सीधे जड़ देता है — संदेह होने पर बहुपद में प्रतिस्थापित कर जाँच लें। / An x-intercept of (-4, 0) means the polynomial evaluates to 0 at x = -4, so x = -4 is a root. Option B (4) is incorrect because it has the opposite sign; options C (0) and D (1) would only be correct if those x-values were the intercepts, which they are not. Exam tip: the x-coordinate of an x-intercept gives the root directly; if unsure, substitute the value into the polynomial to verify.
x-अक्ष पर बिंदु का अर्थ है कि \(y=0\)। अत: \(2x-6=0\) से \(2x=6\) और \(x=3\)। इसलिए शून्यक 3 है। विकल्प (-3) उस समय होगा जब कोई गलत साइन या गलत भागफल लिया जाए; 6 और -6 y का मान हो सकते हैं (y-अवरोध -6 है), पर वे बहुपद का शून्यक नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी रेखा का शून्यक निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर x हल करें। / A point on the x-axis has \(y=0\). So set \(2x-6=0\), giving \(2x=6\) and \(x=3\). Hence the zero is 3. The option -3 arises from a sign or arithmetic mistake; 6 or -6 are values of y (the y-intercept is -6), not the x-intercept. Exam tip: to find the zero of a linear polynomial from its line, always put \(y=0\) and solve for x.
शून्यक (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (2) और (7) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. So the zeroes are (2) and (7).
किसी मान को शून्यक तभी कहते हैं जब उस पर बहुपद का मान (0) हो। इसलिए (x=2) के लिए (p(2)=0) होना चाहिए। / A value is called a zero only when the polynomial value at that point is (0). So for (x=2), (p(2)=0) is required.
(x)-अक्ष से प्रत्येक अलग कटाव एक वास्तविक शून्यक देता है। दो कटाव होने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one real zero. With two intersections, there are two real zeroes.
शून्यक वह x का मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् \(p(x)=0\)। यहाँ \(x+2=0\) से \(x=-2\) प्राप्त होता है। इसलिए शून्यक \(-2\) है। निकटवर्ती भ्रमित करने वाला विकल्प 2 है, परंतु \(p(2)=2+2=4\) शून्य नहीं है। परीक्षा‑टिप: हमेशा शून्यक के लिए बहुपद में वह मान रखकर सत्यापित करें। / A zero (root) is the x-value where the polynomial equals zero, i.e. solve \(p(x)=0\). For \(x+2=0\) we get \(x=-2\), so the zero is \(-2\). The common wrong choice 2 is incorrect because \(p(2)=2+2=4\), not zero. Exam tip: substitute the candidate x into the polynomial to verify it yields 0.
(p(x)=5) का ग्राफ (x)-अक्ष के समानांतर रेखा है जो (x)-अक्ष को नहीं काटती। इसलिए इसका कोई शून्यक नहीं है। / The graph of (p(x)=5) is a line parallel to the (x)-axis and does not cut it. Hence it has no zero.
वास्तविक शून्यक तभी दिखते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। यदि ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता, तो वास्तविक शून्यक नहीं होंगे। / Real zeroes appear only where the graph meets the (x)-axis. If it does not meet the (x)-axis, it has no real zero.
रैखिक बहुपद का ग्राफ एक रेखा होता है और सामान्यतः (x)-अक्ष को एक बार काटता है। इसलिए उसका एक शून्यक होता है। / The graph of a linear polynomial is a line and usually cuts the (x)-axis once. Therefore it has one zero.
शून्यक हमेशा (x)-अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (-2) और (4) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph meets the (x)-axis. So the zeroes are (-2) and (4).
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=625\) और (n=25)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=625\) and (n=25). Recognizing perfect squares is useful.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=441\) और (n=21)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=441\) and (n=21). Recognizing perfect squares is useful.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(16^2=256\)। यह सूत्र याद रखने योग्य है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(16^2=256\). This formula is worth remembering.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(13^2=169\)। विषम संख्याओं के लिए यह पैटर्न याद रखें। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(13^2=169\). Remember this pattern for odd numbers.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(15^2=225\)। यह छोटा सूत्र परीक्षा में समय बचाता है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(15^2=225\). This short formula saves time in exams.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(12^2=144\)। यह पैटर्न जल्दी उत्तर देता है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(12^2=144\). This pattern gives a quick answer.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) होता है, इसलिए \(18^2=324\)। यह एक तेज परीक्षा सूत्र है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(18^2=324\). This is a quick exam formula.
शून्यक (-2,0,3) हैं, इसलिए बहुपद (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x) है। (x)-अक्ष काटने के बिंदु शून्यक बताते हैं। / The zeroes are (-2,0,3), so the polynomial is (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x). Intersections with the (x)-axis give zeroes.
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
सबसे बड़ी घात (3) है इसलिए बहुपद घन है। परीक्षा में हमेशा सबसे बड़े शून्येतर घातांक को देखें। / The highest power is (3), so the polynomial is cubic. In exams, always check the highest non-zero exponent.
स्थिर बहुपद में चर नहीं होता। (-7) शून्य से भिन्न स्थिर बहुपद है। / A constant polynomial has no variable. The number (-7) is a non-zero constant polynomial.
द्विघात बहुपद की घात (2) होती है। \(x^2-4x+1\) में सबसे बड़ी घात (2) है। / A quadratic polynomial has degree (2). In \(x^2-4x+1\), the highest power is (2).
दूसरा शून्यक \(5-\sqrt{21}\) होगा। योग (10) और गुणनफल (25-21=4) से बहुपद \(x^2-10x+4\) बनता है। / The other zero will be \(5-\sqrt{21}\). Sum (10) and product (25-21=4) give the polynomial \(x^2-10x+4\).
