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\(\sqrt{11}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। परिमेय संख्याएँ सांत या असांत आवर्ती होती हैं। / \(\sqrt{11}\) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. Rational numbers are either terminating or non-terminating recurring.
असमाप्त अनावर्ती दशमलव में अंत नहीं होता और निश्चित दोहराव भी नहीं होता। / A non-terminating non-recurring decimal neither ends nor has a fixed repeating pattern.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। / Such a number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर परीक्षा में ध्यान से पहचानें। / In exams, carefully distinguish recurring from non-recurring decimals.
B. \(0.314159265\ldots\) बिना निश्चित आवृत्ति/\(0.314159265\ldots\) without a fixed repeat
Step 1
Concept
असमाप्त अनावर्ती दशमलव में अंक चलते रहते हैं लेकिन कोई निश्चित समूह नहीं दोहरता। / In a non-terminating non-recurring decimal, digits continue without a fixed repeating block.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे विकल्प में निश्चित आवृत्ति नहीं दी गई है, इसलिए वह अनावर्ती है। / The second option states that there is no fixed repeat, so it is non-recurring.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में दोहराव की जांच सबसे जरूरी है। / To separate recurring and non-recurring decimals, check the repetition pattern.
(0.2020020002...) में कोई स्थायी दोहराव नहीं है। अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। / (0.2020020002...) has no fixed repetition. A non terminating and non repeating decimal is irrational.
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है/\(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
Explanation
Simple Explanation
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें। / \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
A. \(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{p}{q}\), so \(\sqrt{2}\) would be rational which is impossible
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(-\frac{p}{q}\) परिमेय है, इससे \(\sqrt{2}\) परिमेय मानना पड़ेगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि को पहचानें। / Since \(-\frac{p}{q}\) is rational, this would make \(\sqrt{2}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
विकल्पों को सरल करें। \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), और \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\) सांत हैं। / Reduce each option. \(\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\), \(\frac{36}{96}=\frac{3}{8}\), and \(\frac{28}{175}=\frac{4}{25}\), so they terminate.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), जिसके हर में (3) बचता है, इसलिए यह असांत आवर्ती है। / \(\frac{26}{195}=\frac{2}{15}\), and the denominator still has (3), so it is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
हर विकल्प को सरल करना ही सुरक्षित तरीका है। / Reducing every option is the safest method.
\(\sqrt{17}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव अनवसानी अनावर्ती होगा। परीक्षा में अपरिमेय और आवर्ती दशमलव में अंतर रखें। / \(\sqrt{17}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating non-recurring. In exams distinguish irrational decimals from recurring decimals.
अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या की पहचान है। आवर्ती भाग न दिखे तो सावधानी से जाँचें। / A non terminating and non repeating decimal identifies an irrational number. Check carefully if no repeating block appears.
\(\frac{7}{8}\) और (4.25) सांत दशमलव देते हैं। / \(\frac{7}{8}\) and (4.25) are terminating decimals.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{3}\) असांत आवर्ती दशमलव देता है। \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है, इसलिए उसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। / \(\frac{2}{3}\) is non-terminating recurring. \(\sqrt{17}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
अपूर्ण वर्ग के वर्गमूल को तुरंत पहचानें। / Quickly identify square roots of non-perfect squares.
A. क्योंकि गांधीजी नैतिक शक्ति और जनअनुशासन से शासन को चुनौती देना चाहते थे/Because Gandhi wanted to challenge rule through moral force and mass discipline
Step 1
Concept
गांधीजी का सत्याग्रह अहिंसा पर आधारित था। / Gandhi’s satyagraha was based on non-violence.
Step 2
Why this answer is correct
अहिंसा से आंदोलन को नैतिक बल मिलता था। / Non-violence gave the movement moral strength.
Step 3
Exam Tip
जनअनुशासन टूटने पर आंदोलन की दिशा बदल सकती थी। / If discipline broke the movement could lose direction.
अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेयता बनी रहती है। / Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (pq) परिमेय मान लें, तो \(q=\frac{pq}{p}\) परिमेय हो जाएगा, जो गलत है। / If (pq) were rational, then \(q=\frac{pq}{p}\) would be rational, which contradicts the given condition.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ध्यान रखें कि (p) शून्य नहीं होना चाहिए। / Always check that the rational multiplier is not zero.
यहाँ (D=4-20=-16), जो ऋणात्मक है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ वास्तविक शून्यक नहीं होते। / Here (D=4-20=-16), which is negative. A negative discriminant means there are no real zeroes.
कक्षा 10 के वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या की वर्गमूल वास्तविक नहीं मानी जाती। ध्यान दें \(\sqrt{7}\) वास्तविक अपरिमेय है। / In Class 10 real numbers the square root of a negative number is not real. Note that \(\sqrt{7}\) is real irrational.
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय संख्या होता है। / The square root of a perfect square is rational.
Step 2
Why this answer is correct
(9) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{9}=3\), इसलिए यह परिमेय है। / (9) is a perfect square and \(\sqrt{9}=3\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले प्रश्न में पहले देखें कि अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / In square root questions, first check whether the number inside is a perfect square.
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं/They include both rational and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है। / Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
ऋणात्मक जड़ वाले विकल्प वास्तविक नहीं हैं। (-3), (0) और \(\sqrt{2}\) सभी वास्तविक हैं। / Options with square roots of negatives are not real. (-3), (0), and \(\sqrt{2}\) are all real.
\(\sqrt{18}\) अपरिमेय है और उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। ऋण चिह्न परिमेयता नहीं बदलता। / \(\sqrt{18}\) is irrational and its negative is also real irrational. A negative sign does not change rationality.
(17) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (6) आरंभिक अनावर्ती भाग देगी। आवर्तीपन और आरंभिक देरी को अलग-अलग समझें। / The factor (17) makes the decimal recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (6), giving the initial non-repeating part. Understand recurrence and delay separately.
(13) के कारण दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (5) आरंभिक अनावर्ती भाग देगी। आवर्तीपन और आरंभिक देरी को अलग-अलग समझें। / The factor (13) makes the decimal recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (5), giving the initial non-repeating part. Understand recurrence and delay separately.
C. (q) में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य होगा/(q) has at least one prime other than (2) and (5)
Explanation
Simple Explanation
असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। (2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर अकेले पर्याप्त नहीं। / For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). Factors (2) or (5) may also be present, but they are not enough alone.
\(\frac{49}{2\cdot 5^2\cdot 7^2}\) में \(49=7^2\) पूरा कट जाता है, इसलिए यह सांत है। सही असांत आवर्ती के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई गुणनखंड बचना चाहिए। / In \(\frac{49}{2\cdot 5^2\cdot 7^2}\), \(49=7^2\) cancels completely, so it terminates. For a non-terminating recurring decimal, a factor other than (2) and (5) must remain in the reduced denominator.
हर में \(7^2\) होने से दशमलव आवर्ती होगा और (2), (5) की बड़ी घात (3) आरंभिक अनावर्ती भाग देती है। परीक्षा में आवर्तीपन और आरंभिक देरी को अलग-अलग पहचानें। / The factor \(7^2\) makes the decimal recurring, and the larger exponent among (2) and (5) is (3), giving the non-repeating start. In exams, separate recurrence from the initial delay.
असांत आवर्ती दशमलव के लिए सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होना चाहिए। / For a non-terminating recurring decimal, the reduced denominator must have a prime factor other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\cdot 5\cdot 23\) में (23) मौजूद है। इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव देगा। / \(2^4\cdot 5\cdot 23\) contains (23). Hence it gives a non-terminating recurring decimal.
Step 3
Exam Tip
केवल एक अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंड भी सांतता रोक देता है। / Even one extra prime factor prevents termination.
\(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\) है, जिसका हर (3) है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। बाकी विकल्प सरल होकर (2) और (5) वाले हर देते हैं। / \(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\), whose denominator is (3), so the decimal is non-terminating recurring. The other options reduce to denominators with only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
हर विकल्प में सरलतम रूप सबसे पहले देखें। / Check the lowest form of every option first.
C. हर में (2) और (5) के अलावा कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होगा/The denominator has at least one prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या का असांत दशमलव आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तब होता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड बचता है। इसलिए विकल्प (C) सही है। / This happens when the reduced denominator has at least one prime factor other than (2) and (5). So option (C) is correct.
Step 3
Exam Tip
(2) या (5) साथ में हो सकते हैं, पर कोई अन्य गुणनखंड भी होगा। / (2) or (5) may also be present, but some other prime must remain.
\(\frac{14}{350}=\frac{1}{25}\) नहीं, बल्कि \(\frac{14}{350}=\frac{1}{25}\) ही होता है, इसलिए यह सांत है। यहाँ सावधानी से विकल्प जाँचें। / \(\frac{14}{350}=\frac{1}{25}\), so it actually terminates.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी दिए गए सभी विकल्प भी सरलतम रूप में केवल (2) और (5) वाले हर देते हैं। इसलिए कोई भी असांत आवर्ती नहीं है। / The other listed fractions also reduce to denominators containing only (2) and (5). Therefore none of them is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
यदि प्रश्न में ऐसा विकल्प माँगा जाए और न मिले, तो गणना दोबारा जाँचें। / If a requested option does not appear, recheck every simplification carefully.
भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator has factors other than (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में पहले भाजक के गुणनखंड जांचें। / In options, check denominator factors first.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। / So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए। / Do not call a rational number non-terminating non-recurring.
\(\frac{5}{12}\) सरल रूप में है और भाजक में (3) है, इसलिए दशमलव आवर्ती होगा। / \(\frac{5}{12}\) is in lowest form and the denominator contains (3), so its decimal is recurring.
Step 3
Exam Tip
सरल रूप और भाजक के अतिरिक्त गुणनखंड दोनों जांचें। / Check both reduction and extra prime factors.
भाजक में (3) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और भिन्न परिमेय है, इसलिए आवर्ती होगा। / The factor (3) makes the decimal non-terminating, and since the number is rational, it is recurring.
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) से अलग गुणनखंड देखते ही सावधान हो जाएं। / Be alert when a factor other than (2) or (5) appears.
अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। / A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / For example, \(3\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होगा। / The non-zero condition is important because multiplying by zero gives zero.
अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। / For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा। / The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0).
A. क्योंकि इसमें स्वदेशी खादी और राष्ट्रीय शिक्षा जैसे रचनात्मक कार्य भी शामिल थे/Because it also included constructive work like swadeshi khadi and national education
Step 1
Concept
आंदोलन ने औपनिवेशिक संस्थाओं का बहिष्कार किया। / The movement boycotted colonial institutions.
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही खादी स्वदेशी और राष्ट्रीय शिक्षा को बढ़ावा दिया। / It also promoted khadi swadeshi and national education.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोध और निर्माण दोनों का आंदोलन था। / Therefore it was a movement of both protest and construction.
A. क्योंकि इसमें स्वदेशी राष्ट्रीय शिक्षा और आत्मनिर्भरता जैसे रचनात्मक पक्ष भी थे/Because it also had constructive aspects like swadeshi national education and self-reliance
Step 1
Concept
आंदोलन में विदेशी संस्थाओं का बहिष्कार था। / The movement included boycott of foreign institutions.
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही खादी स्वदेशी और राष्ट्रीय शिक्षा को बढ़ावा दिया गया। / At the same time khadi swadeshi and national education were promoted.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोध और निर्माण दोनों का कार्यक्रम था। / So it was both a programme of protest and construction.
A. क्योंकि आंदोलन की शक्ति अहिंसक और संगठित सहयोग वापसी पर निर्भर थी/Because the movement depended on non-violent and organised withdrawal of cooperation
Step 1
Concept
असहयोग जनता की भागीदारी पर आधारित था। / Non-cooperation depended on public participation.
Step 2
Why this answer is correct
यदि अनुशासन टूटता तो अहिंसा कमजोर पड़ती। / If discipline broke non-violence would weaken.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संगठित और शांतिपूर्ण भागीदारी आवश्यक थी। / Organised and peaceful participation was therefore necessary.
(0.125) सांत है और \(\sqrt{169}=13\) है। पहले विकल्प की सभी संख्याएँ परिमेय हैं। / (0.125) is terminating and \(\sqrt{169}=13\). All numbers in the first option are rational.
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
अपरिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written exactly in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
(14) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{14}\) अपरिमेय है। / (14) is not a perfect square, so \(\sqrt{14}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही जांचें। / In square-root questions, first check whether the number inside is a perfect square.
अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। / An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। / (15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें। / For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square.
अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। केवल अनंत देखकर निर्णय न लें। / A non terminating and non recurring decimal is irrational. Do not decide only by seeing it is infinite.
B. यह असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(45=3^2\times5\) है। / \(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
भाजक में (3) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा, लेकिन परिमेय संख्या होने के कारण आवर्ती होगा। / The factor (3) stops termination, but the number is rational, so the decimal repeats.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का असमाप्त दशमलव हमेशा आवर्ती होता है। / A non-terminating decimal of a rational number is recurring.
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है। / A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
(56) बार-बार दोहर रहा है इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The block (56) repeats so it is a repeating decimal. A repeating decimal is rational.
अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। अनंत देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें। / A non terminating repeating decimal is rational. Do not call it irrational just because it is non terminating.
शून्य रहित परिमेय से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करना है। / Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेय संख्या को शून्य रहित परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या मिलती है। / An irrational number multiplied by a non-zero rational number remains irrational.
Step 3
Exam Tip
भाग के प्रश्नों को गुणा में बदलकर सोचें। / Convert division questions into multiplication for easier reasoning.
अशून्य परिमेय संख्या से भाग देना उसी के व्युत्क्रम से गुणा करने जैसा है। / Dividing by a non-zero rational number is the same as multiplying by its reciprocal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{r}\) भी अशून्य परिमेय है, इसलिए \(\frac{x}{r}\) अपरिमेय रहेगा। / \(\frac{1}{r}\) is also a non-zero rational number, so \(\frac{x}{r}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
भाग वाले प्रश्न में हर के शून्य न होने की शर्त जरूर देखें। / In division questions, always check that the denominator is not zero.
C. \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\) जैसे अनेक बिंदु/Many points like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\sqrt{\frac{1}{4}}\)
Explanation
Simple Explanation
(0) और (1) के बीच परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की अनंत संख्याएं होती हैं। किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच और संख्याएं मिलती हैं। / Between (0) and (1), there are infinitely many rational and irrational numbers. Between any two real numbers, more numbers can be found.
यदि (x) परिमेय होता तो \(\sqrt{2}+x\) अपरिमेय होता। इसलिए (x) अपरिमेय होना चाहिए; परीक्षा में परिमेय और अपरिमेय के योग का नियम याद रखें। / If (x) were rational then \(\sqrt{2}+x\) would be irrational. So (x) must be irrational; remember the sum rule for rational and irrational numbers.
(-3) वास्तविक संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है। पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। / (-3) is a real number but not a whole number. Whole numbers start from (0).
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है; सही परिमेय विकल्प नहीं दिखता, अतः ध्यान दें कि \(\sqrt{7}\sqrt{14}=7\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। / Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। संख्या रेखा पर इन्हीं का स्थान होता है। / Real numbers include both rational and irrational numbers. These are placed on the number line.
दोनों संख्याएँ अलग-अलग अपरिमेय हैं। / Both numbers are individually irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), जो परिमेय है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुणन के बाद मूल के अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग बन रही है या नहीं, यह देखें। / Check whether the product inside the square root becomes a perfect square.
A. (a) और (b) का गुणनफल (30) और वे सहाभाज्य होंगे/Product of (a) and (b) is (30) and they are coprime
Step 1
Concept
यदि महत्तम समापवर्तक (30) है, तो संख्याएँ (30a) और (30b) लिखी जा सकती हैं जहाँ (a) और (b) सहाभाज्य होते हैं। / If HCF is (30), the numbers can be written as (30a) and (30b), where (a) and (b) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य (30ab=900), इसलिए (ab=30)। / LCM becomes (30ab=900), so (ab=30).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर सोचें। / Factor out the HCF to simplify such problems.
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। / The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before trying pairs.
